ដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី២

អត្ថបទរូបភាពនេះមានប្រយោគជាភាសាខ្មែរ និងសមីការគណិតវិទ្យាជាច្រើន។

ប្រយោគជាភាសាខ្មែរ:

• "EX"
• "រ។"
• "២។"
• "៣។"
• "៤។"
• "៥។"
• "EX: ជួយដោះស្រាយសមីការ"

សមីការគណិតវិទ្យា:

1. \(x^2 + 5x - 6 = 0\)
2. \(x^2 - 8x + 7 = 0\)
3. \(2x^2 - 7x + 5 = 0\)
4. \(x^2 - 6x + 8 = 0\)
5. \(3x^2 + 9x + 6 = 0\)

មើលទៅ នេះជាសំណុំនៃសមីការដឺក្រេទី២ ដែលត្រូវបានស្នើសុំឲ្យដោះស្រាយ។

แน่นอน! នេះគឺជាដំណោះស្រាយសម្រាប់សមីការនីមួយៗ៖

1. \(x^2 + 5x - 6 = 0\)

យើងអាចដោះស្រាយសមីការនេះដោយការកត្តា។ យើងរកលេខពីរ ដែលគុណនឹង -6 និង បូកនឹង 5. លេខទាំងនោះគឺ 6 និង -1.

\((x + 6)(x - 1) = 0\)

ដូច្នេះ، \(x + 6 = 0\) ឬ \(x - 1 = 0\).

ដំណោះស្រាយគឺ \(x = -6\) និង \(x = 1\).

2. \(x^2 - 8x + 7 = 0\)

យើងអាចដោះស្រាយសមីការនេះដោយការកត្តា។ យើងរកលេខពីរ ដែលគុណនឹង 7 និង បូកនឹង -8. លេខទាំងនោះគឺ -7 និង -1.

\((x - 7)(x - 1) = 0\)

ដូច្នេះ، \(x - 7 = 0\) ឬ \(x - 1 = 0\).

ដំណោះស្រាយគឺ \(x = 7\) និង \(x = 1\).

3. \(2x^2 - 7x + 5 = 0\)

យើងអាចដោះស្រាយសមីការនេះដោយការកត្តាដោយប្រើវិធី "ac".
* \(a = 2, b = -7, c = 5\)
* \(ac = 2 * 5 = 10\)
* យើងរកលេខពីរ ដែលគុណនឹង 10 និង បូកនឹង -7. លេខទាំងនោះគឺ -5 និង -2.

ឥឡូវ យើងចែកពាក្យ "-7x" ទៅជា "-5x - 2x":
\(2x^2 - 2x - 5x + 5 = 0\)

ធ្វើការដាក់កត្តារួម៖
\(2x(x - 1) - 5(x - 1) = 0\)

\((2x - 5)(x - 1) = 0\)

ដូច្នេះ، \(2x - 5 = 0\) ឬ \(x - 1 = 0\).

ដំណោះស្រាយគឺ \(x = \frac{5}{2}\) និង \(x = 1\).

4. \(x^2 - 6x + 8 = 0\)

យើងអាចដោះស្រាយសមីការនេះដោយការកត្តា។ យើងរកលេខពីរ ដែលគុណនឹង 8 និង បូកនឹង -6. លេខទាំងនោះគឺ -4 និង -2.

\((x - 4)(x - 2) = 0\)

ដូច្នេះ، \(x - 4 = 0\) ឬ \(x - 2 = 0\).

ដំណោះស្រាយគឺ \(x = 4\) និង \(x = 2\).

5. \(3x^2 + 9x + 6 = 0\)

មុនដំបូង យើងអាចចែកគ្រប់ពាក្យដោយ 3 ដើម្បីធ្វើឱ្យសមីការកាន់តែសាមញ្ញ៖
\(x^2 + 3x + 2 = 0\)

ឥឡូវ យើងអាចដោះស្រាយសមីការដែលសាមញ្ញជាងនេះដោយការកត្តា។ យើងរកលេខពីរ ដែលគុណនឹង 2 និង បូកនឹង 3. លេខទាំងនោះគឺ 2 និង 1.

\((x + 2)(x + 1) = 0\)

ដូច្នេះ، \(x + 2 = 0\) ឬ \(x + 1 = 0\).

ដំណោះស្រាយគឺ \(x = -2\) និង \(x = -1\).

សមីការទាំងនេះសុទ្ធតែជា សមីការដឺក្រេទី២ (Quadratic Equations) ដែលមានទម្រង់ទូទៅគឺ \(ax^2 + bx + c = 0\), ដោយ \(a, b, c\) គឺជាថេរ (constants) និង \(a \neq 0\).

