Решение задач на сложение, вычитание и умножение дробей

Здравствуйте! Давайте решим задания по порядку.

Задание 1

a) \(\frac{4}{7} + \frac{5}{6}\)

Чтобы сложить две дроби, нужно привести их к общему знаменателю. В данном случае общий знаменатель для 7 и 6 будет 42.
\(\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 6}{7 \cdot 6} = \frac{24}{42}\)
\(\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 7}{6 \cdot 7} = \frac{35}{42}\)
Теперь складываем дроби:
\(\frac{24}{42} + \frac{35}{42} = \frac{24 + 35}{42} = \frac{59}{42}\)
Ответ: \(\frac{59}{42}\)

б) \(\frac{5}{18} + \frac{7}{30}\)

Общий знаменатель для 18 и 30 будет 90.
\(\frac{5}{18} = \frac{5 \cdot 5}{18 \cdot 5} = \frac{25}{90}\)
\(\frac{7}{30} = \frac{7 \cdot 3}{30 \cdot 3} = \frac{21}{90}\)
Складываем дроби:
\(\frac{25}{90} + \frac{21}{90} = \frac{25 + 21}{90} = \frac{46}{90}\)
Сокращаем дробь на 2:
\(\frac{46}{90} = \frac{23}{45}\)
Ответ: \(\frac{23}{45}\)

в) \(\frac{5}{12} + \frac{2}{15}\)

Общий знаменатель для 12 и 15 будет 60.
\(\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{25}{60}\)
\(\frac{2}{15} = \frac{2 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{8}{60}\)
Складываем дроби:
\(\frac{25}{60} + \frac{8}{60} = \frac{25 + 8}{60} = \frac{33}{60}\)
Сокращаем дробь на 3:
\(\frac{33}{60} = \frac{11}{20}\)
Ответ: \(\frac{11}{20}\)

Задание 2

a) \(\frac{6}{7} - \frac{9}{14}\)

Общий знаменатель для 7 и 14 будет 14.
\(\frac{6}{7} = \frac{6 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{12}{14}\)
Вычитаем дроби:
\(\frac{12}{14} - \frac{9}{14} = \frac{12 - 9}{14} = \frac{3}{14}\)
Ответ: \(\frac{3}{14}\)

б) \(\frac{9}{20} - \frac{5}{12}\)

Общий знаменатель для 20 и 12 будет 60.
\(\frac{9}{20} = \frac{9 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{27}{60}\)
\(\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{25}{60}\)
Вычитаем дроби:
\(\frac{27}{60} - \frac{25}{60} = \frac{27 - 25}{60} = \frac{2}{60}\)
Сокращаем дробь на 2:
\(\frac{2}{60} = \frac{1}{30}\)
Ответ: \(\frac{1}{30}\)

в) \(\frac{5}{9} - \frac{3}{8}\)

Общий знаменатель для 9 и 8 будет 72.
\(\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 8}{9 \cdot 8} = \frac{40}{72}\)
\(\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 9}{8 \cdot 9} = \frac{27}{72}\)
Вычитаем дроби:
\(\frac{40}{72} - \frac{27}{72} = \frac{40 - 27}{72} = \frac{13}{72}\)
Ответ: \(\frac{13}{72}\)

Задание 3

a) \(4\frac{7}{10} + 1\frac{8}{15}\)

Сначала сложим целые части: \(4 + 1 = 5\).
Теперь сложим дробные части: \(\frac{7}{10} + \frac{8}{15}\). Общий знаменатель для 10 и 15 будет 30.
\(\frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{21}{30}\)
\(\frac{8}{15} = \frac{8 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{16}{30}\)
Складываем дроби: \(\frac{21}{30} + \frac{16}{30} = \frac{37}{30} = 1\frac{7}{30}\)
Теперь сложим целую и дробную части: \(5 + 1\frac{7}{30} = 6\frac{7}{30}\)
Ответ: \(6\frac{7}{30}\)

б) \(3\frac{3}{14} + 1\frac{4}{63}\)

