Обмен значениями переменных с использованием временной переменной

Задание а) Найти корни квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом

Дан квадратный трехчлен \(az^2 + bz + c\), где \(a = 2\), \(b = 2\), \(c = 1\).

Составим квадратное уравнение:
\(2z^2 + 2z + 1 = 0\)

Найдем дискриминант:
\(D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot 1 = 4 - 8 = -4\)

Поскольку дискриминант отрицательный, корни уравнения будут комплексными.

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
\(z_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{D}}{2a} = \\frac{-2 \\pm \\sqrt{-4}}{2 \\cdot 2} = \\frac{-2 \\pm 2i}{4} = -\\frac{1}{2} \\pm \\frac{1}{2}i\)

Таким образом, корни уравнения:
\(z_1 = -\\frac{1}{2} + \\frac{1}{2}i\)
\(z_2 = -\\frac{1}{2} - \\frac{1}{2}i\)

Задание б) Разложить квадратный трехчлен на множители

Дан квадратный трехчлен \(az^2 + bz + c\), где \(a = 2\), \(b = 2\), \(c = 1\).

Сначала найдем корни квадратного уравнения \(2z^2 + 2z + 1 = 0\).

Найдем дискриминант:
\(D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4\)

Поскольку дискриминант отрицательный, корни уравнения будут комплексными:
\(z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2 \cdot 2} = \frac{-2 \pm 2i}{4} = -\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2}i\)

Таким образом, корни уравнения:
\(z_1 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\)
\(z_2 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i\)

Имея корни квадратного уравнения, мы можем разложить трехчлен на множители по формуле:
\(az^2 + bz + c = a(z - z_1)(z - z_2)\)

Подставим найденные корни:
\(2z^2 + 2z + 1 = 2 \left(z - \left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\right)\right) \left(z - \left(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i\right)\right)\)

Упростим выражения в скобках:
\(2z^2 + 2z + 1 = 2 \left(z + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i\right) \left(z + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\right)\)

Можно также заметить, что это произведение комплексно-сопряженных выражений, которое можно представить в виде:
\(\left(z + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i\right) \left(z + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\right) = \left(z + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(z + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4}\)

Таким образом, разложение квадратного трехчлена на множители:
\(2z^2 + 2z + 1 = 2 \left(z + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i\right) \left(z + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\right) = 2\left[\left(z + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4}\right]\)

Задание в) Изобразить корни на комплексной плоскости

Дан квадратный трехчлен \(az^2 + bz + c\), где \(a = 2\), \(b = 2\), \(c = 1\).

Сначала найдем корни квадратного уравнения \(2z^2 + 2z + 1 = 0\).

Дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4\)

Поскольку дискриминант отрицательный, корни уравнения будут комплексными:
\(z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2 \cdot 2} = \frac{-2 \pm 2i}{4} = -\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2}i\)

Таким образом, корни уравнения:
\(z_1 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\)
\(z_2 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i\)

На комплексной плоскости:
- \(z_1\) имеет координаты \((-0.5, 0.5)\)
- \(z_2\) имеет координаты \((-0.5, -0.5)\)

Заметим, что эти точки симметричны относительно действительной оси, что характерно для комплексно-сопряженных корней квадратного уравнения с действительными коэффициентами.

Задание б) Разложить квадратный трехчлен на множители, применяя свойства логарифма

Дан квадратный трехчлен \(az^2 + bz + c\), где \(a = 2\), \(b = 2\), \(c = 1\).

Итак, имеем трехчлен \(2z^2 + 2z + 1\).

Для разложения на множители с применением свойств логарифма, рассмотрим подход через экспоненциальную функцию.

Сначала найдем корни квадратного уравнения \(2z^2 + 2z + 1 = 0\).

Дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4\)

Корни уравнения:
\(z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2 \cdot 2} = \frac{-2 \pm 2i}{4} = -\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2}i\)

Таким образом, \(z_1 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\) и \(z_2 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i\)

Теперь применим свойства логарифма. Если \(w = \ln(z)\), то \(z = e^w\). Используя это, можем записать:

\(z - z_1 = z - \left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\right) = z + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i\)

Это выражение можно представить в экспоненциальной форме. Пусть \(z + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i = e^w\) для некоторого комплексного \(w\).

Аналогично, \(z - z_2 = z - \left(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i\right) = z + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\)

Используя свойство \(\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)\), получаем:

\(\ln\left[(z - z_1)(z - z_2)\right] = \ln(z - z_1) + \ln(z - z_2)\)

Это означает, что \((z - z_1)(z - z_2) = e^{\ln(z - z_1) + \ln(z - z_2)} = e^{\ln(z - z_1)(z - z_2)}\)

Теперь вычислим произведение \((z - z_1)(z - z_2)\):

\((z - z_1)(z - z_2) = \left(z + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i\right)\left(z + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\right)\)

Это произведение комплексно-сопряженных выражений, которое равно:

\((z - z_1)(z - z_2) = \left(z + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(z + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4} = z^2 + z + \frac{1}{2}\)

Таким образом, наш квадратный трехчлен можно записать как:

\(2z^2 + 2z + 1 = 2\left(z^2 + z + \frac{1}{2}\right) = 2(z - z_1)(z - z_2)\)

Используя свойства логарифма, можем записать:

\(\ln(2z^2 + 2z + 1) = \ln\left[2(z - z_1)(z - z_2)\right] = \ln(2) + \ln(z - z_1) + \ln(z - z_2)\)

Таким образом, разложение квадратного трехчлена на множители с применением свойств логарифма:

\(2z^2 + 2z + 1 = 2(z - z_1)(z - z_2) = 2\left(z + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i\right)\left(z + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\right)\)

или

\(2z^2 + 2z + 1 = 2\left[\left(z + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4}\right]\)

Задание г) Найти модуль и аргумент чисел z₁, z₂ и записать их в тригонометрической форме

Из предыдущих вычислений мы нашли корни квадратного уравнения \(2z^2 + 2z + 1 = 0\):

\(z_1 = -\\frac{1}{2} + \\frac{1}{2}i\)
\(z_2 = -\\frac{1}{2} - \\frac{1}{2}i\)

Найдем модуль числа z₁:

\(|z_1| = \\sqrt{\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^2 + \\left(\\frac{1}{2}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{1}{4} + \\frac{1}{4}} = \\sqrt{\\frac{2}{4}} = \\sqrt{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\)

Найдем аргумент числа z₁:

Для комплексного числа \(z = a + bi\) аргумент вычисляется как \(\\arg(z) = \\arctan(\\frac{b}{a})\) с учетом квадранта.

Для \(z_1 = -\\frac{1}{2} + \\frac{1}{2}i\), имеем \(a = -\\frac{1}{2}\) и \(b = \\frac{1}{2}\).

\(\\arctan\\left(\\frac{\\frac{1}{2}}{-\\frac{1}{2}}\\right) = \\arctan(-1) = -\\frac{\\pi}{4}\)

Но поскольку \(z_1\) находится во втором квадранте (отрицательная действительная часть и положительная мнимая часть), то:

\(\\arg(z_1) = \\pi - \\frac{\\pi}{4} = \\frac{3\\pi}{4}\)

Тригонометрическая форма z₁:

\(z_1 = |z_1| \\cdot (\\cos(\\arg(z_1)) + i \\cdot \\sin(\\arg(z_1)))\)

\(z_1 = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\left(\\cos\\left(\\frac{3\\pi}{4}\\right) + i \\cdot \\sin\\left(\\frac{3\\pi}{4}\\right)\\right)\)

\(\\cos\\left(\\frac{3\\pi}{4}\\right) = -\\frac{\\sqrt{2}}{2}\) и \(\\sin\\left(\\frac{3\\pi}{4}\\right) = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\)

\(z_1 = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\left(-\\frac{\\sqrt{2}}{2} + i \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right) = -\\frac{1}{2} + \\frac{1}{2}i\)

Таким образом, \(z_1 = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\left(\\cos\\left(\\frac{3\\pi}{4}\\right) + i \\cdot \\sin\\left(\\frac{3\\pi}{4}\\right)\\right)\)

Найдем модуль числа z₂:

\(|z_2| = \\sqrt{\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^2 + \\left(-\\frac{1}{2}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{1}{4} + \\frac{1}{4}} = \\sqrt{\\frac{2}{4}} = \\sqrt{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\)

Найдем аргумент числа z₂:

Для \(z_2 = -\\frac{1}{2} - \\frac{1}{2}i\), имеем \(a = -\\frac{1}{2}\) и \(b = -\\frac{1}{2}\).

