Решение уравнений и пропорций с дробями

Задание 1

Условие: \(\frac{5}{6} : x = \frac{15}{2} : 4\)

Решение:

Это пропорция. Для решения пропорции мы можем использовать правило "произведение крайних членов равно произведению средних членов".

1. Запишем пропорцию:
   \(\frac{5}{6} : x = \frac{15}{2} : 4\)

2. Применим правило пропорции:
   \(\frac{5}{6} \times 4 = x \times \frac{15}{2}\)

3. Упростим левую часть:
   \(\frac{5 \times 4}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}\)

4. Теперь уравнение выглядит так:
   \(\frac{10}{3} = x \times \frac{15}{2}\)

5. Чтобы найти x, разделим обе части на \(\frac{15}{2}\) (или умножим на обратную дробь \(\frac{2}{15}\)):
   \(x = \frac{10}{3} \div \frac{15}{2}\)
   \(x = \frac{10}{3} \times \frac{2}{15}\)

6. Умножим дроби:
   \(x = \frac{10 \times 2}{3 \times 15} = \frac{20}{45}\)

7. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:
   \(x = \frac{20 \div 5}{45 \div 5} = \frac{4}{9}\)

Ответ: \(x = \frac{4}{9}\)

Задание 2

Условие: \(\frac{16}{5} : x = \frac{4}{5}\)

Решение:

Это также пропорция.

1. Запишем пропорцию:
   \(\frac{16}{5} : x = \frac{4}{5}\)

2. Применим правило пропорции (произведение крайних равно произведению средних):
   \(\frac{16}{5} \times \frac{4}{5} = x \times x\)
   \(\frac{16 \times 4}{5 \times 5} = x^2\)
   \(\frac{64}{25} = x^2\)

3. Чтобы найти x, извлечем квадратный корень из обеих частей:
   \(x = \sqrt{\frac{64}{25}}\)
   \(x = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{25}}\)
   \(x = \frac{8}{5}\)

Ответ: \(x = \frac{8}{5}\)

Задание 3

Условие: \(x : \frac{9}{11} = (\frac{3}{2} - \frac{1}{3}) : \frac{2}{11}\)

Решение:

1. Сначала упростим выражение в скобках:
   \(\frac{3}{2} - \frac{1}{3}\)
   Найдем общий знаменатель, который равен 6.
   \(\frac{3 \times 3}{2 \times 3} - \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{9}{6} - \frac{2}{6} = \frac{7}{6}\)

2. Теперь пропорция выглядит так:
   \(x : \frac{9}{11} = \frac{7}{6} : \frac{2}{11}\)

3. Применим правило пропорции:
   \(x \times \frac{2}{11} = \frac{9}{11} \times \frac{7}{6}\)

4. Упростим правую часть:
   \(\frac{9 \times 7}{11 \times 6} = \frac{63}{66}\)
   Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
   \(\frac{63 \div 3}{66 \div 3} = \frac{21}{22}\)

5. Теперь уравнение выглядит так:
   \(x \times \frac{2}{11} = \frac{21}{22}\)

6. Чтобы найти x, разделим обе части на \(\frac{2}{11}\) (или умножим на обратную дробь \(\frac{11}{2}\)):
   \(x = \frac{21}{22} \div \frac{2}{11}\)
   \(x = \frac{21}{22} \times \frac{11}{2}\)

7. Умножим дроби:
   \(x = \frac{21 \times 11}{22 \times 2}\)
   Можно сократить 11 и 22:
   \(x = \frac{21 \times 1}{2 \times 2} = \frac{21}{4}\)

Ответ: \(x = \frac{21}{4}\)

Задание 4

Условие: \((\frac{2}{5} + \frac{1}{2}) : x = (\frac{1}{10} + \frac{2}{5}) : \frac{9}{5}\)

Решение:

1. Сначала упростим выражения в скобках:

   • Левая часть: \(\frac{2}{5} + \frac{1}{2}\)
     Общий знаменатель равен 10.
     \(\frac{2 \times 2}{5 \times 2} + \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{4}{10} + \frac{5}{10} = \frac{9}{10}\)
   • Правая часть: \(\frac{1}{10} + \frac{2}{5}\)
     Общий знаменатель равен 10.
     \(\frac{1}{10} + \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{1}{10} + \frac{4}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)

2. Теперь пропорция выглядит так:
   \(\frac{9}{10} : x = \frac{1}{2} : \frac{9}{5}\)

3. Применим правило пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних членов):
   \(\frac{9}{10} \times \frac{9}{5} = x \times \frac{1}{2}\)

4. Умножим дроби в левой части:
   \(\frac{9 \times 9}{10 \times 5} = \frac{81}{50}\)

