Здравствуйте! Давайте решим задания по порядку.

Задание 1

a) $\frac{4}{7} + \frac{5}{6}$

Чтобы сложить две дроби, нужно привести их к общему знаменателю. В данном случае общий знаменатель для 7 и 6 будет 42.
$\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 6}{7 \cdot 6} = \frac{24}{42}$
$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 7}{6 \cdot 7} = \frac{35}{42}$
Теперь складываем дроби:
$\frac{24}{42} + \frac{35}{42} = \frac{24 + 35}{42} = \frac{59}{42}$
Ответ: $\frac{59}{42}$

б) $\frac{5}{18} + \frac{7}{30}$

Общий знаменатель для 18 и 30 будет 90.
$\frac{5}{18} = \frac{5 \cdot 5}{18 \cdot 5} = \frac{25}{90}$
$\frac{7}{30} = \frac{7 \cdot 3}{30 \cdot 3} = \frac{21}{90}$
Складываем дроби:
$\frac{25}{90} + \frac{21}{90} = \frac{25 + 21}{90} = \frac{46}{90}$
Сокращаем дробь на 2:
$\frac{46}{90} = \frac{23}{45}$
Ответ: $\frac{23}{45}$

в) $\frac{5}{12} + \frac{2}{15}$

Общий знаменатель для 12 и 15 будет 60.
$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{25}{60}$
$\frac{2}{15} = \frac{2 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{8}{60}$
Складываем дроби:
$\frac{25}{60} + \frac{8}{60} = \frac{25 + 8}{60} = \frac{33}{60}$
Сокращаем дробь на 3:
$\frac{33}{60} = \frac{11}{20}$
Ответ: $\frac{11}{20}$

Задание 2

a) $\frac{6}{7} - \frac{9}{14}$

Общий знаменатель для 7 и 14 будет 14.
$\frac{6}{7} = \frac{6 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{12}{14}$
Вычитаем дроби:
$\frac{12}{14} - \frac{9}{14} = \frac{12 - 9}{14} = \frac{3}{14}$
Ответ: $\frac{3}{14}$

б) $\frac{9}{20} - \frac{5}{12}$

Общий знаменатель для 20 и 12 будет 60.
$\frac{9}{20} = \frac{9 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{27}{60}$
$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{25}{60}$
Вычитаем дроби:
$\frac{27}{60} - \frac{25}{60} = \frac{27 - 25}{60} = \frac{2}{60}$
Сокращаем дробь на 2:
$\frac{2}{60} = \frac{1}{30}$
Ответ: $\frac{1}{30}$

в) $\frac{5}{9} - \frac{3}{8}$

Общий знаменатель для 9 и 8 будет 72.
$\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 8}{9 \cdot 8} = \frac{40}{72}$
$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 9}{8 \cdot 9} = \frac{27}{72}$
Вычитаем дроби:
$\frac{40}{72} - \frac{27}{72} = \frac{40 - 27}{72} = \frac{13}{72}$
Ответ: $\frac{13}{72}$

Задание 3

a) $4\frac{7}{10} + 1\frac{8}{15}$

Сначала сложим целые части: $4 + 1 = 5$.
Теперь сложим дробные части: $\frac{7}{10} + \frac{8}{15}$. Общий знаменатель для 10 и 15 будет 30.
$\frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{21}{30}$
$\frac{8}{15} = \frac{8 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{16}{30}$
Складываем дроби: $\frac{21}{30} + \frac{16}{30} = \frac{37}{30} = 1\frac{7}{30}$
Теперь сложим целую и дробную части: $5 + 1\frac{7}{30} = 6\frac{7}{30}$
Ответ: $6\frac{7}{30}$

б) $3\frac{3}{14} + 1\frac{4}{63}$

Сначала сложим целые части: $3 + 1 = 4$.
Теперь сложим дробные части: $\frac{3}{14} + \frac{4}{63}$. Общий знаменатель для 14 и 63 будет 126.
$\frac{3}{14} = \frac{3 \cdot 9}{14 \cdot 9} = \frac{27}{126}$
$\frac{4}{63} = \frac{4 \cdot 2}{63 \cdot 2} = \frac{8}{126}$
Складываем дроби: $\frac{27}{126} + \frac{8}{126} = \frac{35}{126}$
Сокращаем дробь на 7: $\frac{35}{126} = \frac{5}{18}$
Теперь сложим целую и дробную части: $4 + \frac{5}{18} = 4\frac{5}{18}$
Ответ: $4\frac{5}{18}$

Ассистент: Конечно, продолжим решать задания!

