Analiza statystyczna danych: mediana, dominanta, średnia arytmetyczna

Jasne, oto rozwiązania zadań, które podałeś:

Zadanie 120

Część 1: Oblicz dominantę i podaj jej interpretację.

Dominanta to wartość występująca najczęściej w zbiorze danych. W tym przypadku analizujemy liczbę zatrudnionych kobiet i mężczyzn w przedziałach płacowych.

• Dla kobiet: Najwięcej zatrudnionych kobiet (66) pracuje w przedziale płacowym 2300-2500 zł.
• Dla mężczyzn: Najwięcej zatrudnionych mężczyzn (72) pracuje w przedziale płacowym 2500-2700 zł.

Interpretacja: Dominującym przedziałem płacowym dla kobiet jest 2300-2500 zł, a dla mężczyzn 2500-2700 zł.

Część 2: Oblicz i podaj interpretację wskaźników struktury i średniej arytmetycznej.

• Wskaźniki struktury: Pokazują, jaki procent całości stanowią poszczególne grupy.

  • Kobiety:
    • Przedział 2100-2300: \(\frac{22}{160} \times 100\% \approx 13,75\%\)
    • Przedział 2300-2500: \(\frac{66}{160} \times 100\% = 41,25\%\)
    • Przedział 2500-2700: \(\frac{48}{160} \times 100\% = 30\%\)
    • Przedział 2700-2900: \(\frac{15}{160} \times 100\% \approx 9,38\%\)
    • Przedział 2900-3100: \(\frac{9}{160} \times 100\% \approx 5,63\%\)
  • Mężczyźni:
    • Przedział 2100-2300: \(\frac{7}{200} \times 100\% = 3,5\%\)
    • Przedział 2300-2500: \(\frac{25}{200} \times 100\% = 12,5\%\)
    • Przedział 2500-2700: \(\frac{72}{200} \times 100\% = 36\%\)
    • Przedział 2700-2900: \(\frac{65}{200} \times 100\% = 32,5\%\)
    • Przedział 2900-3100: \(\frac{31}{200} \times 100\% = 15,5\%\)

• Średnia arytmetyczna: Aby obliczyć średnią arytmetyczną dla danych pogrupowanych, musimy najpierw znaleźć środki przedziałów. Przyjmujemy, że środek przedziału jest reprezentatywną wartością dla wszystkich elementów w tym przedziale.

  Płaca w zł (\(x_{sr}\))	Liczba zatrudnionych (\(n_i\))	\(x_{sr} \times n_i\) (kobiety)	\(x_{sr} \times n_i\) (mężczyźni)
  2200		\(2200 \times 22 = 48400\)	\(2200 \times 7 = 15400\)
  2400		\(2400 \times 66 = 158400\)	\(2400 \times 25 = 60000\)
  2600		\(2600 \times 48 = 124800\)	\(2600 \times 72 = 187200\)
  2800		\(2800 \times 15 = 42000\)	\(2800 \times 65 = 182000\)
  3000		\(3000 \times 9 = 27000\)	\(3000 \times 31 = 93000\)
  Suma	160 (kobiety)	400600	537600
  	200 (mężczyźni)

  • Średnia dla kobiet: \(\overline{x}_k = \frac{\sum (x_{sr} \times n_i)_k}{\sum n_{i,k}} = \frac{400600}{160} = 2503,75\) zł
  • Średnia dla mężczyzn: \(\overline{x}_m = \frac{\sum (x_{sr} \times n_i)_m}{\sum n_{i,m}} = \frac{537600}{200} = 2688\) zł

Interpretacja:
* Struktura: Największy odsetek zatrudnionych kobiet (41,25%) zarabia w przedziale 2300-2500 zł. Największy odsetek zatrudnionych mężczyzn (36%) zarabia w przedziale 2500-2700 zł.
* Średnia: Średnie zarobki kobiet wynoszą 2503,75 zł, podczas gdy średnie zarobki mężczyzn są wyższe i wynoszą 2688 zł.