5. Теперь уравнение выглядит так:
   \(\frac{81}{50} = x \times \frac{1}{2}\)

6. Чтобы найти x, разделим обе части на \(\frac{1}{2}\) (или умножим на обратную дробь \(\frac{2}{1}\)):
   \(x = \frac{81}{50} \div \frac{1}{2}\)
   \(x = \frac{81}{50} \times \frac{2}{1}\)

7. Умножим дроби:
   \(x = \frac{81 \times 2}{50 \times 1}\)
   Можно сократить 2 и 50:
   \(x = \frac{81 \times 1}{25 \times 1} = \frac{81}{25}\)

Ответ: \(x = \frac{81}{25}\)

Задание 5

Условие: \(x \times (\frac{7}{2} - \frac{9}{4}) = (\frac{16}{7} + \frac{23}{14}) : (8 - \frac{1}{7})\)

Решение:

1. Упростим выражения в скобках:

   • Левая часть: \(\frac{7}{2} - \frac{9}{4}\)
     Общий знаменатель равен 4.
     \(\frac{7 \times 2}{2 \times 2} - \frac{9}{4} = \frac{14}{4} - \frac{9}{4} = \frac{5}{4}\)
   • Первая скобка в правой части: \(\frac{16}{7} + \frac{23}{14}\)
     Общий знаменатель равен 14.
     \(\frac{16 \times 2}{7 \times 2} + \frac{23}{14} = \frac{32}{14} + \frac{23}{14} = \frac{55}{14}\)
   • Вторая скобка в правой части: \(8 - \frac{1}{7}\)
     Представим 8 как дробь со знаменателем 7: \(8 = \frac{8 \times 7}{7} = \frac{56}{7}\)
     \(\frac{56}{7} - \frac{1}{7} = \frac{55}{7}\)

2. Теперь уравнение выглядит так:
   \(x \times \frac{5}{4} = \frac{55}{14} : \frac{55}{7}\)

3. Выполним деление в правой части:
   \(\frac{55}{14} : \frac{55}{7} = \frac{55}{14} \times \frac{7}{55}\)
   Сократим 55 и 7, 14:
   \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{1} = \frac{1}{2}\)

4. Теперь уравнение выглядит так:
   \(x \times \frac{5}{4} = \frac{1}{2}\)

5. Чтобы найти x, разделим обе части на \(\frac{5}{4}\) (или умножим на обратную дробь \(\frac{4}{5}\)):
   \(x = \frac{1}{2} \div \frac{5}{4}\)
   \(x = \frac{1}{2} \times \frac{4}{5}\)

6. Умножим дроби:
   \(x = \frac{1 \times 4}{2 \times 5}\)
   Сократим 4 и 2:
   \(x = \frac{1 \times 2}{1 \times 5} = \frac{2}{5}\)

Ответ: \(x = \frac{2}{5}\)

Задание 6

Условие: \(\frac{3}{14} \times (\frac{11}{12} + \frac{6}{11} + \frac{6}{10}) = \frac{3}{28} \times x\)

Решение:

1. Сначала упростим выражение в скобках в левой части:
   \(\frac{11}{12} + \frac{6}{11} + \frac{6}{10}\)
   Найдем общий знаменатель для 12, 11 и 10.
   Разложим знаменатели на простые множители:
   \(12 = 2^2 \times 3\)
   \(11 = 11\)
   \(10 = 2 \times 5\)
   Наименьшее общее кратное (НОК) будет \(2^2 \times 3 \times 5 \times 11 = 4 \times 3 \times 5 \times 11 = 12 \times 55 = 660\).

   Приведем дроби к общему знаменателю 660:
   \(\frac{11 \times 55}{12 \times 55} + \frac{6 \times 60}{11 \times 60} + \frac{6 \times 66}{10 \times 66} = \frac{605}{660} + \frac{360}{660} + \frac{396}{660}\)
   Сложим числители:
   \(\frac{605 + 360 + 396}{660} = \frac{1361}{660}\)

2. Теперь уравнение выглядит так:
   \(\frac{3}{14} \times \frac{1361}{660} = \frac{3}{28} \times x\)

3. Умножим дроби в левой части:
   \(\frac{3 \times 1361}{14 \times 660} = \frac{4083}{9240}\)
   Можно сократить 3 и 660 (на 3), 14 и 4083 (на 7, но 4083 не делится на 7).
   Сократим 3 и 660:
   \(\frac{1}{14} \times \frac{1361}{220} = \frac{1361}{3080}\)

4. Теперь уравнение выглядит так:
   \(\frac{1361}{3080} = \frac{3}{28} \times x\)

