Учебные материалы по алгебре: раскрытие скобок и формулы

はい、承知いたしました。数学の問題ですね。
画像に写っている範囲で、6番と7番の問題を解いていきます。

6. 次の計算をしなさい。

(1) \(4x(x-2y)\)

解説:
分配法則を使って、括弧の外にある \(4x\) を括弧の中の各項に掛けます。

1. \(4x\) を \(x\) に掛ける: \(4x \times x = 4x^2\)
2. \(4x\) を \(-2y\) に掛ける: \(4x \times (-2y) = -8xy\)

計算:
\(4x(x-2y) = 4x \times x + 4x \times (-2y)\)
\(= 4x^2 - 8xy\)

答え:
\(4x^2 - 8xy\)

(2) \(\frac{1}{2}x(2x+6)\)

解説:
こちらも分配法則を使います。 \(\frac{1}{2}x\) を括弧の中の各項に掛けます。

1. \(\frac{1}{2}x\) を \(2x\) に掛ける: \(\frac{1}{2}x \times 2x = \frac{1 \times 2}{2} \times x \times x = 1 \times x^2 = x^2\)
2. \(\frac{1}{2}x\) を \(6\) に掛ける: \(\frac{1}{2}x \times 6 = \frac{6}{2} \times x = 3x\)

計算:
\(\frac{1}{2}x(2x+6) = \frac{1}{2}x \times 2x + \frac{1}{2}x \times 6\)
\(= x^2 + 3x\)

答え:
\(x^2 + 3x\)

(3) \((3a+5b)(-2a)\)

解説:
分配法則を使います。 \((-2a)\) を括弧の中の各項に掛けます。

1. \((-2a)\) を \(3a\) に掛ける: \((-2a) \times (3a) = -6a^2\)
2. \((-2a)\) を \(5b\) に掛ける: \((-2a) \times (5b) = -10ab\)

計算:
\((3a+5b)(-2a) = (3a) \times (-2a) + (5b) \times (-2a)\)
\(= -6a^2 - 10ab\)

答え:
\(-6a^2 - 10ab\)

(4) \(3a(a-b+3c)\)

解説:
分配法則を使います。 \(3a\) を括弧の中の各項に掛けます。

1. \(3a\) を \(a\) に掛ける: \(3a \times a = 3a^2\)
2. \(3a\) を \(-b\) に掛ける: \(3a \times (-b) = -3ab\)
3. \(3a\) を \(3c\) に掛ける: \(3a \times (3c) = 9ac\)

計算:
\(3a(a-b+3c) = 3a \times a + 3a \times (-b) + 3a \times (3c)\)
\(= 3a^2 - 3ab + 9ac\)

答え:
\(3a^2 - 3ab + 9ac\)

7. 次の式を展開しなさい。

(1) \((x+2)(y+1)\)

解説:
2つの括弧の各項をすべて掛け合わせます（分配法則を2回適用）。
\((a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\) の形です。

1. \(x\) と \(y\) を掛ける: \(x \times y = xy\)
2. \(x\) と \(1\) を掛ける: \(x \times 1 = x\)
3. \(2\) と \(y\) を掛ける: \(2 \times y = 2y\)
4. \(2\) と \(1\) を掛ける: \(2 \times 1 = 2\)

計算:
\((x+2)(y+1) = x(y+1) + 2(y+1)\)
\(= xy + x + 2y + 2\)

答え:
\(xy + x + 2y + 2\)

(2) \((x+7)(x+9)\)

解説:
こちらも分配法則を使います。 \((a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\) の形です。

1. \(x\) と \(x\) を掛ける: \(x \times x = x^2\)
2. \(x\) と \(9\) を掛ける: \(x \times 9 = 9x\)
3. \(7\) と \(x\) を掛ける: \(7 \times x = 7x\)
4. \(7\) と \(9\) を掛ける: \(7 \times 9 = 63\)

