Решение задач по алгебре, тригонометрии и началам анализа

Конечно, я помогу вам решить эти задачи.

Задание 1

Найти значение выражения при \(b = 27\):

Решение:

1. Используем свойство степеней \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\):
   $$ \frac{b^{1/3}}{b^{-2/3}} = b^{1/3 - (-2/3)} = b^{1/3 + 2/3} = b^{3/3} = b^1 = b $$
2. Подставляем значение \(b = 27\):
   $$ b = 27 $$

Ответ: 27

Задание 2

Вычислить:

Решение:

1. Представим корни в виде степеней:
   $$ \sqrt[3]{7} = 7^{1/3} $$
   $$ \sqrt[12]{7} = 7^{1/12} $$
2. Используем свойство степеней \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\):
   $$ 7^{1/3} \cdot 7^{1/12} = 7^{1/3 + 1/12} $$
3. Приведем дроби в показателе к общему знаменателю:
   $$ \frac{1}{3} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} + \frac{1}{12} = \frac{5}{12} $$
4. Получаем:
   $$ 7^{5/12} $$
5. Представим результат в виде корня:
   $$ 7^{5/12} = \sqrt[12]{7^5} $$

Ответ: \(\sqrt[12]{7^5}\)

Задание 3

Вычислить:

Решение:

1. Вычислим \(64^{1/3}\). Это кубический корень из 64. Так как \(4^3 = 64\), то \(64^{1/3} = 4\).
2. Подставим значение в выражение:
   $$ 12 \cdot 4 - 20 $$
3. Выполним умножение:
   $$ 48 - 20 $$
4. Выполним вычитание:
   $$ 28 $$

Ответ: 28

Задание 4

Упростить выражение и найти его значение:

Решение:

1. Это выражение имеет вид формулы синуса суммы углов: \(\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\).
2. В данном случае \(\alpha = 60^\circ\) и \(\beta = 20^\circ\).
3. Применяем формулу:
   $$ \sin 60^\circ \cdot \cos 20^\circ + \cos 60^\circ \cdot \sin 20^\circ = \sin(60^\circ + 20^\circ) = \sin 80^\circ $$

Ответ: \(\sin 80^\circ\)

Задание 5

Найти значение выражения:

Решение:

1. Используем свойство логарифмов \(\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)\):
   $$ \log_7 35 + \log_7 9,8 = \log_7 (35 \cdot 9,8) $$
2. Вычислим произведение:
   $$ 35 \cdot 9,8 = 35 \cdot \frac{98}{10} = 35 \cdot \frac{49}{5} = 7 \cdot 49 = 343 $$
3. Получаем:
   $$ \log_7 343 $$
4. Так как \(7^3 = 343\), то \(\log_7 343 = 3\).

Ответ: 3

Задание 6

Решить неравенство:

Решение:

1. Найдем корни числителя и знаменателя.
   • Числитель: \((x-7)(x+8) = 0 \implies x=7\) или \(x=-8\).
   • Знаменатель: \(2x+1 = 0 \implies x = -1/2\).
2. Эти значения разбивают числовую прямую на интервалы: \((-\infty, -8)\), \((-8, -1/2)\), \((-1/2, 7)\), \((7, \infty)\).
3. Определим знак выражения на каждом интервале, подставляя пробные значения:
   • При \(x < -8\) (например, \(x=-10\)): \(\frac{(-)(-)}{(-)} = \frac{(+)}{(-)} = (-)\).
   • При \(-8 < x < -1/2\) (например, \(x=-1\)): \(\frac{(-)(+)}{(-)} = \frac{(-)}{(-)} = (+)\).
   • При \(-1/2 < x < 7\) (например, \(x=0\)): \(\frac{(-)(+)}{(+)} = \frac{(-)}{(+)} = (-)\).
   • При \(x > 7\) (например, \(x=10\)): \(\frac{(+)(+)}{(+)} = \frac{(+)}{(+)} = (+)\).
4. Нам нужно, чтобы выражение было больше нуля, то есть положительным. Это происходит на интервалах \((-8, -1/2)\) и \((7, \infty)\).
5. Обратите внимание, что \(x \neq -1/2\), так как знаменатель не может быть равен нулю.