\(\\arctan\\left(\\frac{-\\frac{1}{2}}{-\\frac{1}{2}}\\right) = \\arctan(1) = \\frac{\\pi}{4}\)

Но поскольку \(z_2\) находится в третьем квадранте (отрицательная действительная часть и отрицательная мнимая часть), то:

\(\\arg(z_2) = -\\pi + \\frac{\\pi}{4} = -\\frac{3\\pi}{4}\)

Или, в положительном представлении: \(\\arg(z_2) = 2\\pi - \\frac{3\\pi}{4} = \\frac{5\\pi}{4}\)

Тригонометрическая форма z₂:

\(z_2 = |z_2| \\cdot (\\cos(\\arg(z_2)) + i \\cdot \\sin(\\arg(z_2)))\)

\(z_2 = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\left(\\cos\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right) + i \\cdot \\sin\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right)\\right)\)

\(\\cos\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right) = -\\frac{\\sqrt{2}}{2}\) и \(\\sin\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right) = -\\frac{\\sqrt{2}}{2}\)

\(z_2 = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\left(-\\frac{\\sqrt{2}}{2} + i \\cdot (-\\frac{\\sqrt{2}}{2})\\right) = -\\frac{1}{2} - \\frac{1}{2}i\)

Таким образом, \(z_2 = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\left(\\cos\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right) + i \\cdot \\sin\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right)\\right)\)

Итог:

\(|z_1| = |z_2| = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\)

\(\\arg(z_1) = \\frac{3\\pi}{4}\)

\(\\arg(z_2) = -\\frac{3\\pi}{4}\) или \(\\frac{5\\pi}{4}\)

\(z_1 = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\left(\\cos\\left(\\frac{3\\pi}{4}\\right) + i \\cdot \\sin\\left(\\frac{3\\pi}{4}\\right)\\right)\)

\(z_2 = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\left(\\cos\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right) + i \\cdot \\sin\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right)\\right)\)

Задание 4) Найти предел функции \(\lim\limits_{x \to 1} x^{\frac{1}{x-1}}\)

Для нахождения данного предела воспользуемся методом логарифмирования, так как имеем выражение вида \(y = u^v\), где \(u\) и \(v\) зависят от \(x\).

Пусть \(y = x^{\frac{1}{x-1}}\). Тогда \(\ln y = \ln(x^{\frac{1}{x-1}}) = \frac{1}{x-1} \ln x\).

Теперь найдем предел логарифма функции:

\(\lim\limits_{x \to 1} \ln y = \lim\limits_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1}\)

Здесь мы имеем неопределенность вида \(\frac{0}{0}\), так как при \(x \to 1\): \(\ln x \to 0\) и \(x-1 \to 0\).

Применим правило Лопиталя:

\(\lim\limits_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1} = \lim\limits_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim\limits_{x \to 1} \frac{1}{x} = 1\)

Таким образом, \(\lim\limits_{x \to 1} \ln y = 1\).

Теперь вернемся к исходной функции. Поскольку \(\ln y \to 1\) при \(x \to 1\), то \(y \to e^1 = e\).

Ответ: \(\lim\limits_{x \to 1} x^{\frac{1}{x-1}} = e\)

Задание 5) Найти предел функции \(\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} (x^2 - \frac{\pi^2}{4}) \cdot \tg x\)

Рассмотрим данный предел. При \(x \to \frac{\pi}{2}\) имеем:

\(x^2 - \frac{\pi^2}{4} \to \frac{\pi^2}{4} - \frac{\pi^2}{4} = 0\)

\(\tg x \to \tg\frac{\pi}{2} = \infty\)

Таким образом, мы имеем неопределенность вида \(0 \cdot \infty\).

Преобразуем выражение, чтобы применить правило Лопиталя. Представим \(\tg x\) как \(\frac{\sin x}{\cos x}\):

\(\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} (x^2 - \frac{\pi^2}{4}) \cdot \tg x = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} (x^2 - \frac{\pi^2}{4}) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\)

Поскольку \(\sin x \to 1\) при \(x \to \frac{\pi}{2}\), можем переписать:

\(\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} (x^2 - \frac{\pi^2}{4}) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{(x^2 - \frac{\pi^2}{4}) \cdot \sin x}{\cos x}\)

Теперь у нас неопределенность вида \(\frac{0}{0}\), так как \(\cos x \to 0\) при \(x \to \frac{\pi}{2}\).

Преобразуем числитель, используя разложение:

\(x^2 - \frac{\pi^2}{4} = (x - \frac{\pi}{2})(x + \frac{\pi}{2})\)

Тогда:

\(\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{(x^2 - \frac{\pi^2}{4}) \cdot \sin x}{\cos x} = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{(x - \frac{\pi}{2})(x + \frac{\pi}{2}) \cdot \sin x}{\cos x}\)

При \(x \to \frac{\pi}{2}\), \((x + \frac{\pi}{2}) \to \pi\) и \(\sin x \to 1\), поэтому:

\(\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{(x - \frac{\pi}{2})(x + \frac{\pi}{2}) \cdot \sin x}{\cos x} = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{(x - \frac{\pi}{2}) \cdot \pi \cdot 1}{\cos x} = \pi \cdot \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{x - \frac{\pi}{2}}{\cos x}\)

Теперь воспользуемся тем, что \(\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{x - \frac{\pi}{2}}{\cos x} = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1}{-\sin x} = -1\)

Это можно доказать, применив правило Лопиталя к \(\frac{x - \frac{\pi}{2}}{\cos x}\):

\(\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{x - \frac{\pi}{2}}{\cos x} = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1}{-\sin x} = -1\)

Таким образом:

\(\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} (x^2 - \frac{\pi^2}{4}) \cdot \tg x = \pi \cdot (-1) = -\pi\)

Ответ: \(\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} (x^2 - \frac{\pi^2}{4}) \cdot \tg x = -\pi\)

Задание 4) Найти предел функции \(\lim\limits_{x \to 1} x^{\frac{1}{x-1}}\)

Рассмотрим более подробно решение данного предела. У нас есть выражение вида \(x^{\frac{1}{x-1}}\), где при \(x \to 1\) показатель степени \(\frac{1}{x-1}\) стремится к бесконечности (так как знаменатель стремится к нулю). Таким образом, мы имеем неопределенность вида \(1^{\infty}\).

Шаг 1: Применение логарифмирования

Для решения пределов вида \(1^{\infty}\), \(0^0\), \(\infty^0\) удобно использовать метод логарифмирования. Обозначим исходную функцию как \(y = x^{\frac{1}{x-1}}\) и найдем её натуральный логарифм:

\(\ln y = \ln(x^{\frac{1}{x-1}})\)

Используя свойство логарифма \(\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)\), получаем:

\(\ln y = \frac{1}{x-1} \cdot \ln x\)

Шаг 2: Нахождение предела логарифма функции

Теперь найдем предел логарифма нашей функции:

\(\lim\limits_{x \to 1} \ln y = \lim\limits_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1}\)

При \(x \to 1\) имеем:
- \(\ln x \to \ln 1 = 0\) (числитель стремится к нулю)
- \(x-1 \to 0\) (знаменатель стремится к нулю)

Таким образом, получаем неопределенность вида \(\frac{0}{0}\), к которой можно применить правило Лопиталя.