計算:
\((x+7)(x+9) = x \times x + x \times 9 + 7 \times x + 7 \times 9\)
\(= x^2 + 9x + 7x + 63\)
同類項 (\(9x\) と \(7x\)) をまとめます。
\(= x^2 + (9+7)x + 63\)
\(= x^2 + 16x + 63\)

答え:
\(x^2 + 16x + 63\)

(3) \((a+5)(a-6)\)

解説:
分配法則を使います。 \((a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\) の形です。

1. \(a\) と \(a\) を掛ける: \(a \times a = a^2\)
2. \(a\) と \(-6\) を掛ける: \(a \times (-6) = -6a\)
3. \(5\) と \(a\) を掛ける: \(5 \times a = 5a\)
4. \(5\) と \(-6\) を掛ける: \(5 \times (-6) = -30\)

計算:
\((a+5)(a-6) = a \times a + a \times (-6) + 5 \times a + 5 \times (-6)\)
\(= a^2 - 6a + 5a - 30\)
同類項 (\(-6a\) と \(5a\)) をまとめます。
\(= a^2 + (-6+5)a - 30\)
\(= a^2 - a - 30\)

答え:
\(a^2 - a - 30\)

(4) \((x-\frac{1}{2})^2\)

解説:
これは \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) の公式を使って展開できます。
ここで、\(a=x\)、\(b=\frac{1}{2}\) です。

1. \(a^2 = x^2\)
2. \(-2ab = -2 \times x \times \frac{1}{2} = -x\)
3. \(b^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}\)

計算:
\((x-\frac{1}{2})^2 = x^2 - 2 \times x \times \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2\)
\(= x^2 - x + \frac{1}{4}\)

答え:
\(x^2 - x + \frac{1}{4}\)

(5) \((3a+5b)^2\)

解説:
これは \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) の公式を使って展開できます。
ここで、\(a=3a\)、\(b=5b\) です。

1. \(a^2 = (3a)^2 = 3^2 \times a^2 = 9a^2\)
2. \(2ab = 2 \times (3a) \times (5b) = 2 \times 3 \times 5 \times a \times b = 30ab\)
3. \(b^2 = (5b)^2 = 5^2 \times b^2 = 25b^2\)

計算:
\((3a+5b)^2 = (3a)^2 + 2(3a)(5b) + (5b)^2\)
\(= 9a^2 + 30ab + 25b^2\)

答え:
\(9a^2 + 30ab + 25b^2\)

(6) \((x+4y)(x-4y)\)

解説:
これは \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\) の公式（因数分解の公式の逆）を使って展開できます。
ここで、\(a=x\)、\(b=4y\) です。

1. \(a^2 = x^2\)
2. \(b^2 = (4y)^2 = 4^2 \times y^2 = 16y^2\)

計算:
\((x+4y)(x-4y) = x^2 - (4y)^2\)
\(= x^2 - 16y^2\)

答え:
\(x^2 - 16y^2\)

(7) \((x+y-1)(x+y-2)\)

解説:
この問題は、\((x+y)\) を一つの文字（例えば \(A\)）に置き換えて考えると解きやすくなります。
Let \(A = x+y\) とすると、式は \((A-1)(A-2)\) となります。
これを展開します。
\((A-1)(A-2) = A \times A + A \times (-2) + (-1) \times A + (-1) \times (-2)\)
\(= A^2 - 2A - A + 2\)
\(= A^2 - 3A + 2\)

次に、\(A\) を \((x+y)\) に戻します。
\(= (x+y)^2 - 3(x+y) + 2\)

ここで、\((x+y)^2\) を展開します。\((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\)
\(= (x^2 + 2xy + y^2) - 3(x+y) + 2\)

最後に、\(-3\) を括弧の中の各項に掛けます。
\(= x^2 + 2xy + y^2 - 3x - 3y + 2\)