Ответ: \(x \in (-8; -1/2) \cup (7; \infty)\)

Задание 7

Решить показательное уравнение:

Решение:

1. Используем свойство степеней \(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\):
   $$ 7^x \cdot 7^2 - 14 \cdot 7^x = 5 $$
2. Вычислим \(7^2 = 49\):
   $$ 49 \cdot 7^x - 14 \cdot 7^x = 5 $$
3. Вынесем \(7^x\) за скобки:
   $$ 7^x (49 - 14) = 5 $$
   $$ 7^x (35) = 5 $$
4. Выразим \(7^x\):
   $$ 7^x = \frac{5}{35} = \frac{1}{7} $$
5. Представим правую часть как степень с основанием 7:
   $$ \frac{1}{7} = 7^{-1} $$
6. Получаем уравнение:
   $$ 7^x = 7^{-1} $$
7. Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:
   $$ x = -1 $$

Ответ: \(x = -1\)

Задание 8

Решить логарифмическое уравнение:

Решение:

1. Перейдем от логарифмического уравнения к показательному, используя определение логарифма: если \(\log_a b = c\), то \(a^c = b\).
2. В нашем случае \(a=2\), \(b=2x-1\), \(c=3\).
3. Получаем:
   $$ 2^3 = 2x - 1 $$
4. Вычислим \(2^3 = 8\):
   $$ 8 = 2x - 1 $$
5. Решим полученное линейное уравнение:
   $$ 2x = 8 + 1 $$
   $$ 2x = 9 $$
   $$ x = \frac{9}{2} $$
6. Проверим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положительным: \(2x - 1 > 0\).
   $$ 2 \cdot \frac{9}{2} - 1 = 9 - 1 = 8 > 0 $$
   ОДЗ выполняется.

Ответ: \(x = 4.5\)

Задание 9

Решить тригонометрическое уравнение:

Решение:

1. Выразим \(\sin(2x + 6)\):
   $$ \sin(2x + 6) = \frac{1}{2} $$
2. Найдем углы, синус которых равен \(1/2\). Это \(\frac{\pi}{6}\) и \(\frac{5\pi}{6}\) (или \(30^\circ\) и \(150^\circ\)).
3. Общее решение для уравнения \(\sin \alpha = \frac{1}{2}\) имеет вид:
   $$ \alpha = \frac{\pi}{6} + 2\pi k $$
   или
   $$ \alpha = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k $$
   где \(k\) - любое целое число.
4. В нашем случае \(\alpha = 2x + 6\). Подставим это в общие решения:
   • \(2x + 6 = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\)
     \(2x = \frac{\pi}{6} - 6 + 2\pi k\)
     \(x = \frac{\pi}{12} - 3 + \pi k\)
   • \(2x + 6 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\)
     \(2x = \frac{5\pi}{6} - 6 + 2\pi k\)
     \(x = \frac{5\pi}{12} - 3 + \pi k\)

Ответ: \(x = \frac{\pi}{12} - 3 + \pi k\) или \(x = \frac{5\pi}{12} - 3 + \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).

Задание 10

Найти значение производной функции \(f(x) = \frac{5}{4}x^4 - 3x^3 + 2x - 1\) при \(x = 3\).