ប្រភេទនៃសមីការដឺក្រេទី២:

• សមីការដឺក្រេទី២ពេញលេញ (Full Quadratic Equation): គឺសមីការដែលមានទាំង \(x^2\), \(x\) និងថេរ (\(a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0\)). ឧទាហរណ៍: \(x^2 + 5x - 6 = 0\).
• សមីការដឺក្រេទី២ ខ្វះពាក្យ (\(bx\)): គឺសមីការដែល \(b=0\). ទម្រង់គឺ \(ax^2 + c = 0\). ឧទាហរណ៍: \(x^2 - 9 = 0\).
• សមីការដឺក្រេទី២ ខ្វះពាក្យ (\(c\)): គឺសមីការដែល \(c=0\). ទម្រង់គឺ \(ax^2 + bx = 0\). ឧទាហរណ៍: \(2x^2 + 4x = 0\).

វិធីសាស្រ្តទូទៅក្នុងការដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី២:

មានវិធីសាស្រ្តជាច្រើនដើម្បីដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី២ ដូចជា:

1. ការកត្តា (Factoring):

   • គោលការណ៍: វិធីសាស្រ្តនេះប្រើបាននៅពេលដែលសមីការអាចត្រូវបានបំបែកទៅជាផលគុណនៃពីរពាក្យលីនេអ៊ែរ។ ប្រសិនបើ \((px + q)(rx + s) = 0\), បន្ទាប់មក \(px + q = 0\) ឬ \(rx + s = 0\).
   • របៀបអនុវត្ត: ស្វែងរកលេខពីរ ដែលផលគុណរបស់វាស្មើនឹង \(ac\) (a គុណ c) និងផលបូករបស់វាស្មើនឹង \(b\). បន្ទាប់មក ប្រើលេខទាំងនោះដើម្បីបំបែកពាក្យ \(bx\) ហើយធ្វើការដាក់កត្តារួម។
   • ឧទាហរណ៍: ដូចដែលបានបង្ហាញក្នុងដំណោះស្រាយនៃសមីការលេខ 1, 2, 4, និង 5 ពីមុន។

2. ការប្រើរូបមន្តដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី២ (Quadratic Formula):

   • គោលការណ៍: រូបមន្តនេះអាចប្រើបានដើម្បីដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី២ គ្រប់ប្រភេទ។
   • រូបមន្ត: សម្រាប់សមីការ \(ax^2 + bx + c = 0\), ដំណោះស្រាយត្រូវបានផ្តល់ដោយ:
     $\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)$
   • របៀបអនុវត្ត:
     • កំណត់តម្លៃ \(a, b, c\) ពីសមីការ។
     • ជំនួសតម្លៃទាំងនោះទៅក្នុងរូបមន្ត។
     • គណនាដំណោះស្រាយពីរ (មួយដោយប្រើ '+' និងមួយទៀតដោយប្រើ '-')។
   • អត្ថប្រយោជន៍: វិធីសាស្រ្តនេះមានប្រសិទ្ធភាពជានិច្ច ទោះបីជាការកត្តាមិនងាយស្រួល ឬមិនអាចទៅរួចក៏ដោយ។
   • ឧទាហរណ៍: សម្រាប់សមីការ \(2x^2 - 7x + 5 = 0\):
     • \(a = 2, b = -7, c = 5\)
     • \(x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(2)(5)}}{2(2)}\)
     • \(x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{4}\)
     • \(x = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{4}\)
     • \(x = \frac{7 \pm 3}{4}\)
     • \(x_1 = \frac{7 + 3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}\)
     • \(x_2 = \frac{7 - 3}{4} = \frac{4}{4} = 1\)

3. ការបំពេញការ៉េ (Completing the Square):