計算:
\((x+y-1)(x+y-2)\)
Let \(A = x+y\)
\(= (A-1)(A-2)\)
\(= A^2 - 2A - A + 2\)
\(= A^2 - 3A + 2\)
Substitute \(A = x+y\) back:
\(= (x+y)^2 - 3(x+y) + 2\)
Expand \((x+y)^2\):
\(= (x^2 + 2xy + y^2) - 3(x+y) + 2\)
Distribute \(-3\):
\(= x^2 + 2xy + y^2 - 3x - 3y + 2\)

答え:
\(x^2 + 2xy + y^2 - 3x - 3y + 2\)

(8) \((a-b+3)^2\)

解説:
これは \((a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\) の公式を使うと展開できます。
あるいは、2つの項にまとめて \((X+Y)^2\) の形にして展開することもできます。
Let \(X = a-b\), \(Y = 3\).
\((X+Y)^2 = X^2 + 2XY + Y^2\)
Substitute \(X=a-b\) and \(Y=3\):
\(= (a-b)^2 + 2(a-b)(3) + 3^2\)

ここで、\((a-b)^2\) を展開します。\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
\(= (a^2 - 2ab + b^2) + 2(3)(a-b) + 9\)
\(= a^2 - 2ab + b^2 + 6(a-b) + 9\)

最後に、\(6\) を括弧の中の各項に掛けます。
\(= a^2 - 2ab + b^2 + 6a - 6b + 9\)

計算:
\((a-b+3)^2\)
Let \(X = a-b\)
\(= (X+3)^2\)
\(= X^2 + 2 \times X \times 3 + 3^2\)
\(= X^2 + 6X + 9\)
Substitute \(X = a-b\) back:
\(= (a-b)^2 + 6(a-b) + 9\)
Expand \((a-b)^2\):
\(= (a^2 - 2ab + b^2) + 6(a-b) + 9\)
Distribute \(6\):
\(= a^2 - 2ab + b^2 + 6a - 6b + 9\)

答え:
\(a^2 - 2ab + b^2 + 6a - 6b + 9\)

はい、承知いたしました。前回に引き続き、画像に写っている問題の解説をします。

8. 次の式を展開しなさい。

(1) \(10(x-15)\)

解説:
分配法則を使います。\(10\) を括弧の中の各項に掛けます。

1. \(10\) を \(x\) に掛ける: \(10 \times x = 10x\)
2. \(10\) を \(-15\) に掛ける: \(10 \times (-15) = -150\)

計算:
\(10(x-15) = 10 \times x + 10 \times (-15)\)
\(= 10x - 150\)

答え:
\(10x - 150\)

(2) \((x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})\)

解説:
これは \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\) の公式を使って展開できます。
ここで、\(a=x\)、\(b=\frac{1}{2}\) です。

1. \(a^2 = x^2\)
2. \(b^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\)

計算:
\((x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2}) = x^2 - (\frac{1}{2})^2\)
\(= x^2 - \frac{1}{4}\)

答え:
\(x^2 - \frac{1}{4}\)

(3) \((10+x)(-15+x)\)

解説:
この式は \((x+10)(x-15)\) と同じです。分配法則を使って展開します。
\((a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\) の形です。

1. \(x\) と \(x\) を掛ける: \(x \times x = x^2\)
2. \(x\) と \(-15\) を掛ける: \(x \times (-15) = -15x\)
3. \(10\) と \(x\) を掛ける: \(10 \times x = 10x\)
4. \(10\) と \(-15\) を掛ける: \(10 \times (-15) = -150\)

計算:
\((x+10)(x-15) = x \times x + x \times (-15) + 10 \times x + 10 \times (-15)\)
\(= x^2 - 15x + 10x - 150\)
同類項 (\(-15x\) と \(10x\)) をまとめます。
\(= x^2 + (-15+10)x - 150\)
\(= x^2 - 5x - 150\)

答え:
\(x^2 - 5x - 150\)

(4) \((x-\frac{1}{2})^2\)

解説:
これは \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) の公式を使って展開できます。
ここで、\(a=x\)、\(b=\frac{1}{2}\) です。

1. \(a^2 = x^2\)
2. \(-2ab = -2 \times x \times \frac{1}{2} = -x\)
3. \(b^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\)