Шаг 3: Применение правила Лопиталя

Правило Лопиталя гласит: если \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = \lim\limits_{x \to a} g(x) = 0\) или \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = \lim\limits_{x \to a} g(x) = \infty\), то \(\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\) (если последний предел существует).

Найдем производные числителя и знаменателя:
- \((\ln x)' = \frac{1}{x}\)
- \((x-1)' = 1\)

Применяя правило Лопиталя:

\(\lim\limits_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1} = \lim\limits_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim\limits_{x \to 1} \frac{1}{x} = \frac{1}{1} = 1\)

Шаг 4: Возвращение к исходной функции

Мы нашли, что \(\lim\limits_{x \to 1} \ln y = 1\). Чтобы найти предел исходной функции \(y\), применим экспоненту к обеим частям равенства:

\(\ln y \to 1\) при \(x \to 1\)
\(y \to e^1 = e\) при \(x \to 1\)

Таким образом, \(\lim\limits_{x \to 1} x^{\frac{1}{x-1}} = e\).

Проверка результата

Для проверки можно рассмотреть поведение функции при значениях \(x\), близких к 1.

Если \(x = 1.01\), то \(x^{\frac{1}{x-1}} = (1.01)^{\frac{1}{0.01}} = (1.01)^{100} \approx 2.7048...\)

Если \(x = 1.001\), то \(x^{\frac{1}{x-1}} = (1.001)^{\frac{1}{0.001}} = (1.001)^{1000} \approx 2.7169...\)

Если \(x = 0.99\), то \(x^{\frac{1}{x-1}} = (0.99)^{\frac{1}{-0.01}} = (0.99)^{-100} \approx 2.7048...\)

Мы видим, что при приближении \(x\) к 1 как слева, так и справа, значение функции стремится к числу \(e \approx 2.71828...\), что подтверждает наш результат.

Ответ: \(\lim\limits_{x \to 1} x^{\frac{1}{x-1}} = e\)

Задание 1) Вычислить приближенно с помощью дифференциала: \(\sqrt{15,97}\)

Для приближенного вычисления значений функций с помощью дифференциала используем формулу:

\(f(a + \Delta x) \approx f(a) + f'(a) \cdot \Delta x\)

В нашем случае \(f(x) = \sqrt{x}\), и нам нужно найти \(f(15,97)\).

Выберем ближайшее удобное число \(a = 16\), тогда \(\Delta x = 15,97 - 16 = -0,03\).

Найдем значение функции в точке \(a\):
\(f(16) = \sqrt{16} = 4\)

Найдем производную функции \(f(x) = \sqrt{x}\):
\(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)

Вычислим значение производной в точке \(a = 16\):
\(f'(16) = \frac{1}{2\sqrt{16}} = \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8}\)

Теперь применим формулу приближенного вычисления:

\(f(15,97) \approx f(16) + f'(16) \cdot (15,97 - 16)\)

\(\sqrt{15,97} \approx 4 + \frac{1}{8} \cdot (-0,03)\)

\(\sqrt{15,97} \approx 4 - \frac{0,03}{8}\)

\(\sqrt{15,97} \approx 4 - 0,00375\)

\(\sqrt{15,97} \approx 3,99625\)

Для проверки вычислим точное значение \(\sqrt{15,97} = 3,9962...\)

Таким образом, приближенное значение \(\sqrt{15,97} \approx 3,996\) с точностью до тысячных.

Задание 2) Вычислить приближенно с помощью дифференциала: \(\sin 61^{\circ}\)

Для приближенного вычисления значений функций с помощью дифференциала используем формулу:

\(f(a + \Delta x) \approx f(a) + f'(a) \cdot \Delta x\)

В нашем случае \(f(x) = \sin x\), и нам нужно найти \(f(61^{\circ})\).

Поскольку мы работаем с тригонометрическими функциями, удобно выбрать в качестве опорной точки \(a = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}\) радиан. Тогда \(\Delta x = 61^{\circ} - 60^{\circ} = 1^{\circ} = \frac{\pi}{180}\) радиан.

Найдем значение функции в точке \(a\):
\(f(60^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866\)

Найдем производную функции \(f(x) = \sin x\):
\(f'(x) = \cos x\)

Вычислим значение производной в точке \(a = 60^{\circ}\):
\(f'(60^{\circ}) = \cos 60^{\circ} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\)

Теперь применим формулу приближенного вычисления:

\(f(61^{\circ}) \approx f(60^{\circ}) + f'(60^{\circ}) \cdot (61^{\circ} - 60^{\circ})\)

\(\sin 61^{\circ} \approx \sin 60^{\circ} + \cos 60^{\circ} \cdot 1^{\circ}\)

Переведем \(1^{\circ}\) в радианы: \(1^{\circ} = \frac{\pi}{180} \approx 0,01745\) радиан.

\(\sin 61^{\circ} \approx \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{180}\)

\(\sin 61^{\circ} \approx 0,866 + 0,5 \cdot 0,01745\)

\(\sin 61^{\circ} \approx 0,866 + 0,00873\)

\(\sin 61^{\circ} \approx 0,87473\)

Для проверки вычислим точное значение \(\sin 61^{\circ} = 0,87462...\)

Таким образом, приближенное значение \(\sin 61^{\circ} \approx 0,875\) с точностью до тысячных.

Задание 2) Вычислить приближенно с помощью дифференциала: \(\sin 62^{\circ}\)

Для приближенного вычисления значений функций с помощью дифференциала используем формулу:

\(f(a + \Delta x) \approx f(a) + f'(a) \cdot \Delta x\)

В нашем случае \(f(x) = \sin x\), и нам нужно найти \(f(62^{\circ})\).

Выберем в качестве опорной точки \(a = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}\) радиан, так как для этого угла значение синуса известно точно. Тогда \(\Delta x = 62^{\circ} - 60^{\circ} = 2^{\circ} = \frac{\pi}{90}\) радиан.

Найдем значение функции в точке \(a\):
\(f(60^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866\)

Найдем производную функции \(f(x) = \sin x\):
\(f'(x) = \cos x\)

Вычислим значение производной в точке \(a = 60^{\circ}\):
\(f'(60^{\circ}) = \cos 60^{\circ} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\)

Теперь применим формулу приближенного вычисления:

\(f(62^{\circ}) \approx f(60^{\circ}) + f'(60^{\circ}) \cdot (62^{\circ} - 60^{\circ})\)

\(\sin 62^{\circ} \approx \sin 60^{\circ} + \cos 60^{\circ} \cdot 2^{\circ}\)

Переведем \(2^{\circ}\) в радианы: \(2^{\circ} = \frac{2\pi}{180} = \frac{\pi}{90} \approx 0,0349\) радиан.

\(\sin 62^{\circ} \approx \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{90}\)

\(\sin 62^{\circ} \approx 0,866 + 0,5 \cdot 0,0349\)

\(\sin 62^{\circ} \approx 0,866 + 0,01745\)

\(\sin 62^{\circ} \approx 0,88345\)

Для проверки вычислим точное значение \(\sin 62^{\circ} = 0,88295...\)

Таким образом, приближенное значение \(\sin 62^{\circ} \approx 0,883\) с точностью до тысячных.

Абсолютная погрешность приближения составляет \(|0,88345 - 0,88295| \approx 0,0005\), что является достаточно хорошим приближением для практических целей.

Задание 1) Исследовать функцию и построить график: \(y = \\frac{x}{\\sqrt{x-1}}\)

Проведем полное исследование функции \(y = \\frac{x}{\\sqrt{x-1}}\).

1. Область определения функции

Функция определена при условиях:
- Знаменатель не равен нулю: \(\\sqrt{x-1} \ eq 0\)
- Подкоренное выражение неотрицательно: \(x-1 \\geq 0\)

Из второго условия получаем: \(x \\geq 1\)

При \(x = 1\) знаменатель равен нулю, поэтому \(x = 1\) исключаем из области определения.