Сначала сложим целые части: \(3 + 1 = 4\).
Теперь сложим дробные части: \(\frac{3}{14} + \frac{4}{63}\). Общий знаменатель для 14 и 63 будет 126.
\(\frac{3}{14} = \frac{3 \cdot 9}{14 \cdot 9} = \frac{27}{126}\)
\(\frac{4}{63} = \frac{4 \cdot 2}{63 \cdot 2} = \frac{8}{126}\)
Складываем дроби: \(\frac{27}{126} + \frac{8}{126} = \frac{35}{126}\)
Сокращаем дробь на 7: \(\frac{35}{126} = \frac{5}{18}\)
Теперь сложим целую и дробную части: \(4 + \frac{5}{18} = 4\frac{5}{18}\)
Ответ: \(4\frac{5}{18}\)

Ассистент: Конечно, продолжим решать задания!

Задание 3 (продолжение)

в) \(4\frac{4}{15} - 2\frac{9}{40}\)

Сначала вычтем целые части: \(4 - 2 = 2\).
Теперь вычтем дробные части: \(\frac{4}{15} - \frac{9}{40}\). Общий знаменатель для 15 и 40 будет 120.
\(\frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 8}{15 \cdot 8} = \frac{32}{120}\)
\(\frac{9}{40} = \frac{9 \cdot 3}{40 \cdot 3} = \frac{27}{120}\)
Вычитаем дроби: \(\frac{32}{120} - \frac{27}{120} = \frac{5}{120}\)
Сокращаем дробь на 5: \(\frac{5}{120} = \frac{1}{24}\)
Теперь сложим целую и дробную части: \(2 + \frac{1}{24} = 2\frac{1}{24}\)
Ответ: \(2\frac{1}{24}\)

г) \(5\frac{1}{20} - 2\frac{1}{12}\)

Сначала вычтем целые части: \(5 - 2 = 3\).
Теперь вычтем дробные части: \(\frac{1}{20} - \frac{1}{12}\). Общий знаменатель для 20 и 12 будет 60.
\(\frac{1}{20} = \frac{1 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{3}{60}\)
\(\frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{5}{60}\)
Вычитаем дроби: \(\frac{3}{60} - \frac{5}{60} = -\frac{2}{60}\)
Сокращаем дробь на 2: \(-\frac{2}{60} = -\frac{1}{30}\)
Теперь сложим целую и дробную части: \(3 - \frac{1}{30} = 2\frac{30}{30} - \frac{1}{30} = 2\frac{29}{30}\)
Ответ: \(2\frac{29}{30}\)

Задание 4

a) \(\frac{7}{9} \cdot \frac{2}{5}\)

Чтобы умножить две дроби, нужно умножить их числители и знаменатели:
\(\frac{7}{9} \cdot \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 5} = \frac{14}{45}\)
Ответ: \(\frac{14}{45}\)

б) \(\frac{12}{13} \cdot \frac{26}{27}\)

\(\frac{12}{13} \cdot \frac{26}{27} = \frac{12 \cdot 26}{13 \cdot 27}\)
Сокращаем 13 и 26 на 13: \(\frac{12 \cdot 2}{1 \cdot 27} = \frac{24}{27}\)
Сокращаем 24 и 27 на 3: \(\frac{8}{9}\)
Ответ: \(\frac{8}{9}\)

Задание 4 (продолжение)

в) \(3\frac{3}{5} \cdot 2\frac{1}{12}\)

Сначала переведем смешанные дроби в неправильные:
\(3\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{18}{5}\)
\(2\frac{1}{12} = \frac{2 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{25}{12}\)
Теперь умножим дроби:
\(\frac{18}{5} \cdot \frac{25}{12} = \frac{18 \cdot 25}{5 \cdot 12}\)
Сокращаем 18 и 12 на 6: \(\frac{3 \cdot 25}{5 \cdot 2}\)
Сокращаем 25 и 5 на 5: \(\frac{3 \cdot 5}{1 \cdot 2} = \frac{15}{2}\)
Переводим в смешанную дробь: \(\frac{15}{2} = 7\frac{1}{2}\)
Ответ: \(7\frac{1}{2}\)