計算:
\((x-\frac{1}{2})^2 = x^2 - 2 \times x \times \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2\)
\(= x^2 - x + \frac{1}{4}\)

答え:
\(x^2 - x + \frac{1}{4}\)

9. 次の計算をしなさい。

(1) \((x-2)^2 + (x+3)(x-8)\)

解説:
まず、それぞれの項を展開します。
\((x-2)^2\) は \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) の公式で展開します。
\((x+3)(x-8)\) は \((a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\) の公式で展開します。

• \((x-2)^2 = x^2 - 2(x)(2) + 2^2 = x^2 - 4x + 4\)
• \((x+3)(x-8) = x^2 - 8x + 3x - 24 = x^2 - 5x - 24\)

次に、これら2つの結果を足し合わせます。
\((x^2 - 4x + 4) + (x^2 - 5x - 24)\)

計算:
\(= x^2 - 4x + 4 + x^2 - 5x - 24\)
同類項 (\(x^2\) 同士, \(x\) 同士, 定数項 同士) をまとめます。
\(= (x^2 + x^2) + (-4x - 5x) + (4 - 24)\)
\(= 2x^2 - 9x - 20\)

答え:
\(2x^2 - 9x - 20\)

(2) \((2x+1)^2 - (2x-1)(2x+3)\)

解説:
まず、それぞれの項を展開します。
\((2x+1)^2\) は \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) の公式で展開します。
\((2x-1)(2x+3)\) は \((a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\) の公式で展開します。

• \((2x+1)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(1) + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1\)
• \((2x-1)(2x+3) = (2x)^2 + 3(2x) - 1(2x) - 1(3) = 4x^2 + 6x - 2x - 3 = 4x^2 + 4x - 3\)

次に、最初の展開結果から2番目の展開結果を引きます。
\((4x^2 + 4x + 1) - (4x^2 + 4x - 3)\)
引くときは、括弧の中の各項の符号が変わることに注意します。

計算:
\(= 4x^2 + 4x + 1 - 4x^2 - 4x + 3\)
同類項をまとめます。
\(= (4x^2 - 4x^2) + (4x - 4x) + (1 + 3)\)
\(= 0 + 0 + 4\)
\(= 4\)

答え:
\(4\)

10. 次の式を因数分解しなさい。

(1) \(2a^2b + 4ab^2\)

解説:
共通因数を見つけて括り出します。
各項の係数 \(2\) と \(4\) の最大公約数は \(2\) です。
各項の文字 \(a\) の共通因数は \(a\) です。
各項の文字 \(b\) の共通因数は \(b\) です。
したがって、共通因数は \(2ab\) です。

\(2a^2b\) は \(2ab \times a\) と書けます。
\(4ab^2\) は \(2ab \times 2b\) と書けます。

計算:
\(2a^2b + 4ab^2 = 2ab \times a + 2ab \times 2b\)
\(= 2ab(a + 2b)\)

答え:
\(2ab(a+2b)\)

(2) \(x^2 - 7x + 12\)

解説:
この2次式は、\(x^2 + (p+q)x + pq = (x+p)(x+q)\) の形に因数分解できるか考えます。
掛けて \(12\) になり、足して \(-7\) になる2つの数 \(p, q\) を見つけます。

• 掛けて \(12\) になる組み合わせ: \((1, 12), (2, 6), (3, 4), (-1, -12), (-2, -6), (-3, -4)\)
• これらの組み合わせで足して \(-7\) になるのは、\(-3\) と \(-4\) です。
  \((-3) \times (-4) = 12\)
  \((-3) + (-4) = -7\)

したがって、\(p=-3\), \(q=-4\) となります。

計算:
\(x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)\)

答え:
\((x-3)(x-4)\)

(3) \(a^2 - 49\)

解説:
これは \(a^2 - b^2\) の形になっているので、\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) の公式を使って因数分解できます。
\(49\) は \(7^2\) なので、\(b=7\) と考えられます。