Таким образом, область определения функции: \(D(f) = (1; +\\infty)\)

2. Четность/нечетность функции

Проверим функцию на четность/нечетность:
\(f(-x) = \\frac{-x}{\\sqrt{-x-1}}\)

Поскольку \(f(-x) \ eq f(x)\) и \(f(-x) \ eq -f(x)\), функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с осями координат

С осью \(OY\) (\(x = 0\)): точка не существует, так как \(x = 0\) не входит в область определения функции.

С осью \(OX\) (\(y = 0\)): решаем уравнение \(\\frac{x}{\\sqrt{x-1}} = 0\)
Получаем \(x = 0\), но эта точка не входит в область определения.

Таким образом, функция не пересекает оси координат.

4. Асимптоты функции

Вертикальная асимптота при \(x = 1\) (точка разрыва функции):
\(\\lim\\limits_{x \\to 1^+} \\frac{x}{\\sqrt{x-1}} = +\\infty\)

Наклонная асимптота \(y = kx + b\), где:
\(k = \\lim\\limits_{x \\to +\\infty} \\frac{f(x)}{x} = \\lim\\limits_{x \\to +\\infty} \\frac{x}{x\\sqrt{x-1}} = \\lim\\limits_{x \\to +\\infty} \\frac{1}{\\sqrt{x-1}} = 0\)

\(b = \\lim\\limits_{x \\to +\\infty} [f(x) - kx] = \\lim\\limits_{x \\to +\\infty} [\\frac{x}{\\sqrt{x-1}} - 0 \\cdot x] = \\lim\\limits_{x \\to +\\infty} \\frac{x}{\\sqrt{x-1}}\)

Преобразуем выражение:
\(\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} \\frac{x}{\\sqrt{x-1}} = \\lim\\limits_{x \\to +\\infty} \\frac{x}{\\sqrt{x} \\cdot \\sqrt{1-\\frac{1}{x}}} = \\lim\\limits_{x \\to +\\infty} \\frac{\\sqrt{x}}{\\sqrt{1-\\frac{1}{x}}} = +\\infty\)

Таким образом, наклонной асимптоты нет, но есть горизонтальная асимптота \(y = +\\infty\) при \(x \\to +\\infty\).

5. Монотонность и экстремумы функции

Найдем производную функции:
\(f'(x) = \\frac{d}{dx}\\left(\\frac{x}{\\sqrt{x-1}}\\right) = \\frac{\\sqrt{x-1} - \\frac{x}{2\\sqrt{x-1}}}{x-1} = \\frac{2(x-1) - x}{2(x-1)^{3/2}} = \\frac{x-2}{2(x-1)^{3/2}}\)

Приравняем производную к нулю:
\(f'(x) = 0 \\Rightarrow \\frac{x-2}{2(x-1)^{3/2}} = 0 \\Rightarrow x-2 = 0 \\Rightarrow x = 2\)

Производная меняет знак при переходе через точку \(x = 2\):
- При \(x \\in (1; 2)\): \(f'(x) < 0\), функция убывает
- При \(x \\in (2; +\\infty)\): \(f'(x) > 0\), функция возрастает

Таким образом, точка \(x = 2\) является точкой минимума функции.
Значение функции в точке минимума: \(f(2) = \\frac{2}{\\sqrt{2-1}} = \\frac{2}{1} = 2\)

6. Выпуклость и точки перегиба

Найдем вторую производную:
\(f''(x) = \\frac{d}{dx}\\left(\\frac{x-2}{2(x-1)^{3/2}}\\right) = \\frac{2(x-1)^{3/2} - \\frac{3}{2}(x-2)(x-1)^{1/2}}{4(x-1)^3}\)

После упрощения получаем:
\(f''(x) = \\frac{3x-5}{4(x-1)^{5/2}}\)

Приравняем вторую производную к нулю:
\(f''(x) = 0 \\Rightarrow \\frac{3x-5}{4(x-1)^{5/2}} = 0 \\Rightarrow 3x-5 = 0 \\Rightarrow x = \\frac{5}{3}\)

Вторая производная меняет знак при переходе через точку \(x = \\frac{5}{3}\):
- При \(x \\in (1; \\frac{5}{3})\): \(f''(x) < 0\), функция вогнутая
- При \(x \\in (\\frac{5}{3}; +\\infty)\): \(f''(x) > 0\), функция выпуклая

Таким образом, точка \(x = \\frac{5}{3}\) является точкой перегиба функции.
Значение функции в точке перегиба: \(f(\\frac{5}{3}) = \\frac{\\frac{5}{3}}{\\sqrt{\\frac{5}{3}-1}} = \\frac{\\frac{5}{3}}{\\sqrt{\\frac{2}{3}}} = \\frac{5}{3} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{2}} = \\frac{5\\sqrt{3}}{3\\sqrt{2}}\)

7. Построение графика

На основе проведенного исследования строим график функции \(y = \\frac{x}{\\sqrt{x-1}}\):

• Область определения: \(x > 1\)
• Вертикальная асимптота: \(x = 1\)
• Точка минимума: \((2, 2)\)
• Точка перегиба: \((\\frac{5}{3}, \\frac{5\\sqrt{3}}{3\\sqrt{2}})\)
• При \(x \\to +\\infty\), \(y \\to +\\infty\)
• Функция убывает на интервале \((1; 2)\) и возрастает на интервале \((2; +\\infty)\)
• Функция вогнутая на интервале \((1; \\frac{5}{3})\) и выпуклая на интервале \((\\frac{5}{3}; +\\infty)\)

Задание: Исследовать функцию и построить график \(y = \ln(1+x^2)\)

Проведем полное исследование функции \(y = \ln(1+x^2)\).

1. Область определения функции

Функция \(y = \ln(1+x^2)\) определена при условии \(1+x^2 > 0\).
Поскольку \(x^2 \geq 0\) для любого действительного \(x\), то \(1+x^2 > 0\) всегда выполняется.

Таким образом, область определения функции: \(D(f) = (-\infty; +\infty)\), т.е. вся числовая прямая.

2. Четность/нечетность функции

Проверим функцию на четность/нечетность:
\(f(-x) = \ln(1+(-x)^2) = \ln(1+x^2) = f(x)\)

Поскольку \(f(-x) = f(x)\) для любого \(x\) из области определения, функция является четной.

3. Точки пересечения с осями координат

С осью \(OY\) (\(x = 0\)): \(f(0) = \ln(1+0^2) = \ln(1) = 0\), т.е. точка \((0,0)\).

С осью \(OX\) (\(y = 0\)): решаем уравнение \(\ln(1+x^2) = 0\)
\(\ln(1+x^2) = 0 \Rightarrow 1+x^2 = e^0 = 1 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0\)

Таким образом, функция пересекает обе оси координат в точке \((0,0)\).

4. Асимптоты функции

Вертикальных асимптот нет, так как функция определена на всей числовой прямой.

Проверим наличие горизонтальных асимптот при \(x \to \pm\infty\):
\(\lim\limits_{x \to \pm\infty} \ln(1+x^2) = +\infty\)

Таким образом, горизонтальных асимптот нет.

Проверим наличие наклонных асимптот \(y = kx + b\):
\(k = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{\ln(1+x^2)}{x}\)

Применим правило Лопиталя:
\(\lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{\ln(1+x^2)}{x} = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{2x}{1+x^2}}{1} = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{2x}{1+x^2} = 0\)

Поскольку \(k = 0\), наклонных асимптот нет, но может быть горизонтальная асимптота \(y = b\).
Однако, как мы уже выяснили, \(\lim\limits_{x \to \pm\infty} \ln(1+x^2) = +\infty\), поэтому горизонтальных асимптот тоже нет.