Решение:

1. Найдем производную функции \(f(x)\). Используем правила дифференцирования:

   • Производная степенной функции \((x^n)' = nx^{n-1}\).
   • Производная константы равна 0.
   • Производная суммы/разности равна сумме/разности производных.
   • \((c \cdot u)' = c \cdot u'\).
   \[ f'(x) = \left(\frac{5}{4}x^4\right)' - (3x^3)' + (2x)' - (1)' $$ $$ f'(x) = \frac{5}{4} \cdot 4x^{4-1} - 3 \cdot 3x^{3-1} + 2 \cdot 1x^{1-1} - 0 $$ $$ f'(x) = 5x^3 - 9x^2 + 2x^0 $$ $$ f'(x) = 5x^3 - 9x^2 + 2 $$ 2. Подставим $x = 3$ в найденную производную: $$ f'(3) = 5(3)^3 - 9(3)^2 + 2 $$ $$ f'(3) = 5(27) - 9(9) + 2 $$ $$ f'(3) = 135 - 81 + 2 $$ $$ f'(3) = 54 + 2 $$ $$ f'(3) = 56 \]

Ответ: 56

Задание 11

Найти первообразную функции \(f(x) = 6x^5 + 10x^4 - 3x^2 + 7\).

Решение:

1. Первообразная функции \(F(x)\) находится путем интегрирования. Используем правило интегрирования степенной функции \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\).
2. Интегрируем каждый член функции:
   $$ F(x) = \int (6x^5 + 10x^4 - 3x^2 + 7) dx $$
   $$ F(x) = \int 6x^5 dx + \int 10x^4 dx - \int 3x^2 dx + \int 7 dx $$
   $$ F(x) = 6 \int x^5 dx + 10 \int x^4 dx - 3 \int x^2 dx + 7 \int dx $$
3. Применяем правило интегрирования степенной функции:
   $$ F(x) = 6 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} + 10 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} - 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + 7x + C $$
   $$ F(x) = 6 \cdot \frac{x^6}{6} + 10 \cdot \frac{x^5}{5} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 7x + C $$
4. Упрощаем:
   $$ F(x) = x^6 + 2x^5 - x^3 + 7x + C $$
   где \(C\) - произвольная постоянная.

Ответ: \(F(x) = x^6 + 2x^5 - x^3 + 7x + C\)

Задание 12

Вычислить интеграл:

Решение:

1. Первообразная для функции \(\frac{1}{x}\) равна \(\ln|x|\).
2. Вычисляем определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: \(\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\), где \(F(x)\) - первообразная.
   $$ \int_{1}^{2,7} \frac{1}{x} dx = [\ln|x|]_{1}^{2,7} $$
3. Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования:
   $$ \ln|2,7| - \ln|1| $$
4. Так как \(\ln 1 = 0\):
   $$ \ln 2,7 - 0 = \ln 2,7 $$

Ответ: \(\ln 2,7\)

Задание 13

Вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, если площадь полной поверхности равна \(136 \text{ см}^2\), а стороны основания равны 4 см и 6 см.

Решение:

1. Обозначим стороны основания как \(a=4\) см и \(b=6\) см. Пусть высота параллелепипеда равна \(h\).
2. Площадь основания \(S_{осн} = a \cdot b = 4 \cdot 6 = 24 \text{ см}^2\).
3. Площадь боковой поверхности \(S_{бок} = P_{осн} \cdot h\), где \(P_{осн}\) - периметр основания.
   \(P_{осн} = 2(a+b) = 2(4+6) = 2(10) = 20 \text{ см}\).
   \(S_{бок} = 20h\).
4. Площадь полной поверхности \(S_{полн}\) складывается из площади двух оснований и площади боковой поверхности:
   \(S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок}\)
   \(136 = 2 \cdot 24 + 20h\)
   \(136 = 48 + 20h\)
5. Найдем высоту \(h\):
   \(20h = 136 - 48\)
   \(20h = 88\)
   \(h = \frac{88}{20} = \frac{22}{5} = 4,4 \text{ см}\).
6. Объем прямоугольного параллелепипеда \(V = S_{осн} \cdot h\):
   \(V = 24 \cdot 4,4\)
   \(V = 24 \cdot \frac{44}{10} = 12 \cdot \frac{44}{5} = \frac{528}{5} = 105,6 \text{ см}^3\).