1. \(a^2 = a^2\)
2. \(b^2 = 7^2 = 49\)

計算:
\(a^2 - 49 = a^2 - 7^2\)
\(= (a-7)(a+7)\)

答え:
\((a-7)(a+7)\)

(4) \(3x^2 + 18x + 27\)

解説:
まず、各項に共通する因数がないか確認します。
係数 \(3, 18, 27\) の最大公約数は \(3\) です。
したがって、\(3\) で括り出すことができます。

\(3x^2 + 18x + 27 = 3(x^2 + 6x + 9)\)

括弧の中の \(x^2 + 6x + 9\) は、\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) の形になっています。
ここで、\(a=x\)、\(b=3\) と考えると、\(2ab = 2(x)(3) = 6x\) となり、真ん中の項と一致します。

計算:
\(3(x^2 + 6x + 9) = 3(x+3)^2\)

答え:
\(3(x+3)^2\)

(5) \(16x^2 - 8x + 1\)

解説:
この式は、\((ax-b)^2 = (ax)^2 - 2(ax)b + b^2\) の形に因数分解できるか考えます。
\((ax)^2\) にあたるのが \(16x^2\) なので、\(ax = \sqrt{16x^2} = 4x\) と考えられます。
\(b^2\) にあたるのが \(1\) なので、\(b = \sqrt{1} = 1\) と考えられます。
これで、\(a=4x, b=1\) と仮定して、真ん中の項 $ -2ab $ を確認します。
\(-2ab = -2(4x)(1) = -8x\)
これは元の式の真ん中の項と一致します。
したがって、\((4x-1)^2\) の形に因数分解できます。

計算:
\(16x^2 - 8x + 1 = (4x)^2 - 2(4x)(1) + 1^2\)
\(= (4x-1)^2\)

答え:
\((4x-1)^2\)

(6) \(4x^2 - 36y^2\)

解説:
まず、共通因数がないか確認します。
係数 \(4\) と \(36\) の最大公約数は \(4\) です。
したがって、\(4\) で括り出すことができます。

\(4x^2 - 36y^2 = 4(x^2 - 9y^2)\)

括弧の中の \(x^2 - 9y^2\) は、\(a^2 - b^2\) の形になっています。
\(a^2 = x^2\) なので、\(a=x\) です。
\(b^2 = 9y^2 = (3y)^2\) なので、\(b=3y\) です。
この形は \((a-b)(a+b)\) で因数分解できます。

計算:
\(4(x^2 - 9y^2) = 4(x^2 - (3y)^2)\)
\(= 4(x - 3y)(x + 3y)\)

答え:
\(4(x-3y)(x+3y)\)

(7) \((a+3)^2 + 2(a+3) - 35\)

解説:
この式は、\((a+3)\) を一つの文字（例えば \(X\)）に置き換えて考えると解きやすくなります。
Let \(X = a+3\) とすると、式は \(X^2 + 2X - 35\) となります。
この2次式を因数分解します。掛けて \(-35\)、足して \(2\) になる2つの数を見つけます。
掛けて \(-35\) になる組み合わせ: \((1, -35), (-1, 35), (5, -7), (-5, 7)\)
足して \(2\) になるのは \(-5\) と \(7\) です。
\((-5) \times 7 = -35\)
\((-5) + 7 = 2\)
したがって、因数分解すると \((X-5)(X+7)\) となります。

次に、\(X\) を \((a+3)\) に戻します。
\(= ((a+3) - 5)((a+3) + 7)\)
\(= (a+3-5)(a+3+7)\)
\(= (a-2)(a+10)\)

計算:
Let \(X = a+3\)
\(X^2 + 2X - 35\)
Find two numbers that multiply to -35 and add to 2. These numbers are 7 and -5.
\(= (X+7)(X-5)\)
Substitute \(X = a+3\) back:
\(= ((a+3)+7)((a+3)-5)\)
\(= (a+10)(a-2)\)

答え:
\((a+10)(a-2)\)