г) \(4\frac{2}{7} \cdot 2\frac{4}{5}\)

Сначала переведем смешанные дроби в неправильные:
\(4\frac{2}{7} = \frac{4 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{30}{7}\)
\(2\frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{14}{5}\)
Теперь умножим дроби:
\(\frac{30}{7} \cdot \frac{14}{5} = \frac{30 \cdot 14}{7 \cdot 5}\)
Сокращаем 14 и 7 на 7: \(\frac{30 \cdot 2}{1 \cdot 5}\)
Сокращаем 30 и 5 на 5: \(\frac{6 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 12\)
Ответ: 12

Ассистент: Отлично, продолжим решать задания!

Задание 4 (продолжение)

д) \(2\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{21}\)

Сначала переведем смешанную дробь в неправильную:
\(2\frac{5}{8} = \frac{2 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{21}{8}\)
Теперь умножим дроби:
\(\frac{21}{8} \cdot \frac{4}{21} = \frac{21 \cdot 4}{8 \cdot 21}\)
Сокращаем 21 и 21 на 21: \(\frac{1 \cdot 4}{8 \cdot 1} = \frac{4}{8}\)
Сокращаем 4 и 8 на 4: \(\frac{1}{2}\)
Ответ: \(\frac{1}{2}\)

е) \(\frac{6}{7} \cdot 2\frac{13}{18}\)

Сначала переведем смешанную дробь в неправильную:
\(2\frac{13}{18} = \frac{2 \cdot 18 + 13}{18} = \frac{49}{18}\)
Теперь умножим дроби:
\(\frac{6}{7} \cdot \frac{49}{18} = \frac{6 \cdot 49}{7 \cdot 18}\)
Сокращаем 6 и 18 на 6: \(\frac{1 \cdot 49}{7 \cdot 3}\)
Сокращаем 49 и 7 на 7: \(\frac{1 \cdot 7}{1 \cdot 3} = \frac{7}{3}\)
Переводим в смешанную дробь: \(\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}\)
Ответ: \(2\frac{1}{3}\)

Задание 5

a) \(\frac{5}{9} : \frac{3}{5}\)

Чтобы разделить две дроби, нужно умножить первую дробь на перевернутую вторую дробь:
\(\frac{5}{9} : \frac{3}{5} = \frac{5}{9} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 5}{9 \cdot 3} = \frac{25}{27}\)
Ответ: \(\frac{25}{27}\)

б) \(\frac{3}{8} : \frac{3}{5}\)

\(\frac{3}{8} : \frac{3}{5} = \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{3} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 3}\)
Сокращаем 3 и 3 на 3: \(\frac{1 \cdot 5}{8 \cdot 1} = \frac{5}{8}\)
Ответ: \(\frac{5}{8}\)

Задание 5 (продолжение)

в) \(7\frac{6}{7} : 9\frac{3}{7}\)

Сначала переведем смешанные дроби в неправильные:
\(7\frac{6}{7} = \frac{7 \cdot 7 + 6}{7} = \frac{55}{7}\)
\(9\frac{3}{7} = \frac{9 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{66}{7}\)
Теперь разделим дроби:
\(\frac{55}{7} : \frac{66}{7} = \frac{55}{7} \cdot \frac{7}{66} = \frac{55 \cdot 7}{7 \cdot 66}\)
Сокращаем 7 и 7 на 7: \(\frac{55}{66}\)
Сокращаем 55 и 66 на 11: \(\frac{5}{6}\)
Ответ: \(\frac{5}{6}\)

г) \(\frac{24}{25} : 12\)

Представим 12 как дробь \(\frac{12}{1}\):
\(\frac{24}{25} : \frac{12}{1} = \frac{24}{25} \cdot \frac{1}{12} = \frac{24 \cdot 1}{25 \cdot 12}\)
Сокращаем 24 и 12 на 12: \(\frac{2 \cdot 1}{25 \cdot 1} = \frac{2}{25}\)
Ответ: \(\frac{2}{25}\)

Задание 5 (продолжение)