5. Монотонность и экстремумы функции

Найдем производную функции:
\(f'(x) = \frac{d}{dx}\ln(1+x^2) = \frac{1}{1+x^2} \cdot \frac{d}{dx}(1+x^2) = \frac{1}{1+x^2} \cdot 2x = \frac{2x}{1+x^2}\)

Приравняем производную к нулю:
\(f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{2x}{1+x^2} = 0 \Rightarrow x = 0\)

Производная меняет знак при переходе через точку \(x = 0\):
- При \(x < 0\): \(f'(x) < 0\), функция убывает
- При \(x > 0\): \(f'(x) > 0\), функция возрастает

Таким образом, точка \(x = 0\) является точкой минимума функции.
Значение функции в точке минимума: \(f(0) = \ln(1+0^2) = \ln(1) = 0\)

6. Выпуклость и точки перегиба

Найдем вторую производную:
\(f''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) = \frac{(1+x^2) \cdot 2 - 2x \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{2(1+x^2) - 4x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{2-2x^2}{(1+x^2)^2}\)

Приравняем вторую производную к нулю:
\(f''(x) = 0 \Rightarrow \frac{2-2x^2}{(1+x^2)^2} = 0 \Rightarrow 2-2x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1\)

Вторая производная меняет знак при переходе через точки \(x = -1\) и \(x = 1\):
- При \(x \in (-\infty; -1)\): \(f''(x) < 0\), функция вогнутая
- При \(x \in (-1; 1)\): \(f''(x) > 0\), функция выпуклая
- При \(x \in (1; +\infty)\): \(f''(x) < 0\), функция вогнутая

Таким образом, точки \(x = -1\) и \(x = 1\) являются точками перегиба функции.
Значения функции в точках перегиба: \(f(-1) = f(1) = \ln(1+1) = \ln(2) \approx 0,693\)

7. Построение графика

На основе проведенного исследования строим график функции \(y = \ln(1+x^2)\):

• Область определения: вся числовая прямая
• Функция четная, график симметричен относительно оси \(OY\)
• Точка пересечения с осями координат: \((0,0)\)
• Точка минимума: \((0,0)\)
• Точки перегиба: \((-1, \ln(2))\) и \((1, \ln(2))\)
• Функция убывает на интервале \((-\infty; 0)\) и возрастает на интервале \((0; +\infty)\)
• Функция вогнутая на интервалах \((-\infty; -1)\) и \((1; +\infty)\), выпуклая на интервале \((-1; 1)\)
• При \(x \to \pm\infty\), \(y \to +\infty\)

Задание: Исследовать функцию и построить график \(y = \\ln(1+x^2)\)

Давайте проведем более подробное исследование функции \(y = \\ln(1+x^2)\), уточняя каждый шаг и правила, которые применяются.

1. Область определения функции

Для нахождения области определения функции необходимо учесть, что:
- Логарифм \(\\ln(a)\) определен только при \(a > 0\)
- В нашем случае \(a = 1+x^2\)

Решаем неравенство \(1+x^2 > 0\):
Поскольку \(x^2 \\geq 0\) для любого действительного числа \(x\) (квадрат числа всегда неотрицателен), то \(1+x^2 \\geq 1 > 0\) для всех \(x \\in \\mathbb{R}\).

Таким образом, область определения функции: \(D(f) = (-\\infty; +\\infty)\) — вся числовая прямая.

2. Четность/нечетность функции

Для определения четности/нечетности функции используем следующие правила:
- Функция \(f(x)\) называется четной, если \(f(-x) = f(x)\) для всех \(x\) из области определения
- Функция \(f(x)\) называется нечетной, если \(f(-x) = -f(x)\) для всех \(x\) из области определения

Проверим нашу функцию:
\(f(-x) = \\ln(1+(-x)^2) = \\ln(1+x^2) = f(x)\)

Поскольку \(f(-x) = f(x)\) для любого \(x\), функция является четной. Это означает, что график функции симметричен относительно оси ординат (оси \(y\)).

3. Точки пересечения с осями координат

Пересечение с осью \(OY\) (ось ординат):
Подставляем \(x = 0\) в уравнение функции:
\(f(0) = \\ln(1+0^2) = \\ln(1) = 0\)

Здесь мы используем свойство логарифма: \(\\ln(1) = 0\). Таким образом, функция пересекает ось \(OY\) в точке \((0,0)\).

Пересечение с осью \(OX\) (ось абсцисс):
Решаем уравнение \(f(x) = 0\):
\(\\ln(1+x^2) = 0\)

Используя свойство логарифма: если \(\\ln(a) = b\), то \(a = e^b\):
\(1+x^2 = e^0 = 1\)
\(x^2 = 0\)
\(x = 0\)

Таким образом, функция пересекает ось \(OX\) только в точке \((0,0)\), которая совпадает с точкой пересечения с осью \(OY\).

4. Асимптоты функции

Вертикальные асимптоты:
Вертикальные асимптоты возникают в точках разрыва функции, где знаменатель обращается в ноль или логарифм имеет неопределенность. В нашем случае функция \(\\ln(1+x^2)\) определена на всей числовой прямой, поэтому вертикальных асимптот нет.

Горизонтальные асимптоты:
Горизонтальная асимптота \(y = b\) существует, если \(\\lim_{x \\to \\pm\\infty} f(x) = b\).

Вычислим предел:
\(\\lim_{x \\to \\pm\\infty} \\ln(1+x^2)\)

При \(x \\to \\pm\\infty\), \(x^2 \\to +\\infty\), следовательно, \(1+x^2 \\to +\\infty\), и \(\\ln(1+x^2) \\to +\\infty\).

Поскольку предел не является конечным числом, горизонтальных асимптот нет.

Наклонные асимптоты:
Наклонная асимптота имеет вид \(y = kx + b\), где:
\(k = \\lim_{x \\to \\pm\\infty} \\frac{f(x)}{x}\)
\(b = \\lim_{x \\to \\pm\\infty} [f(x) - kx]\)

Вычислим \(k\):
\(k = \\lim_{x \\to \\pm\\infty} \\frac{\\ln(1+x^2)}{x}\)

Этот предел является неопределенностью вида \(\\frac{\\infty}{\\infty}\), поэтому применим правило Лопиталя, которое гласит: если \(\\lim_{x \\to a} \\frac{f(x)}{g(x)}\) имеет вид \(\\frac{\\infty}{\\infty}\) или \(\\frac{0}{0}\), то \(\\lim_{x \\to a} \\frac{f(x)}{g(x)} = \\lim_{x \\to a} \\frac{f'(x)}{g'(x)}\).

\(k = \\lim_{x \\to \\pm\\infty} \\frac{\\ln(1+x^2)}{x} = \\lim_{x \\to \\pm\\infty} \\frac{\\frac{2x}{1+x^2}}{1} = \\lim_{x \\to \\pm\\infty} \\frac{2x}{1+x^2}\)

При \(x \\to \\pm\\infty\), \(\\frac{2x}{1+x^2} \\approx \\frac{2x}{x^2} = \\frac{2}{x} \\to 0\).

Таким образом, \(k = 0\), что указывает на возможное существование горизонтальной асимптоты. Однако, как мы уже выяснили, \(\\lim_{x \\to \\pm\\infty} \\ln(1+x^2) = +\\infty\), поэтому горизонтальных асимптот нет.

Важное уточнение: хотя \(k = 0\), функция не имеет горизонтальной асимптоты, так как она неограниченно возрастает при \(x \\to \\pm\\infty\), но растет медленнее, чем линейная функция.

5. Монотонность и экстремумы функции

Для исследования монотонности и нахождения экстремумов используем первую производную функции.

Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции \((f(g(x)))' = f'(g(x)) \\cdot g'(x)\) и свойство производной логарифма \((\\ln(u))' = \\frac{u'}{u}\):

\(f'(x) = \\frac{d}{dx}[\\ln(1+x^2)] = \\frac{1}{1+x^2} \\cdot \\frac{d}{dx}(1+x^2) = \\frac{1}{1+x^2} \\cdot 2x = \\frac{2x}{1+x^2}\)

Для нахождения критических точек приравниваем производную к нулю:
\(f'(x) = 0 \\Rightarrow \\frac{2x}{1+x^2} = 0 \\Rightarrow x = 0\) (так как \(1+x^2 > 0\) для всех \(x\))

Анализируем знак производной:
- При \(x < 0\): \(f'(x) < 0\) (так как числитель отрицательный, а знаменатель положительный), функция убывает
- При \(x > 0\): \(f'(x) > 0\) (так как и числитель, и знаменатель положительны), функция возрастает

Поскольку производная меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку \(x = 0\), эта точка является точкой минимума функции.

Значение функции в точке минимума: \(f(0) = \\ln(1+0^2) = \\ln(1) = 0\)

Таким образом, точка \((0,0)\) является точкой минимума функции.

6. Выпуклость и точки перегиба

Для исследования выпуклости и нахождения точек перегиба используем вторую производную функции.

Найдем вторую производную, дифференцируя первую производную:

\(f''(x) = \\frac{d}{dx}\\left(\\frac{2x}{1+x^2}\\right)\)

Используем правило дифференцирования частного \(\\left(\\frac{u}{v}\\right)' = \\frac{u'v - uv'}{v^2}\):

\(f''(x) = \\frac{2 \\cdot (1+x^2) - 2x \\cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \\frac{2(1+x^2) - 4x^2}{(1+x^2)^2} = \\frac{2 - 2x^2}{(1+x^2)^2}\)

Для нахождения точек перегиба приравниваем вторую производную к нулю:
\(f''(x) = 0 \\Rightarrow \\frac{2 - 2x^2}{(1+x^2)^2} = 0 \\Rightarrow 2 - 2x^2 = 0 \\Rightarrow x^2 = 1 \\Rightarrow x = \\pm 1\)

Анализируем знак второй производной:
- При \(x \\in (-\\infty, -1)\): \(f''(x) < 0\) (так как \(2 - 2x^2 < 0\) при \(x^2 > 1\)), функция вогнутая
- При \(x \\in (-1, 1)\): \(f''(x) > 0\) (так как \(2 - 2x^2 > 0\) при \(x^2 < 1\)), функция выпуклая
- При \(x \\in (1, +\\infty)\): \(f''(x) < 0\) (так как \(2 - 2x^2 < 0\) при \(x^2 > 1\)), функция вогнутая

Поскольку вторая производная меняет знак при переходе через точки \(x = -1\) и \(x = 1\), эти точки являются точками перегиба функции.

Значения функции в точках перегиба:
\(f(-1) = f(1) = \\ln(1+1) = \\ln(2) \\approx 0,693\)

Таким образом, точки \((-1, \\ln(2))\) и \((1, \\ln(2))\) являются точками перегиба функции.

7. Дополнительная проверка и уточнения

Проверим поведение функции при больших значениях \(|x|\):

При \(|x| \\to \\infty\), функция \(y = \\ln(1+x^2)\) растет логарифмически, то есть медленнее, чем линейная функция, но неограниченно. Это подтверждает отсутствие горизонтальных и наклонных асимптот.

Проверим симметрию графика относительно оси \(OY\) (так как функция четная):
Для любого \(x\): \(f(-x) = \\ln(1+(-x)^2) = \\ln(1+x^2) = f(x)\), что подтверждает четность функции.

8. Итоговые характеристики функции \(y = \\ln(1+x^2)\)

1. Область определения: \(D(f) = (-\\infty; +\\infty)\) — вся числовая прямая
2. Четность: функция четная, график симметричен относительно оси \(OY\)
3. Точки пересечения с осями: единственная точка \((0,0)\)
4. Асимптоты: отсутствуют
5. Монотонность:
   - убывает на \((-\\infty; 0)\)
   - возрастает на \((0; +\\infty)\)
6. Экстремумы: точка минимума \((0,0)\)
7. Выпуклость:
   - вогнутая на \((-\\infty; -1)\) и \((1; +\\infty)\)
   - выпуклая на \((-1; 1)\)
8. Точки перегиба: \((-1, \\ln(2))\) и \((1, \\ln(2))\)
9. Поведение на бесконечности: \(\\lim_{x \\to \\pm\\infty} \\ln(1+x^2) = +\\infty\)

Задание: Дан квадратный трехчлен \(az^2 + bz + c\), где \(a = 2\), \(b = 2\), \(c = 1\). Требуется:
д) вычислить \(z_1^3\) и \(z_2^2\);
е) вычислить \(e^{z_1}\) и \(\ln z_2\).

Решение:

Сначала найдем корни квадратного трехчлена \(2z^2 + 2z + 1 = 0\).

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
\(z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

Подставляем значения \(a = 2\), \(b = 2\), \(c = 1\):
\(z_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{4}\)

Поскольку дискриминант \(D = b^2 - 4ac = 4 - 8 = -4 < 0\), корни уравнения будут комплексными.

\(z_{1,2} = \frac{-2 \pm 2i}{4} = -\frac{1}{2} \pm \frac{i}{2}\)

Таким образом:
\(z_1 = -\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\)
\(z_2 = -\frac{1}{2} - \frac{i}{2}\)

д) Вычислим \(z_1^3\) и \(z_2^2\)

Вычисление \(z_1^3\):

Для вычисления \(z_1^3\) удобно использовать тригонометрическую форму комплексного числа.

Представим \(z_1 = -\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\) в виде \(z_1 = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)\), где:
- \(r = |z_1| = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
- \(\cos \varphi = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
- \(\sin \varphi = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Таким образом, \(\varphi = \frac{3\pi}{4}\) (так как \(\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)).

Теперь используем формулу Муавра для возведения комплексного числа в степень:
\(z^n = r^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi)\)

\(z_1^3 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3 \left(\cos \frac{9\pi}{4} + i\sin \frac{9\pi}{4}\right) = \frac{1}{2\sqrt{2}} \left(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\right)\)

Поскольку \(\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\), получаем:

\(z_1^3 = \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (1 + i) = \frac{1}{4} (1 + i)\)

Таким образом, \(z_1^3 = \frac{1}{4} + \frac{i}{4}\)

Вычисление \(z_2^2\):

Аналогично, для \(z_2 = -\frac{1}{2} - \frac{i}{2}\):
- \(r = |z_2| = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
- \(\cos \varphi = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
- \(\sin \varphi = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Таким образом, \(\varphi = -\frac{3\pi}{4}\) (так как \(\cos (-\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin (-\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)).

Используя формулу Муавра:
\(z_2^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 \left(\cos \frac{-6\pi}{4} + i\sin \frac{-6\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} \left(\cos \frac{-6\pi}{4} + i\sin \frac{-6\pi}{4}\right)\)

Поскольку \(\frac{-6\pi}{4} = -\frac{3\pi}{2} = \frac{\pi}{2}\), и \(\cos \frac{\pi}{2} = 0\) и \(\sin \frac{\pi}{2} = 1\), получаем:

\(z_2^2 = \frac{1}{2} (0 + i) = \frac{i}{2}\)

Таким образом, \(z_2^2 = \frac{i}{2}\)

е) Вычислим \(e^{z_1}\) и \(\ln z_2\)

Вычисление \(e^{z_1}\):

Для комплексного числа \(z = a + bi\) формула \(e^z = e^a(\cos b + i\sin b)\).