5. Чтобы найти x, разделим обе части на \(\frac{3}{28}\) (или умножим на обратную дробь \(\frac{28}{3}\)):
   \(x = \frac{1361}{3080} \div \frac{3}{28}\)
   \(x = \frac{1361}{3080} \times \frac{28}{3}\)

6. Умножим дроби:
   \(x = \frac{1361 \times 28}{3080 \times 3}\)
   Сократим 28 и 3080. \(3080 \div 28 = 110\).
   \(x = \frac{1361 \times 1}{110 \times 3} = \frac{1361}{330}\)

Ответ: \(x = \frac{1361}{330}\)

Задание 7

Условие: \(x \times (\frac{5}{2} - \frac{1}{4} + \frac{3}{2}) = (\frac{6}{5} - \frac{7}{10} + \frac{7}{20}) \times \frac{3}{20}\)

Решение:

1. Упростим выражения в скобках:

   • Левая часть: \(\frac{5}{2} - \frac{1}{4} + \frac{3}{2}\)
     Общий знаменатель равен 4.
     \(\frac{5 \times 2}{2 \times 2} - \frac{1}{4} + \frac{3 \times 2}{2 \times 2} = \frac{10}{4} - \frac{1}{4} + \frac{6}{4} = \frac{10 - 1 + 6}{4} = \frac{15}{4}\)
   • Правая часть: \(\frac{6}{5} - \frac{7}{10} + \frac{7}{20}\)
     Общий знаменатель равен 20.
     \(\frac{6 \times 4}{5 \times 4} - \frac{7 \times 2}{10 \times 2} + \frac{7}{20} = \frac{24}{20} - \frac{14}{20} + \frac{7}{20} = \frac{24 - 14 + 7}{20} = \frac{17}{20}\)

2. Теперь уравнение выглядит так:
   \(x \times \frac{15}{4} = \frac{17}{20} \times \frac{3}{20}\)

3. Умножим дроби в правой части:
   \(\frac{17 \times 3}{20 \times 20} = \frac{51}{400}\)

4. Теперь уравнение выглядит так:
   \(x \times \frac{15}{4} = \frac{51}{400}\)

5. Чтобы найти x, разделим обе части на \(\frac{15}{4}\) (или умножим на обратную дробь \(\frac{4}{15}\)):
   \(x = \frac{51}{400} \div \frac{15}{4}\)
   \(x = \frac{51}{400} \times \frac{4}{15}\)

6. Умножим дроби:
   \(x = \frac{51 \times 4}{400 \times 15}\)
   Сократим 4 и 400:
   \(x = \frac{51 \times 1}{100 \times 15}\)
   Сократим 51 и 15 (оба делятся на 3): \(51 \div 3 = 17\), \(15 \div 3 = 5\).
   \(x = \frac{17 \times 1}{100 \times 5} = \frac{17}{500}\)

Ответ: \(x = \frac{17}{500}\)

Задание 8

Условие: \(x \times (\frac{1}{4} + \frac{3}{2}) = [(\frac{1}{2} - \frac{3}{28} + \frac{15}{28}) - \frac{11}{14}]\)

Решение:

1. Упростим выражение в скобках в левой части:
   \(\frac{1}{4} + \frac{3}{2}\)
   Общий знаменатель равен 4.
   \(\frac{1}{4} + \frac{3 \times 2}{2 \times 2} = \frac{1}{4} + \frac{6}{4} = \frac{7}{4}\)

2. Упростим выражение в квадратных скобках в правой части:

   • Сначала упростим выражение внутри внутренних скобок: \(\frac{1}{2} - \frac{3}{28} + \frac{15}{28}\)
     Общий знаменатель равен 28.
     \(\frac{1 \times 14}{2 \times 14} - \frac{3}{28} + \frac{15}{28} = \frac{14}{28} - \frac{3}{28} + \frac{15}{28} = \frac{14 - 3 + 15}{28} = \frac{26}{28} = \frac{13}{14}\)
   • Теперь вычтем \(\frac{11}{14}\):
     \(\frac{13}{14} - \frac{11}{14} = \frac{13 - 11}{14} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}\)

3. Теперь уравнение выглядит так:
   \(x \times \frac{7}{4} = \frac{1}{7}\)

4. Чтобы найти x, разделим обе части на \(\frac{7}{4}\) (или умножим на обратную дробь \(\frac{4}{7}\)):
   \(x = \frac{1}{7} \div \frac{7}{4}\)
   \(x = \frac{1}{7} \times \frac{4}{7}\)

5. Умножим дроби:
   \(x = \frac{1 \times 4}{7 \times 7} = \frac{4}{49}\)

Ответ: \(x = \frac{4}{49}\)