д) \(3\frac{5}{9} : 2\frac{2}{3}\)

Сначала переведем смешанные дроби в неправильные:
\(3\frac{5}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{32}{9}\)
\(2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}\)
Теперь разделим дроби:
\(\frac{32}{9} : \frac{8}{3} = \frac{32}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{32 \cdot 3}{9 \cdot 8}\)
Сокращаем 32 и 8 на 8: \(\frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 1}\)
Сокращаем 3 и 9 на 3: \(\frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{4}{3}\)
Переводим в смешанную дробь: \(\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}\)
Ответ: \(1\frac{1}{3}\)

е) \(24 : \frac{8}{9}\)

Представим 24 как дробь \(\frac{24}{1}\):
\(\frac{24}{1} : \frac{8}{9} = \frac{24}{1} \cdot \frac{9}{8} = \frac{24 \cdot 9}{1 \cdot 8}\)
Сокращаем 24 и 8 на 8: \(\frac{3 \cdot 9}{1 \cdot 1} = 27\)
Ответ: 27

ж) \(3\frac{1}{9} : 2\frac{1}{3}\)

Сначала переведем смешанные дроби в неправильные:
\(3\frac{1}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{28}{9}\)
\(2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}\)
Теперь разделим дроби:
\(\frac{28}{9} : \frac{7}{3} = \frac{28}{9} \cdot \frac{3}{7} = \frac{28 \cdot 3}{9 \cdot 7}\)
Сокращаем 28 и 7 на 7: \(\frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 1}\)
Сокращаем 3 и 9 на 3: \(\frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{4}{3}\)
Переводим в смешанную дробь: \(\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}\)
Ответ: \(1\frac{1}{3}\)

з) \(-\frac{24}{25} : (+12)\)

Представим 12 как дробь \(\frac{12}{1}\):
\(-\frac{24}{25} : \frac{12}{1} = -\frac{24}{25} \cdot \frac{1}{12} = -\frac{24 \cdot 1}{25 \cdot 12}\)
Сокращаем 24 и 12 на 12: \(-\frac{2 \cdot 1}{25 \cdot 1} = -\frac{2}{25}\)
Ответ: \(-\frac{2}{25}\)

Задание 6

a) \(\frac{5}{16} : z = \frac{3}{4}\)

Чтобы найти \(z\), нужно разделить \(\frac{5}{16}\) на \(\frac{3}{4}\):
\(z = \frac{5}{16} : \frac{3}{4} = \frac{5}{16} \cdot \frac{4}{3} = \frac{5 \cdot 4}{16 \cdot 3}\)
Сокращаем 4 и 16 на 4: \(\frac{5 \cdot 1}{4 \cdot 3} = \frac{5}{12}\)
Ответ: \(z = \frac{5}{12}\)

б) \(1\frac{1}{9} + m + \frac{5}{6} = 1\frac{1}{2}\)

Сначала переведем смешанные дроби в неправильные:
\(1\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{10}{9}\)
\(1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}\)
Теперь уравнение выглядит так:
\(\frac{10}{9} + m + \frac{5}{6} = \frac{3}{2}\)
Найдем общий знаменатель для 9, 6 и 2, который равен 18. Приведем дроби к общему знаменателю:
\(\frac{10}{9} = \frac{10 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{20}{18}\)
\(\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{15}{18}\)
\(\frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 9}{2 \cdot 9} = \frac{27}{18}\)
Теперь уравнение выглядит так:
\(\frac{20}{18} + m + \frac{15}{18} = \frac{27}{18}\)
Сложим дроби слева:
\(\frac{35}{18} + m = \frac{27}{18}\)
Выразим \(m\):
\(m = \frac{27}{18} - \frac{35}{18} = \frac{27 - 35}{18} = -\frac{8}{18}\)
Сокращаем дробь на 2:
\(m = -\frac{4}{9}\)
Ответ: \(m = -\frac{4}{9}\)

Задание 6 (продолжение)

в) \(\frac{8}{15}y - \frac{3}{10}y + \frac{3}{5}y = \frac{1}{2}\)