Подставляем \(z_1 = -\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\):

\(e^{z_1} = e^{-\frac{1}{2}} \left(\cos \frac{1}{2} + i\sin \frac{1}{2}\right)\)

Вычисляем \(e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}} \approx 0.6065\)

Таким образом:
\(e^{z_1} = \frac{1}{\sqrt{e}} \left(\cos \frac{1}{2} + i\sin \frac{1}{2}\right) \approx 0.6065 \cdot (\cos 0.5 + i\sin 0.5)\)

Приближенно: \(\cos 0.5 \approx 0.8776\) и \(\sin 0.5 \approx 0.4794\)

\(e^{z_1} \approx 0.6065 \cdot (0.8776 + 0.4794i) \approx 0.5323 + 0.2908i\)

Вычисление \(\ln z_2\):

Для комплексного числа \(z = re^{i\varphi}\) формула \(\ln z = \ln r + i\varphi\).

Для \(z_2 = -\frac{1}{2} - \frac{i}{2}\):
- \(r = |z_2| = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.7071\)
- \(\varphi = -\frac{3\pi}{4} \approx -2.3562\)

Таким образом:
\(\ln z_2 = \ln \frac{1}{\sqrt{2}} + i \cdot \left(-\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{1}{2}\ln 2 - \frac{3\pi i}{4}\)

Приближенно: \(\ln 2 \approx 0.6931\)

\(\ln z_2 \approx -0.3466 - 2.3562i\)

Ответ:

д) \(z_1^3 = \frac{1}{4} + \frac{i}{4}\); \(z_2^2 = \frac{i}{2}\)
е) \(e^{z_1} = \frac{1}{\sqrt{e}} \left(\cos \frac{1}{2} + i\sin \frac{1}{2}\right) \approx 0.5323 + 0.2908i\); \(\ln z_2 = -\frac{1}{2}\ln 2 - \frac{3\pi i}{4} \approx -0.3466 - 2.3562i\)

Задание: Дан квадратный трехчлен \(az^2 + bz + c\), где \(a = 2\), \(b = 2\), \(c = 1\). Требуется:
д) вычислить \(z_1^3\) и \(z_2^2\);
е) вычислить \(e^{z_1}\) и \(\\ln z_2\).

Подробное решение

Шаг 1: Нахождение корней квадратного трехчлена

Нам дан квадратный трехчлен \(2z^2 + 2z + 1 = 0\). Для нахождения его корней воспользуемся стандартной формулой для решения квадратных уравнений:

\(z_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

Где \(a = 2\), \(b = 2\), \(c = 1\).

Вычислим дискриминант:
\(D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot 1 = 4 - 8 = -4\)

Поскольку дискриминант отрицательный (\(D < 0\)), корни уравнения будут комплексными числами.

Подставим значения в формулу:
\(z_{1,2} = \\frac{-2 \\pm \\sqrt{-4}}{2 \\cdot 2} = \\frac{-2 \\pm 2i}{4}\)

Здесь мы использовали свойство: \(\\sqrt{-4} = \\sqrt{4 \\cdot (-1)} = 2\\sqrt{-1} = 2i\), где \(i\) — мнимая единица, для которой \(i^2 = -1\).

Упростим выражение:
\(z_{1,2} = \\frac{-2 \\pm 2i}{4} = -\\frac{1}{2} \\pm \\frac{i}{2}\)

Таким образом, получаем два комплексных корня:
\(z_1 = -\\frac{1}{2} + \\frac{i}{2}\)
\(z_2 = -\\frac{1}{2} - \\frac{i}{2}\)

Заметим, что эти корни являются комплексно-сопряженными числами, что характерно для квадратных уравнений с действительными коэффициентами.

Шаг 2: Вычисление \(z_1^3\)

Для вычисления степеней комплексных чисел удобно использовать тригонометрическую (полярную) форму записи комплексного числа:

\(z = r(\\cos \\varphi + i\\sin \\varphi) = re^{i\\varphi}\)

Где \(r = |z|\) — модуль комплексного числа, а \(\\varphi\) — его аргумент (угол в полярных координатах).

Найдем модуль числа \(z_1 = -\\frac{1}{2} + \\frac{i}{2}\):
\(|z_1| = \\sqrt{\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^2 + \\left(\\frac{1}{2}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{1}{4} + \\frac{1}{4}} = \\sqrt{\\frac{2}{4}} = \\sqrt{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\)

Теперь найдем аргумент \(\\varphi\). Для комплексного числа \(z = a + bi\) аргумент можно найти как \(\\varphi = \\arctan\\frac{b}{a}\) с учетом квадранта, в котором находится точка \((a, b)\).

В нашем случае \(a = -\\frac{1}{2}\) и \(b = \\frac{1}{2}\). Поскольку \(a < 0\) и \(b > 0\), точка находится во втором квадранте, и аргумент равен:
\(\\varphi = \\pi + \\arctan\\frac{b}{a} = \\pi + \\arctan\\frac{\\frac{1}{2}}{-\\frac{1}{2}} = \\pi + \\arctan(-1) = \\pi - \\frac{\\pi}{4} = \\frac{3\\pi}{4}\)

Можно также проверить это, вычислив косинус и синус этого угла:
\(\\cos \\frac{3\\pi}{4} = -\\frac{\\sqrt{2}}{2}\) и \(\\sin \\frac{3\\pi}{4} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\)

И действительно, если нормализовать координаты точки, разделив их на модуль:
\(\\frac{-\\frac{1}{2}}{\\frac{1}{\\sqrt{2}}} = -\\frac{1}{\\sqrt{2}} = -\\frac{\\sqrt{2}}{2} = \\cos \\frac{3\\pi}{4}\)
\(\\frac{\\frac{1}{2}}{\\frac{1}{\\sqrt{2}}} = \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2} = \\sin \\frac{3\\pi}{4}\)

Теперь запишем \(z_1\) в тригонометрической форме:
\(z_1 = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\\left(\\cos \\frac{3\\pi}{4} + i\\sin \\frac{3\\pi}{4}\\right) = \\frac{1}{\\sqrt{2}}e^{i\\frac{3\\pi}{4}}\)

Для возведения комплексного числа в степень используем формулу Муавра:
\(z^n = r^n(\\cos n\\varphi + i\\sin n\\varphi) = r^ne^{in\\varphi}\)

Применим эту формулу для вычисления \(z_1^3\):
\(z_1^3 = \\left(\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\right)^3 \\left(\\cos \\frac{9\\pi}{4} + i\\sin \\frac{9\\pi}{4}\\right) = \\frac{1}{2\\sqrt{2}}\\left(\\cos \\frac{9\\pi}{4} + i\\sin \\frac{9\\pi}{4}\\right)\)

Упростим угол \(\\frac{9\\pi}{4}\). Поскольку тригонометрические функции имеют период \(2\\pi\), можно вычесть целое число периодов:
\(\\frac{9\\pi}{4} = \\frac{8\\pi}{4} + \\frac{\\pi}{4} = 2\\pi + \\frac{\\pi}{4} \\equiv \\frac{\\pi}{4} \\pmod{2\\pi}\)

Таким образом:
\(z_1^3 = \\frac{1}{2\\sqrt{2}}\\left(\\cos \\frac{\\pi}{4} + i\\sin \\frac{\\pi}{4}\\right)\)

Известно, что \(\\cos \\frac{\\pi}{4} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\) и \(\\sin \\frac{\\pi}{4} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\), поэтому:

\(z_1^3 = \\frac{1}{2\\sqrt{2}} \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2}(1 + i) = \\frac{1}{4}(1 + i) = \\frac{1}{4} + \\frac{i}{4}\)

Шаг 3: Вычисление \(z_2^2\)

Аналогично вычислим \(z_2^2\). Сначала найдем модуль и аргумент числа \(z_2 = -\\frac{1}{2} - \\frac{i}{2}\).