Ответ: \(105,6 \text{ см}^3\)

Задание 14

Решить неравенство:

Решение:

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положительным:
   $$ x^2 - x - 2 > 0 $$
   Найдем корни квадратного трехчлена: \(x^2 - x - 2 = 0\). По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = 1\), \(x_1 x_2 = -2\). Корни: \(x_1 = 2\), \(x_2 = -1\).
   Парабола \(y = x^2 - x - 2\) ветвями вверх, поэтому \(x^2 - x - 2 > 0\) при \(x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)\).
2. Преобразуем неравенство, представив правую часть как логарифм: \(2 = \log_2 2^2 = \log_2 4\).
   $$ \log_2 (x^2 - x - 2) > \log_2 4 $$
3. Так как основание логарифма (2) больше 1, функция логарифма возрастающая. Следовательно, можно приравнять аргументы, сохранив знак неравенства:
   $$ x^2 - x - 2 > 4 $$
   $$ x^2 - x - 6 > 0 $$
4. Найдем корни квадратного трехчлена \(x^2 - x - 6 = 0\). По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = 1\), \(x_1 x_2 = -6\). Корни: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -2\).
   Парабола \(y = x^2 - x - 6\) ветвями вверх, поэтому \(x^2 - x - 6 > 0\) при \(x \in (-\infty, -2) \cup (3, \infty)\).
5. Теперь нужно учесть ОДЗ. Пересечем полученные интервалы:
   • ОДЗ: \(x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)\)
   • Решение неравенства: \(x \in (-\infty, -2) \cup (3, \infty)\)
     Пересечение: \((-\infty, -2) \cup (3, \infty)\).

Ответ: \(x \in (-\infty, -2) \cup (3, \infty)\)

Задание 15

Решить систему уравнений:

Решение:

1. Упростим второе уравнение, используя свойство логарифмов \(\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}\):
   $$ \log_3 135 - \log_3 5 = \log_3 \frac{135}{5} = \log_3 27 $$
   Так как \(3^3 = 27\), то \(\log_3 27 = 3\).
   Второе уравнение принимает вид: \(2x + y = 3\).
2. Теперь система выглядит так:
   $$ \begin{cases} 2y - 3x = 6 \ 2x + y = 3 \end{cases} $$
3. Выразим \(y\) из второго уравнения:
   $$ y = 3 - 2x $$
4. Подставим это выражение для \(y\) в первое уравнение:
   $$ 2(3 - 2x) - 3x = 6 $$
   $$ 6 - 4x - 3x = 6 $$
   $$ 6 - 7x = 6 $$
   $$ -7x = 0 $$
   $$ x = 0 $$
5. Найдем \(y\), подставив \(x=0\) в выражение для \(y\):
   $$ y = 3 - 2(0) = 3 $$

Ответ: \((0; 3)\)

Задание 16

Найти значение выражения:

Решение:

1. Найдем значения синусов:
   • \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
   • \(\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)
   • \(\sin 285^\circ = \sin(360^\circ - 75^\circ) = -\sin 75^\circ = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)
2. Подставим значения в числитель:
   $$ \sin 75^\circ + \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + 2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + 3\sqrt{2}}{4} $$
3. Теперь вычислим все выражение:
   $$ \frac{\frac{\sqrt{6} + 3\sqrt{2}}{4}}{-\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = -\frac{\sqrt{6} + 3\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} $$
4. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю \((\sqrt{6} - \sqrt{2})\):
   $$ -\frac{(\sqrt{6} + 3\sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} $$
   Числитель: \((\sqrt{6})^2 - \sqrt{6}\sqrt{2} + 3\sqrt{2}\sqrt{6} - 3(\sqrt{2})^2 = 6 - \sqrt{12} + 3\sqrt{12} - 3(2) = 6 + 2\sqrt{12} - 6 = 2\sqrt{12} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\).
   Знаменатель: \((\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2 = 6 - 2 = 4\).
5. Получаем:
   $$ -\frac{4\sqrt{3}}{4} = -\sqrt{3} $$

Ответ: \(-\sqrt{3}\)