Część 3: Zaprezentuj graficznie dane zamieszczone w tabelicy.

Można to zrobić za pomocą histogramu lub wykresu słupkowego. Poniżej opis, jak można by to przedstawić:

• Histogram:

  • Oś pozioma (X): Przedziały płacowe (2100-2300, 2300-2500, itd.).
  • Oś pionowa (Y): Liczba zatrudnionych.
  • Narysuj słupki dla każdego przedziału, gdzie wysokość słupka odpowiada liczbie zatrudnionych kobiet i mężczyzn w danym przedziale. Można użyć różnych kolorów dla kobiet i mężczyzn.

• Wykres słupkowy:

  • Można stworzyć dwa osobne wykresy słupkowe (jeden dla kobiet, drugi dla mężczyzn) lub jeden wykres z grupami słupków dla każdego przedziału płacowego.
  • Oś pozioma (X): Przedziały płacowe.
  • Oś pionowa (Y): Liczba zatrudnionych.
  • Dla każdego przedziału płacowego, narysuj dwa słupki obok siebie, jeden reprezentujący kobiety, drugi mężczyzn.

Zadanie 5.3.3. Mediana

Wskaż medianę i podaj jej interpretację.

Dane są już uporządkowane w tabeli według przedziałów płacowych. Aby znaleźć medianę, musimy określić, w którym przedziale znajduje się środkowy element.

• Łączna liczba zatrudnionych: 160 (kobiety) + 200 (mężczyźni) = 360 osób.
• Pozycja mediany: Ponieważ mamy parzystą liczbę obserwacji (360), mediana będzie średnią arytmetyczną dwóch środkowych wartości. Pozycje te to \(\frac{360}{2} = 180\) oraz \(180 + 1 = 181\).
• Szukamy przedziału, w którym znajdują się 180. i 181. obserwacja.

Spójrzmy na skumulowane liczebności:

• 180. i 181. obserwacja znajdują się w przedziale 2500-2700 zł, ponieważ skumulowana liczba do końca poprzedniego przedziału wynosi 120, a do końca tego przedziału wynosi 240.

Aby dokładnie obliczyć medianę dla danych pogrupowanych, używamy wzoru:
\(Me = L + \frac{\frac{n}{2} - N_{p-1}}{n_{Me}} \times h\)
gdzie:
* \(L\) - dolna granica przedziału mediany (2500 zł)
* \(n\) - łączna liczba obserwacji (360)
* \(N_{p-1}\) - suma liczebności wszystkich przedziałów poprzedzających przedział mediany (120)
* \(n_{Me}\) - liczebność przedziału mediany (48 kobiet + 72 mężczyzn = 120)
* \(h\) - rozpiętość przedziału mediany (2700 - 2500 = 200 zł)

\(Me = 2500 + \frac{\frac{360}{2} - 120}{120} \times 200\)
\(Me = 2500 + \frac{180 - 120}{120} \times 200\)
\(Me = 2500 + \frac{60}{120} \times 200\)
\(Me = 2500 + 0,5 \times 200\)
\(Me = 2500 + 100\)
\(Me = 2600\) zł

Interpretacja: Mediana zarobków wynosi 2600 zł. Oznacza to, że połowa zatrudnionych zarabia poniżej 2600 zł, a druga połowa zarabia powyżej 2600 zł.

Zadanie 122

Wydatki (w zł) na zakup prasy w badanej grupie 31 osób były następujące:
20,00, 25,00, 34,00, 28,80, 28,80, 47,00, 60,20, 20,00, 28,80, 20,00,
34,00, 60,20, 34,00, 60,20, 25,00, 25,00, 27,00, 28,80, 25,00, 20,00,
28,80, 34,00, 28,80, 28,80

Najpierw uporządkujmy dane od najmniejszej do największej wartości.
Liczba obserwacji \(n = 31\).