Модуль:
\(|z_2| = \\sqrt{\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^2 + \\left(-\\frac{1}{2}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{1}{4} + \\frac{1}{4}} = \\sqrt{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\)

Аргумент (с учетом того, что \(a < 0\) и \(b < 0\), точка находится в третьем квадранте):
\(\\varphi = \\pi + \\arctan\\frac{b}{a} = \\pi + \\arctan\\frac{-\\frac{1}{2}}{-\\frac{1}{2}} = \\pi + \\arctan(1) = \\pi + \\frac{\\pi}{4} = \\frac{5\\pi}{4}\)

Можно также записать этот угол как \(-\\frac{3\\pi}{4}\), поскольку \(\\frac{5\\pi}{4} = 2\\pi - \\frac{3\\pi}{4}\), и тригонометрические функции имеют период \(2\\pi\).

Проверим это, вычислив косинус и синус:
\(\\cos(-\\frac{3\\pi}{4}) = \\cos(\\frac{5\\pi}{4}) = -\\frac{\\sqrt{2}}{2}\) и \(\\sin(-\\frac{3\\pi}{4}) = \\sin(\\frac{5\\pi}{4}) = -\\frac{\\sqrt{2}}{2}\)

Запишем \(z_2\) в тригонометрической форме:
\(z_2 = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\\left(\\cos(-\\frac{3\\pi}{4}) + i\\sin(-\\frac{3\\pi}{4})\\right) = \\frac{1}{\\sqrt{2}}e^{-i\\frac{3\\pi}{4}}\)

Теперь применим формулу Муавра для вычисления \(z_2^2\):
\(z_2^2 = \\left(\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\right)^2 \\left(\\cos(-\\frac{6\\pi}{4}) + i\\sin(-\\frac{6\\pi}{4})\\right) = \\frac{1}{2}\\left(\\cos(-\\frac{6\\pi}{4}) + i\\sin(-\\frac{6\\pi}{4})\\right)\)

Упростим угол \(-\\frac{6\\pi}{4}\):
\(-\\frac{6\\pi}{4} = -\\frac{4\\pi}{4} - \\frac{2\\pi}{4} = -\\pi - \\frac{\\pi}{2} = -\\frac{3\\pi}{2}\)

Поскольку тригонометрические функции имеют период \(2\\pi\), можно добавить целое число периодов:
\(-\\frac{3\\pi}{2} = -\\frac{3\\pi}{2} + 2\\pi = \\frac{\\pi}{2}\)

Таким образом:
\(z_2^2 = \\frac{1}{2}\\left(\\cos \\frac{\\pi}{2} + i\\sin \\frac{\\pi}{2}\\right) = \\frac{1}{2}(0 + i) = \\frac{i}{2}\)

Здесь мы использовали, что \(\\cos \\frac{\\pi}{2} = 0\) и \(\\sin \\frac{\\pi}{2} = 1\).

Шаг 4: Вычисление \(e^{z_1}\)

Для вычисления экспоненты комплексного числа используем формулу:
\(e^{a+bi} = e^a(\\cos b + i\\sin b)\)

Подставим \(z_1 = -\\frac{1}{2} + \\frac{i}{2}\):
\(e^{z_1} = e^{-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{2}} = e^{-\\frac{1}{2}} \\cdot e^{\\frac{i}{2}} = e^{-\\frac{1}{2}}\\left(\\cos \\frac{1}{2} + i\\sin \\frac{1}{2}\\right)\)

Вычислим \(e^{-\\frac{1}{2}}\):
\(e^{-\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{e^{\\frac{1}{2}}} = \\frac{1}{\\sqrt{e}}\)

Таким образом:
\(e^{z_1} = \\frac{1}{\\sqrt{e}}\\left(\\cos \\frac{1}{2} + i\\sin \\frac{1}{2}\\right)\)

Численно \(\\frac{1}{\\sqrt{e}} \\approx 0.6065\), \(\\cos \\frac{1}{2} \\approx 0.8776\) и \(\\sin \\frac{1}{2} \\approx 0.4794\), поэтому:
\(e^{z_1} \\approx 0.6065 \\cdot (0.8776 + 0.4794i) \\approx 0.5323 + 0.2908i\)

Шаг 5: Вычисление \(\\ln z_2\)

Для вычисления натурального логарифма комплексного числа используем формулу:
\(\\ln(re^{i\\varphi}) = \\ln r + i\\varphi\)

Где \(r = |z|\) — модуль комплексного числа, а \(\\varphi\) — его аргумент.

Мы уже вычислили, что для \(z_2 = -\\frac{1}{2} - \\frac{i}{2}\):
\(|z_2| = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\) и \(\\varphi = -\\frac{3\\pi}{4}\)

Подставим эти значения в формулу:
\(\\ln z_2 = \\ln \\frac{1}{\\sqrt{2}} + i \\cdot \\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right) = \\ln \\frac{1}{\\sqrt{2}} - \\frac{3\\pi i}{4}\)

Упростим \(\\ln \\frac{1}{\\sqrt{2}}\):
\(\\ln \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\ln \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\ln(2^{-\\frac{1}{2}}) = -\\frac{1}{2}\\ln 2\)

Таким образом:
\(\\ln z_2 = -\\frac{1}{2}\\ln 2 - \\frac{3\\pi i}{4}\)

Численно \(\\ln 2 \\approx 0.6931\), поэтому:
\(\\ln z_2 \\approx -0.3466 - 2.3562i\)

Проверка результатов

Проверим наши вычисления \(z_1^3\), используя алгебраическую форму:
\(z_1^3 = \\left(-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{2}\\right)^3\)

Раскроем куб по формуле \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\):
\(z_1^3 = \\left(-\\frac{1}{2}\\right)^3 + 3\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^2\\left(\\frac{i}{2}\\right) + 3\\left(-\\frac{1}{2}\\right)\\left(\\frac{i}{2}\\right)^2 + \\left(\\frac{i}{2}\\right)^3\)

Вычислим каждое слагаемое, учитывая, что \(i^2 = -1\) и \(i^3 = -i\):
\(\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^3 = -\\frac{1}{8}\)
\(3\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^2\\left(\\frac{i}{2}\\right) = 3 \\cdot \\frac{1}{4} \\cdot \\frac{i}{2} = \\frac{3i}{8}\)
\(3\\left(-\\frac{1}{2}\\right)\\left(\\frac{i}{2}\\right)^2 = 3 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right) \\cdot \\left(\\frac{-1}{4}\\right) = \\frac{3}{8}\)
\(\\left(\\frac{i}{2}\\right)^3 = \\frac{i^3}{8} = \\frac{-i}{8}\)

Сложим все слагаемые:
\(z_1^3 = -\\frac{1}{8} + \\frac{3i}{8} + \\frac{3}{8} - \\frac{i}{8} = \\frac{-1+3}{8} + \\frac{3-1}{8}i = \\frac{2}{8} + \\frac{2}{8}i = \\frac{1}{4} + \\frac{i}{4}\)

Что совпадает с нашим предыдущим результатом.

Аналогично можно проверить \(z_2^2\), используя алгебраическую форму:
\(z_2^2 = \\left(-\\frac{1}{2} - \\frac{i}{2}\\right)^2 = \\left(-\\frac{1}{2}\\right)^2 + 2\\left(-\\frac{1}{2}\\right)\\left(-\\frac{i}{2}\\right) + \\left(-\\frac{i}{2}\\right)^2\)
\(= \\frac{1}{4} + 2 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right) \\cdot \\left(-\\frac{i}{2}\\right) + \\frac{i^2}{4} = \\frac{1}{4} + \\frac{i}{2} - \\frac{1}{4} = \\frac{i}{2}\)

Что также совпадает с нашим предыдущим результатом.

Ответ:

д) \(z_1^3 = \\frac{1}{4} + \\frac{i}{4}\); \(z_2^2 = \\frac{i}{2}\)

е) \(e^{z_1} = \\frac{1}{\\sqrt{e}}\\left(\\cos \\frac{1}{2} + i\\sin \\frac{1}{2}\\right) \\approx 0.5323 + 0.2908i\);
\(\\ln z_2 = -\\frac{1}{2}\\ln 2 - \\frac{3\\pi i}{4} \\approx -0.3466 - 2.3562i\)