Найдем общий знаменатель для 15, 10 и 5, который равен 30. Приведем дроби к общему знаменателю:
\(\frac{8}{15} = \frac{8 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{16}{30}\)
\(\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30}\)
\(\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{18}{30}\)
Теперь уравнение выглядит так:
\(\frac{16}{30}y - \frac{9}{30}y + \frac{18}{30}y = \frac{1}{2}\)
Сложим дроби слева:
\(\frac{16 - 9 + 18}{30}y = \frac{1}{2}\)
\(\frac{25}{30}y = \frac{1}{2}\)
Сокращаем дробь на 5:
\(\frac{5}{6}y = \frac{1}{2}\)
Выразим \(y\):
\(y = \frac{1}{2} : \frac{5}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{5} = \frac{1 \cdot 6}{2 \cdot 5}\)
Сокращаем 6 и 2 на 2:
\(y = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 5} = \frac{3}{5}\)
Ответ: \(y = \frac{3}{5}\)

Ассистент: Конечно! Давайте разберем теоретические основы деления смешанных чисел и дробей на целые числа.

Теоретические основы деления дробей и смешанных чисел

1. Деление дробей

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно умножить первую дробь на перевернутую вторую дробь. Это правило основано на том, что деление — это операция, обратная умножению.

Формула:
\(\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}\)

Пример:
\(\frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}\)

2. Деление смешанных чисел

Чтобы разделить смешанные числа, нужно сначала преобразовать их в неправильные дроби, а затем выполнить деление по правилу деления дробей.

Преобразование смешанного числа в неправильную дробь:
\(a\frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}\)

Пример:
\(2\frac{1}{3} : 1\frac{1}{2}\)
Преобразуем в неправильные дроби:
\(2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}\)
\(1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}\)
Теперь делим:
\(\frac{7}{3} : \frac{3}{2} = \frac{7}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{7 \cdot 2}{3 \cdot 3} = \frac{14}{9} = 1\frac{5}{9}\)

3. Деление дроби на целое число

Чтобы разделить дробь на целое число, нужно умножить знаменатель дроби на это число.

Формула:
\(\frac{a}{b} : c = \frac{a}{b \cdot c}\)

Пример:
\(\frac{3}{4} : 2 = \frac{3}{4 \cdot 2} = \frac{3}{8}\)

4. Деление целого числа на дробь

Чтобы разделить целое число на дробь, нужно умножить это число на перевернутую дробь.

Формула:
\(c : \frac{a}{b} = c \cdot \frac{b}{a} = \frac{c \cdot b}{a}\)

Пример:
\(3 : \frac{2}{5} = 3 \cdot \frac{5}{2} = \frac{3 \cdot 5}{2} = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2}\)

5. Деление смешанного числа на целое число

Чтобы разделить смешанное число на целое число, нужно сначала преобразовать смешанное число в неправильную дробь, а затем выполнить деление по правилу деления дроби на целое число.

Пример:
\(2\frac{1}{3} : 4\)
Преобразуем в неправильную дробь:
\(2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}\)
Теперь делим:
\(\frac{7}{3} : 4 = \frac{7}{3 \cdot 4} = \frac{7}{12}\)

6. Деление целого числа на смешанное число

Чтобы разделить целое число на смешанное число, нужно сначала преобразовать смешанное число в неправильную дробь, а затем выполнить деление по правилу деления целого числа на дробь.

Пример:
\(5 : 1\frac{1}{2}\)
Преобразуем в неправильную дробь:
\(1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}\)
Теперь делим:
\(5 : \frac{3}{2} = 5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 2}{3} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}\)

7. Учет знаков при делении

При делении отрицательных и положительных чисел действуют следующие правила:
* Деление положительного числа на положительное дает положительное число.
* Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное число.
* Деление положительного числа на отрицательное дает отрицательное число.
* Деление отрицательного числа на положительное дает отрицательное число.

Примеры:
* \(\frac{+4}{+2} = +2\)
* \(\frac{-4}{-2} = +2\)
* \(\frac{+4}{-2} = -2\)
* \(\frac{-4}{+2} = -2\)