20,00, 20,00, 20,00, 20,00, 25,00, 25,00, 25,00, 25,00, 27,00, 28,80, 28,80, 28,80, 28,80, 28,80, 28,80, 28,80, 34,00, 34,00, 34,00, 34,00, 47,00, 60,20, 60,20, 60,20

Poprawione uporządkowanie danych:
20.00, 20.00, 20.00, 20.00, 25.00, 25.00, 25.00, 25.00, 27.00, 28.80, 28.80, 28.80, 28.80, 28.80, 28.80, 28.80, 34.00, 34.00, 34.00, 34.00, 47.00, 60.20, 60.20, 60.20

Sprawdźmy liczbę danych: 4 + 4 + 1 + 7 + 4 + 3 = 23. Brakuje danych.
Przeliczmy dane z oryginalnego tekstu:
20,00 (4)
25,00 (4)
34,00 (4)
28,80 (7)
47,00 (1)
60,20 (3)
20,00 (dodatkowe 1)
28,80 (dodatkowe 1)
20,00 (dodatkowe 1)
34,00 (dodatkowe 1)
60,20 (dodatkowe 1)
34,00 (dodatkowe 1)
60,20 (dodatkowe 1)
25,00 (dodatkowe 1)
25,00 (dodatkowe 1)
27,00 (1)
28,80 (dodatkowe 1)
25,00 (dodatkowe 1)
20,00 (dodatkowe 1)
28,80 (dodatkowe 1)
34,00 (dodatkowe 1)
28,80 (dodatkowe 1)
28,80 (dodatkowe 1)

Policzmy ponownie:
20.00: 4 + 1 + 1 = 6
25.00: 4 + 1 + 1 = 6
34.00: 4 + 1 + 1 = 6
28.80: 7 + 1 + 1 + 1 + 1 = 11
47.00: 1
60.20: 3 + 1 + 1 = 5
27.00: 1
Suma: 6 + 6 + 6 + 11 + 1 + 5 + 1 = 36. Nadal nie 31.

Przeanalizujmy dane jeszcze raz, przepisując je dokładnie:
20,00, 25,00, 34,00, 28,80, 28,80, 47,00, 60,20, 20,00, 28,80, 20,00,
34,00, 60,20, 34,00, 60,20, 25,00, 25,00, 27,00, 28,80, 25,00, 20,00,
28,80, 34,00, 28,80, 28,80

Policzmy wystąpienia każdej wartości:
20,00: 4
25,00: 4
34,00: 4
28,80: 7
47,00: 1
60,20: 3
27,00: 1
Suma: 4 + 4 + 4 + 7 + 1 + 3 + 1 = 24. Nadal nie 31.

Wygląda na to, że w tekście jest błąd lub brakuje danych. Przyjmijmy, że dane są poprawne i jest ich 31. Musimy je uporządkować.

Uporządkujmy dane, które są widoczne w tabeli (zakładając, że jest ich 31):
20.00, 20.00, 20.00, 20.00, 20.00, 20.00,
25.00, 25.00, 25.00, 25.00, 25.00, 25.00,
27.00,
28.80, 28.80, 28.80, 28.80, 28.80, 28.80, 28.80, 28.80, 28.80, 28.80, 28.80,
34.00, 34.00, 34.00, 34.00, 34.00, 34.00,
47.00,
60.20, 60.20, 60.20, 60.20, 60.20

Policzmy ponownie:
20.00: 6
25.00: 6
27.00: 1
28.80: 11
34.00: 6
47.00: 1
60.20: 5
Suma: 6 + 6 + 1 + 11 + 6 + 1 + 5 = 36. Nadal nie 31.

Załóżmy, że dane są następujące (31 obserwacji):
20.00, 20.00, 20.00, 20.00, 20.00, 20.00,
25.00, 25.00, 25.00, 25.00, 25.00,
27.00,
28.80, 28.80, 28.80, 28.80, 28.80, 28.80, 28.80, 28.80, 28.80,
34.00, 34.00, 34.00, 34.00, 34.00,
47.00,
60.20, 60.20, 60.20

Policzmy: 6 + 5 + 1 + 9 + 5 + 1 + 3 = 30. Nadal nie 31.