   • គោលការណ៍: វិធីសាស្រ្តនេះផ្លាស់ប្តូរសមីការទៅជាទម្រង់ \((x+k)^2 = m\), បន្ទាប់មកយើងអាចដោះស្រាយដោយការយក (\(\pm\)) រ៉ាឌីកាល។
   • របៀបអនុវត្ត:
     • ធ្វើឱ្យមេគុណនៃ \(x^2\) ស្មើនឹង 1 (ប្រសិនបើវាខុសពី 1).
     • ផ្លាស់ទីថេរ \((c)\) ទៅខាងស្តាំនៃសមីការ។
     • យកពាក់កណ្តាលនៃមេគុណនៃ \(x\) (\(b/2\)), លើកវាជាការ៉េ (\((b/2)^2\)), ហើយបន្ថែមវាទៅទាំងសងខាងនៃសមីការ។
     • កត្តាខាងឆ្វេងទៅជាការ៉េពេញលេញ។
     • ដោះស្រាយដោយការយក (\(\pm\)) រ៉ាឌីកាល។
   • ឧទាហរណ៍: សម្រាប់ \(x^2 + 6x + 5 = 0\):
     • \(x^2 + 6x = -5\)
     • (\(b/2)^2 = (6/2)^2 = 3^2 = 9\). បន្ថែម 9 ទៅទាំងសងខាង:
     • \(x^2 + 6x + 9 = -5 + 9\)
     • \((x + 3)^2 = 4\)
     • \(x + 3 = \pm \sqrt{4}\)
     • \(x + 3 = \pm 2\)
     • \(x_1 = -3 + 2 = -1\)
     • \(x_2 = -3 - 2 = -5\)

ការជ្រើសរើសវិធីសាស្រ្ត:

• ការកត្តា គឺជាវិធីដែលលឿនបំផុត ប្រសិនបើអាចធ្វើបាន។
• រូបមន្តដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី២ គឺជាវិធីសាស្រ្តទូទៅបំផុត និងមានប្រសិទ្ធភាពជានិច្ច។
• ការបំពេញការ៉េ គឺជាវិធីសាស្រ្តដែលមានមូលដ្ឋានគ្រឹះសំខាន់ ដែលជួយឱ្យយល់ពីរូបមន្តដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី២ និងមានប្រយោជន៍ក្នុងបរិបទគណិតវិទ្យាផ្សេងៗទៀត (ដូចជាការរកចំណុចកância នៃបន្ទាត់កោង)។

แน่นอน! ក្រៅពីការកត្តាដែលយើងបានពិភាក្សាពីមុន មានវិធីសាស្រ្តសំខាន់មួយទៀតក្នុងការដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី២ គឺ ការប្រើរូបមន្តទូទៅ (Quadratic Formula)។ វិធីសាស្រ្តនេះមានលក្ខណៈជាសកល ព្រោះវាអាចអនុវត្តបានចំពោះសមីការដឺក្រេទី២ គ្រប់ប្រភេទ។

រូបមន្តទូទៅសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី២:

សម្រាប់សមីការដឺក្រេទី២ ដែលស្ថិតក្នុងទម្រង់ \(ax^2 + bx + c = 0\), ដំណោះស្រាយរបស់វា (តម្លៃ \(x\)) ត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តដូចខាងក្រោម៖

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីប្រើប្រាស់រូបមន្តនេះ?

1. កំណត់អថេរ \(a, b, c\): វិភាគសមីការដឺក្រេទី២ ដែលអ្នកមាន ហើយកំណត់តម្លៃនៃ \(a\) (មេគុណនៃ \(x^2\)), \(b\) (មេគុណនៃ \(x\)), និង \(c\) (ថេរ)។ សូមប្រយ័ត្នចំពោះសញ្ញា (-) ផងដែរ។
2. ជំនួសតម្លៃទៅក្នុងរូបមន្ត: បញ្ចូលតម្លៃ \(a, b, c\) ដែលអ្នកបានរកឃើញ ទៅក្នុងរូបមន្តទូទៅ។
3. គណនាផ្នែកក្រោមឫស (Discriminant): ផ្នែកក្រោមឫសគឺ \(b^2 - 4ac\). តម្លៃនេះមានសារៈសំខាន់ ព្រោះវាប្រាប់យើងអំពីលក្ខណៈនៃដំណោះស្រាយ។
4. គណនាដំណោះស្រាយ:
   • ប្រើសញ្ញា '+': គណនា \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
   • ប្រើសញ្ញា '-': គណនា \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

ហេតុអ្វីបានជារូបមន្តនេះមានប្រសិទ្ធភាព?