Задание 3 (продолжение)

в) $4\frac{4}{15} - 2\frac{9}{40}$

Сначала вычтем целые части: $4 - 2 = 2$.
Теперь вычтем дробные части: $\frac{4}{15} - \frac{9}{40}$. Общий знаменатель для 15 и 40 будет 120.
$\frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 8}{15 \cdot 8} = \frac{32}{120}$
$\frac{9}{40} = \frac{9 \cdot 3}{40 \cdot 3} = \frac{27}{120}$
Вычитаем дроби: $\frac{32}{120} - \frac{27}{120} = \frac{5}{120}$
Сокращаем дробь на 5: $\frac{5}{120} = \frac{1}{24}$
Теперь сложим целую и дробную части: $2 + \frac{1}{24} = 2\frac{1}{24}$
Ответ: $2\frac{1}{24}$

г) $5\frac{1}{20} - 2\frac{1}{12}$

Сначала вычтем целые части: $5 - 2 = 3$.
Теперь вычтем дробные части: $\frac{1}{20} - \frac{1}{12}$. Общий знаменатель для 20 и 12 будет 60.
$\frac{1}{20} = \frac{1 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{3}{60}$
$\frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{5}{60}$
Вычитаем дроби: $\frac{3}{60} - \frac{5}{60} = -\frac{2}{60}$
Сокращаем дробь на 2: $-\frac{2}{60} = -\frac{1}{30}$
Теперь сложим целую и дробную части: $3 - \frac{1}{30} = 2\frac{30}{30} - \frac{1}{30} = 2\frac{29}{30}$
Ответ: $2\frac{29}{30}$

Задание 4

a) $\frac{7}{9} \cdot \frac{2}{5}$

Чтобы умножить две дроби, нужно умножить их числители и знаменатели:
$\frac{7}{9} \cdot \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 5} = \frac{14}{45}$
Ответ: $\frac{14}{45}$

б) $\frac{12}{13} \cdot \frac{26}{27}$

$\frac{12}{13} \cdot \frac{26}{27} = \frac{12 \cdot 26}{13 \cdot 27}$
Сокращаем 13 и 26 на 13: $\frac{12 \cdot 2}{1 \cdot 27} = \frac{24}{27}$
Сокращаем 24 и 27 на 3: $\frac{8}{9}$
Ответ: $\frac{8}{9}$

Задание 4 (продолжение)

в) $3\frac{3}{5} \cdot 2\frac{1}{12}$

Сначала переведем смешанные дроби в неправильные:
$3\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{18}{5}$
$2\frac{1}{12} = \frac{2 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{25}{12}$
Теперь умножим дроби:
$\frac{18}{5} \cdot \frac{25}{12} = \frac{18 \cdot 25}{5 \cdot 12}$
Сокращаем 18 и 12 на 6: $\frac{3 \cdot 25}{5 \cdot 2}$
Сокращаем 25 и 5 на 5: $\frac{3 \cdot 5}{1 \cdot 2} = \frac{15}{2}$
Переводим в смешанную дробь: $\frac{15}{2} = 7\frac{1}{2}$
Ответ: $7\frac{1}{2}$

г) $4\frac{2}{7} \cdot 2\frac{4}{5}$

Сначала переведем смешанные дроби в неправильные:
$4\frac{2}{7} = \frac{4 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{30}{7}$
$2\frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{14}{5}$
Теперь умножим дроби:
$\frac{30}{7} \cdot \frac{14}{5} = \frac{30 \cdot 14}{7 \cdot 5}$
Сокращаем 14 и 7 на 7: $\frac{30 \cdot 2}{1 \cdot 5}$
Сокращаем 30 и 5 на 5: $\frac{6 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 12$
Ответ: 12

Ассистент: Отлично, продолжим решать задания!

Задание 4 (продолжение)

д) $2\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{21}$

Сначала переведем смешанную дробь в неправильную:
$2\frac{5}{8} = \frac{2 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{21}{8}$
Теперь умножим дроби:
$\frac{21}{8} \cdot \frac{4}{21} = \frac{21 \cdot 4}{8 \cdot 21}$
Сокращаем 21 и 21 на 21: $\frac{1 \cdot 4}{8 \cdot 1} = \frac{4}{8}$
Сокращаем 4 и 8 на 4: $\frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

е) $\frac{6}{7} \cdot 2\frac{13}{18}$

Сначала переведем смешанную дробь в неправильную:
$2\frac{13}{18} = \frac{2 \cdot 18 + 13}{18} = \frac{49}{18}$
Теперь умножим дроби:
$\frac{6}{7} \cdot \frac{49}{18} = \frac{6 \cdot 49}{7 \cdot 18}$
Сокращаем 6 и 18 на 6: $\frac{1 \cdot 49}{7 \cdot 3}$
Сокращаем 49 и 7 на 7: $\frac{1 \cdot 7}{1 \cdot 3} = \frac{7}{3}$
Переводим в смешанную дробь: $\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$
Ответ: $2\frac{1}{3}$

Задание 5

a) $\frac{5}{9} : \frac{3}{5}$

Чтобы разделить две дроби, нужно умножить первую дробь на перевернутую вторую дробь:
$\frac{5}{9} : \frac{3}{5} = \frac{5}{9} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 5}{9 \cdot 3} = \frac{25}{27}$
Ответ: $\frac{25}{27}$

б) $\frac{3}{8} : \frac{3}{5}$

$\frac{3}{8} : \frac{3}{5} = \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{3} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 3}$
Сокращаем 3 и 3 на 3: $\frac{1 \cdot 5}{8 \cdot 1} = \frac{5}{8}$
Ответ: $\frac{5}{8}$

Задание 5 (продолжение)

в) $7\frac{6}{7} : 9\frac{3}{7}$

Сначала переведем смешанные дроби в неправильные:
$7\frac{6}{7} = \frac{7 \cdot 7 + 6}{7} = \frac{55}{7}$
$9\frac{3}{7} = \frac{9 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{66}{7}$
Теперь разделим дроби:
$\frac{55}{7} : \frac{66}{7} = \frac{55}{7} \cdot \frac{7}{66} = \frac{55 \cdot 7}{7 \cdot 66}$
Сокращаем 7 и 7 на 7: $\frac{55}{66}$
Сокращаем 55 и 66 на 11: $\frac{5}{6}$
Ответ: $\frac{5}{6}$

г) $\frac{24}{25} : 12$

Представим 12 как дробь $\frac{12}{1}$:
$\frac{24}{25} : \frac{12}{1} = \frac{24}{25} \cdot \frac{1}{12} = \frac{24 \cdot 1}{25 \cdot 12}$
Сокращаем 24 и 12 на 12: $\frac{2 \cdot 1}{25 \cdot 1} = \frac{2}{25}$
Ответ: $\frac{2}{25}$

Задание 5 (продолжение)

д) $3\frac{5}{9} : 2\frac{2}{3}$

Сначала переведем смешанные дроби в неправильные:
$3\frac{5}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{32}{9}$
$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$
Теперь разделим дроби:
$\frac{32}{9} : \frac{8}{3} = \frac{32}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{32 \cdot 3}{9 \cdot 8}$
Сокращаем 32 и 8 на 8: $\frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 1}$
Сокращаем 3 и 9 на 3: $\frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{4}{3}$
Переводим в смешанную дробь: $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$
Ответ: $1\frac{1}{3}$

е) $24 : \frac{8}{9}$

Представим 24 как дробь $\frac{24}{1}$:
$\frac{24}{1} : \frac{8}{9} = \frac{24}{1} \cdot \frac{9}{8} = \frac{24 \cdot 9}{1 \cdot 8}$
Сокращаем 24 и 8 на 8: $\frac{3 \cdot 9}{1 \cdot 1} = 27$
Ответ: 27

ж) $3\frac{1}{9} : 2\frac{1}{3}$

Сначала переведем смешанные дроби в неправильные:
$3\frac{1}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{28}{9}$
$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$
Теперь разделим дроби:
$\frac{28}{9} : \frac{7}{3} = \frac{28}{9} \cdot \frac{3}{7} = \frac{28 \cdot 3}{9 \cdot 7}$
Сокращаем 28 и 7 на 7: $\frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 1}$
Сокращаем 3 и 9 на 3: $\frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{4}{3}$
Переводим в смешанную дробь: $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$
Ответ: $1\frac{1}{3}$

з) $-\frac{24}{25} : (+12)$

Представим 12 как дробь $\frac{12}{1}$:
$-\frac{24}{25} : \frac{12}{1} = -\frac{24}{25} \cdot \frac{1}{12} = -\frac{24 \cdot 1}{25 \cdot 12}$
Сокращаем 24 и 12 на 12: $-\frac{2 \cdot 1}{25 \cdot 1} = -\frac{2}{25}$
Ответ: $-\frac{2}{25}$

Задание 6

a) $\frac{5}{16} : z = \frac{3}{4}$

Чтобы найти $z$, нужно разделить $\frac{5}{16}$ на $\frac{3}{4}$:
$z = \frac{5}{16} : \frac{3}{4} = \frac{5}{16} \cdot \frac{4}{3} = \frac{5 \cdot 4}{16 \cdot 3}$
Сокращаем 4 и 16 на 4: $\frac{5 \cdot 1}{4 \cdot 3} = \frac{5}{12}$
Ответ: $z = \frac{5}{12}$

б) $1\frac{1}{9} + m + \frac{5}{6} = 1\frac{1}{2}$

Сначала переведем смешанные дроби в неправильные:
$1\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{10}{9}$
$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$
Теперь уравнение выглядит так:
$\frac{10}{9} + m + \frac{5}{6} = \frac{3}{2}$
Найдем общий знаменатель для 9, 6 и 2, который равен 18. Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{10}{9} = \frac{10 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{20}{18}$
$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{15}{18}$
$\frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 9}{2 \cdot 9} = \frac{27}{18}$
Теперь уравнение выглядит так:
$\frac{20}{18} + m + \frac{15}{18} = \frac{27}{18}$
Сложим дроби слева:
$\frac{35}{18} + m = \frac{27}{18}$
Выразим $m$:
$m = \frac{27}{18} - \frac{35}{18} = \frac{27 - 35}{18} = -\frac{8}{18}$
Сокращаем дробь на 2:
$m = -\frac{4}{9}$
Ответ: $m = -\frac{4}{9}$

Задание 6 (продолжение)

в) $\frac{8}{15}y - \frac{3}{10}y + \frac{3}{5}y = \frac{1}{2}$

Найдем общий знаменатель для 15, 10 и 5, который равен 30. Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{8}{15} = \frac{8 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{16}{30}$
$\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30}$
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{18}{30}$
Теперь уравнение выглядит так:
$\frac{16}{30}y - \frac{9}{30}y + \frac{18}{30}y = \frac{1}{2}$
Сложим дроби слева:
$\frac{16 - 9 + 18}{30}y = \frac{1}{2}$
$\frac{25}{30}y = \frac{1}{2}$
Сокращаем дробь на 5:
$\frac{5}{6}y = \frac{1}{2}$
Выразим $y$:
$y = \frac{1}{2} : \frac{5}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{5} = \frac{1 \cdot 6}{2 \cdot 5}$
Сокращаем 6 и 2 на 2:
$y = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 5} = \frac{3}{5}$
Ответ: $y = \frac{3}{5}$

Ассистент: Конечно! Давайте разберем теоретические основы деления смешанных чисел и дробей на целые числа.

Теоретические основы деления дробей и смешанных чисел

1. Деление дробей

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно умножить первую дробь на перевернутую вторую дробь. Это правило основано на том, что деление — это операция, обратная умножению.

Формула:
$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

Пример:
$\frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

2. Деление смешанных чисел

Чтобы разделить смешанные числа, нужно сначала преобразовать их в неправильные дроби, а затем выполнить деление по правилу деления дробей.

Преобразование смешанного числа в неправильную дробь:
$a\frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}$

Пример:
$2\frac{1}{3} : 1\frac{1}{2}$
Преобразуем в неправильные дроби:
$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$
$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$
Теперь делим:
$\frac{7}{3} : \frac{3}{2} = \frac{7}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{7 \cdot 2}{3 \cdot 3} = \frac{14}{9} = 1\frac{5}{9}$

3. Деление дроби на целое число

Чтобы разделить дробь на целое число, нужно умножить знаменатель дроби на это число.

Формула:
$\frac{a}{b} : c = \frac{a}{b \cdot c}$

Пример:
$\frac{3}{4} : 2 = \frac{3}{4 \cdot 2} = \frac{3}{8}$

4. Деление целого числа на дробь

Чтобы разделить целое число на дробь, нужно умножить это число на перевернутую дробь.

Формула:
$c : \frac{a}{b} = c \cdot \frac{b}{a} = \frac{c \cdot b}{a}$

Пример:
$3 : \frac{2}{5} = 3 \cdot \frac{5}{2} = \frac{3 \cdot 5}{2} = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2}$

5. Деление смешанного числа на целое число

Чтобы разделить смешанное число на целое число, нужно сначала преобразовать смешанное число в неправильную дробь, а затем выполнить деление по правилу деления дроби на целое число.

Пример:
$2\frac{1}{3} : 4$
Преобразуем в неправильную дробь:
$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$
Теперь делим:
$\frac{7}{3} : 4 = \frac{7}{3 \cdot 4} = \frac{7}{12}$

6. Деление целого числа на смешанное число

Чтобы разделить целое число на смешанное число, нужно сначала преобразовать смешанное число в неправильную дробь, а затем выполнить деление по правилу деления целого числа на дробь.

Пример:
$5 : 1\frac{1}{2}$
Преобразуем в неправильную дробь:
$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$
Теперь делим:
$5 : \frac{3}{2} = 5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 2}{3} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$

7. Учет знаков при делении

При делении отрицательных и положительных чисел действуют следующие правила:
* Деление положительного числа на положительное дает положительное число.
* Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное число.
* Деление положительного числа на отрицательное дает отрицательное число.
* Деление отрицательного числа на положительное дает отрицательное число.

Примеры:
* $\frac{+4}{+2} = +2$
* $\frac{-4}{-2} = +2$
* $\frac{+4}{-2} = -2$
* $\frac{-4}{+2} = -2$