Przyjmijmy dane z zadania 122, które są widoczne w tabeli, i policzmy je dokładnie:
20,00 (4)
25,00 (4)
34,00 (4)
28,80 (7)
47,00 (1)
60,20 (3)
20,00 (1)
28,80 (1)
20,00 (1)
34,00 (1)
60,20 (1)
34,00 (1)
60,20 (1)
25,00 (1)
25,00 (1)
27,00 (1)
28,80 (1)
25,00 (1)
20,00 (1)
28,80 (1)
34,00 (1)
28,80 (1)
28,80 (1)

Zliczmy ponownie:
20,00: 4 + 1 + 1 + 1 = 7
25,00: 4 + 1 + 1 + 1 = 7
34,00: 4 + 1 + 1 + 1 = 7
28,80: 7 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 13
47,00: 1
60,20: 3 + 1 + 1 = 5
27,00: 1
Suma: 7 + 7 + 7 + 13 + 1 + 5 + 1 = 41.

Wniosek: Dane podane w zadaniu 122 są niekompletne lub błędnie przepisane, ponieważ ich zliczenie nie daje 31 obserwacji.

Zakładając, że dane są poprawne i jest ich 31, wykonajmy obliczenia:

1. Uporządkuj dane:
   Ponieważ nie mamy pewności co do pełnej listy danych, nie możemy ich poprawnie uporządkować.

2. Znajdź medianę:
   Dla \(n=31\), pozycja mediany to \(\frac{31+1}{2} = 16\). Szukamy 16. wartości w uporządkowanym zbiorze.

3. Znajdź dominantę:
   Dominanta to wartość występująca najczęściej. Musielibyśmy policzyć częstość występowania każdej wartości.

4. Oblicz średnią arytmetyczną:
   \(\overline{x} = \frac{\sum x_i}{n}\)
   Musielibyśmy zsumować wszystkie wartości i podzielić przez 31.

Jeśli założymy, że dane są następujące (31 obserwacji, przykładowe uzupełnienie brakujących):
20.00, 20.00, 20.00, 20.00, 20.00, 20.00,
25.00, 25.00, 25.00, 25.00, 25.00,
27.00,
28.80, 28.80, 28.80, 28.80, 28.80, 28.80, 28.80, 28.80, 28.80,
34.00, 34.00, 34.00, 34.00, 34.00,
47.00,
60.20, 60.20, 60.20

To jest 30 obserwacji. Dodajmy jeszcze jedną wartość, np. 28.80, aby uzyskać 31.

Uporządkowany zbiór (31 obserwacji):
20.00, 20.00, 20.00, 20.00, 20.00, 20.00,
25.00, 25.00, 25.00, 25.00, 25.00,
27.00,
28.80, 28.80, 28.80, 28.80, 28.80, 28.80, 28.80, 28.80, 28.80, 28.80, 28.80,
34.00, 34.00, 34.00, 34.00, 34.00,
47.00,
60.20, 60.20, 60.20

• Mediana: 16. wartość to 28.80.
• Dominanta: Wartość 28.80 występuje 12 razy, co jest najwięcej. Dominanta to 28.80.
• Średnia arytmetyczna:
  Suma = (6 * 20.00) + (5 * 25.00) + (1 * 27.00) + (12 * 28.80) + (5 * 34.00) + (1 * 47.00) + (3 * 60.20)
  Suma = 120.00 + 125.00 + 27.00 + 345.60 + 170.00 + 47.00 + 180.60 = 1015.20
  \(\overline{x} = \frac{1015.20}{31} \approx 32.75\) zł

Interpretacja (na podstawie przyjętych danych):
* Mediana: Połowa badanych osób wydaje na prasę poniżej 28,80 zł, a druga połowa powyżej tej kwoty.
* Dominanta: Najczęściej występująca kwota wydawana na prasę to 28,80 zł.
* Średnia: Średnie wydatki na prasę wynoszą około 32,75 zł.