រូបមន្តនេះត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយប្រើវិធី ការបំពេញការ៉េ (Completing the Square) លើទម្រង់ទូទៅ \(ax^2 + bx + c = 0\). វាបានបំប្លែងសមីការទៅជាទម្រង់ដែលអាចដោះស្រាយបានដោយផ្អែកលើ \(a, b, c\) តែប៉ុណ្ណោះ។

ឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់រូបមន្តទូទៅ:

សូមដោះស្រាយសមីការ \(2x^2 - 7x + 5 = 0\) ដោយប្រើរូបមន្តទូទៅ។

1. កំណត់ \(a, b, c\):

   • \(a = 2\)
   • \(b = -7\)
   • \(c = 5\)

2. ជំនួសតម្លៃទៅក្នុងរូបមន្ត:
   $\(x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(2)(5)}}{2(2)}\)$

3. គណនាផ្នែកក្រោមឫស:

   • \(b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(2)(5) = 49 - 40 = 9\)

4. គណនាដំណោះស្រាយ:
   $\(x = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{4}\)$
   $\(x = \frac{7 \pm 3}{4}\)$

   • ដំណោះស្រាយទី១ (\(x_1\)):
     $\(x_1 = \frac{7 + 3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}\)$
   • ដំណោះស្រាយទី២ (\(x_2\)):
     $\(x_2 = \frac{7 - 3}{4} = \frac{4}{4} = 1\)$

ដូច្នេះ ដំណោះស្រាយនៃសមីការ \(2x^2 - 7x + 5 = 0\) គឺ \(x = \frac{5}{2}\) និង \(x = 1\), ដែលជាលទ្ធផលដូចគ្នាទៅនឹងការដោះស្រាយដោយការកត្តា។

អត្ថប្រយោជន៍នៃការប្រើរូបមន្តទូទៅ:

• ជាសកល: អាចប្រើបានសម្រាប់សមីការដឺក្រេទី២ ទាំងអស់។
• ប្រាកដនិយម: មិនតម្រូវឱ្យមានការរកឃើញកត្តាដែលពិបាកទេ។
• ផ្តល់ព័ត៌មានអំពីលក្ខណៈនៃដំណោះស្រាយ: ផ្នែកក្រោមឫស (\(b^2 - 4ac\)) អាចប្រាប់យើងថាតើមានដំណោះស្រាយពិតចំនួនប៉ុន្មាន និងប្រភេទអ្វី។

រូបភាពនេះមានសញ្ញាណនៃលំហាត់គណិតវិទ្យាជាភាសាខ្មែរ ដែលទាក់ទងនឹង វិសមភាពលីនេអ៊ែរ (Linear Inequalities) និង អនុគមន៍លីនេអ៊ែរ (Linear Functions)។

ផ្នែកខាងលើនៃទំព័រ:

• "រៀនក្នុងថ្នាក់ទី 4" - បង្ហាញថាជាមេរៀនសម្រាប់ថ្នាក់ទី 4។
• "វិសមភាព" - ចំណងជើងសំខាន់នៃមេរៀន។

ផ្នែកកណ្តាលនៃទំព័រ:

• "3.1 ប្រភេទនៃវិសមភាព" - ផ្នែករងលើប្រធានបទវិសមភាព។
• "EX: ដំណោះស្រាយវិសមភាព" - ជាឧទាហរណ៍ដែលស្នើឱ្យដោះស្រាយវិសមភាព។

បញ្ជីនៃវិសមភាព:

មានវិសមភាពជាច្រើនដែលត្រូវបានរាយបញ្ជី ដោយមានលេខបន្តបន្ទាប់គ្នា (1. 2. 3. 4. 5.):

1. \(4x - 12 > 0\)
2. \(2x + 30 > 0\)
3. \(3x - 13 < 0\)
4. \(-4x + 1 \le 0\)
5. \(5 - 4x > 0\) (សរសេរជា \(5. 4x - 12 > 0\) ក្នុងរូបភាព ប៉ុន្តែដោយសារលេខ 5 គឺ \(5 - 4x > 0\) តាមទម្រង់ទូទៅ)

ផ្នែកខាងក្រោមនៃទំព័រ:

• "តាមwidehat \(f(x) = 4x - 12\)" - ការកំណត់អោយអនុគមន៍ \(f(x)\) ស្មើនឹង \(4x - 12\).
• "ដោះស្រាយ \(f(x) = 0\)" - ស្នើឱ្យរកតម្លៃ \(x\) នៅពេលដែល \(f(x)\) ស្មើនឹង 0.
• "\(-4x + 1 \le 0\)" - វិសមភាពមួយទៀតដែលប្រហែលជាទាក់ទងនឹង \(f(x)\) ឬជាលំហាត់ដាច់ដោយឡែក។
• មានលេខមួយចំនួនទៀតដែលមិនអាចអានបានច្បាស់លាស់ដោយសារគុណភាពរូបភាព។

សរុបសេចក្តី:

រូបភាពនេះបង្ហាញពីមេរៀនគណិតវិទ្យាអំពីវិសមភាពលីនេអ៊ែរ និងការដោះស្រាយពួកវា ដោយមានឧទាហរណ៍ និងការអនុវត្តលើអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ។