直角頂点を持つ三角錐の体積、面積、高さを求める問題

Задание 9

Условие:
Дано: \(BD = CD = 2\), \(AD = 3\), \(\angle ADB = \angle ADC = \angle BDC = 90^\circ\).
(1) Найдите объем треугольной пирамиды D-ABC.
(2) Найдите площадь треугольника ABC.
(3) Найдите длину высоты, опущенной из вершины D на плоскость треугольника ABC.

Решение:

Часть (1): Объем треугольной пирамиды D-ABC

• Понимание задачи: Нам дана треугольная пирамида, где вершина D является вершиной трех прямых углов (попарно перпендикулярные ребра DA, DB, DC). Основанием является треугольник ABC. Для нахождения объема пирамиды нам нужно найти площадь основания и высоту. В данном случае, три ребра, исходящие из D, взаимно перпендикулярны, поэтому мы можем использовать их как основание и высоту.
• Формула объема пирамиды: \(V = \frac{1}{3} \times \text{Площадь основания} \times \text{Высота}\)
• Выбор основания и высоты: Так как \(\angle ADB = \angle ADC = \angle BDC = 90^\circ\), мы можем рассматривать треугольник BDC как основание, а DA как высоту.
• Расчет площади основания (треугольник BDC):
  • Треугольник BDC - прямоугольный, с катетами \(BD = 2\) и \(CD = 2\).
  • Площадь \(\triangle BDC = \frac{1}{2} \times BD \times CD = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2\).
• Высота пирамиды: Высота, опущенная из вершины A на плоскость основания BDC, равна \(AD = 3\).
• Расчет объема:
  • \(V = \frac{1}{3} \times \text{Площадь } \triangle BDC \times AD = \frac{1}{3} \times 2 \times 3 = 2\).

Ответ: Объем треугольной пирамиды D-ABC равен 2.

Часть (2): Площадь треугольника ABC

• Понимание задачи: Теперь нам нужно найти площадь основания ABC. Мы знаем длины сторон AB, AC, BC.
• Расчет длин сторон:
  • BC: В прямоугольном треугольнике BDC, \(BC^2 = BD^2 + CD^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8\). Значит, \(BC = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\).
  • AB: В прямоугольном треугольнике ADB, \(AB^2 = AD^2 + BD^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13\). Значит, \(AB = \sqrt{13}\).
  • AC: В прямоугольном треугольнике ADC, \(AC^2 = AD^2 + CD^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13\). Значит, \(AC = \sqrt{13}\).
• Анализ треугольника ABC: Мы получили, что \(AB = AC = \sqrt{13}\). Это означает, что треугольник ABC является равнобедренным.
• Нахождение площади равнобедренного треугольника:
  1. Найдем высоту, опущенную из вершины A на основание BC. Пусть середина BC - точка M. Тогда AM - высота.
  2. \(BM = MC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} (2\sqrt{2}) = \sqrt{2}\).
  3. В прямоугольном треугольнике AMB (или AMC): \(AM^2 = AB^2 - BM^2 = (\sqrt{13})^2 - (\sqrt{2})^2 = 13 - 2 = 11\). Значит, \(AM = \sqrt{11}\).
  4. Площадь \(\triangle ABC = \frac{1}{2} \times BC \times AM = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times \sqrt{11} = \sqrt{22}\).

Ответ: Площадь треугольника ABC равна \(\sqrt{22}\).

Часть (3): Длина высоты из D на плоскость ABC

• Понимание задачи: Нам нужно найти длину высоты, опущенной из вершины D на плоскость треугольника ABC. Обозначим основание этой высоты как H.
• Использование формулы объема: Мы уже знаем объем пирамиды D-ABC (равен 2) и площадь ее основания ABC (равна \(\sqrt{22}\)). Мы можем использовать формулу объема еще раз, но теперь рассматривая ABC как основание, а высоту из D на плоскость ABC как \(h_D\).
• Формула объема: \(V = \frac{1}{3} \times \text{Площадь } \triangle ABC \times h_D\)
• Подстановка известных значений:
  • \(2 = \frac{1}{3} \times \sqrt{22} \times h_D\)
• Решение относительно \(h_D\):
  • \(6 = \sqrt{22} \times h_D\)
  • \(h_D = \frac{6}{\sqrt{22}}\)
  • Избавимся от иррациональности в знаменателе: \(h_D = \frac{6\sqrt{22}}{22} = \frac{3\sqrt{22}}{11}\).

Ответ: Длина высоты, опущенной из вершины D на плоскость треугольника ABC, равна \(\frac{3\sqrt{22}}{11}\).

問題9

条件:
図のように、\(BD = CD = 2\)、\(AD = 3\)、$ \angle ADB = \angle ADC = \angle BDC = 90^\circ $ とする。
(1) 三角錐 D-ABC の体積を求めなさい。
(2) \(\triangle ABC\) の面積を求めなさい。
(3) 頂点 D から \(\triangle ABC\) に垂線を下ろしたとき、その長さを求めよ。

解答:

(1) 三角錐 D-ABC の体積

• 問題の理解: 与えられた条件から、頂点 D から生じる3つの辺 DA, DB, DC が互いに垂直であることがわかります。これは、DA を高さ、\(\triangle BDC\) を底面として体積を計算できることを意味します。
• 体積の公式: \(V = \frac{1}{3} \times \text{底面積} \times \text{高さ}\)
• 底面と高さの選択: \(\angle ADB = \angle ADC = \angle BDC = 90^\circ\) なので、\(\triangle BDC\) を底面、DA を高さとみなすことができます。
• 底面（\(\triangle BDC\)）の面積の計算:
  • \(\triangle BDC\) は直角三角形であり、直角を挟む辺は \(BD = 2\)、\(CD = 2\) です。
  • \(\triangle BDC\) の面積 \(= \frac{1}{2} \times BD \times CD = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2\)。
• 三角錐の高さ: 点 D から底面 BDC に下ろした垂線の長さは \(AD = 3\) です。
• 体積の計算:
  • \(V = \frac{1}{3} \times \triangle BDC \text{ の面積} \times AD = \frac{1}{3} \times 2 \times 3 = 2\)。

答え: 三角錐 D-ABC の体積は 2 です。

(2) \(\triangle ABC\) の面積

• 問題の理解: 次に、底面 ABC の面積を求める必要があります。辺 AB, AC, BC の長さを知っています。
• 辺の長さの計算:
  • BC: 直角三角形 BDC において、\(BC^2 = BD^2 + CD^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8\)。よって、\(BC = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)。
  • AB: 直角三角形 ADB において、\(AB^2 = AD^2 + BD^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13\)。よって、\(AB = \sqrt{13}\)。
  • AC: 直角三角形 ADC において、\(AC^2 = AD^2 + CD^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13\)。よって、\(AC = \sqrt{13}\)。
• \(\triangle ABC\) の分析: \(AB = AC = \sqrt{13}\) となり、\(\triangle ABC\) は二等辺三角形であることがわかります。
• 二等辺三角形の面積の求め方:
  1. 頂点 A から底辺 BC に下ろした垂線の長さを求めます。BC の中点を M とすると、AM が高さになります。
  2. \(BM = MC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} (2\sqrt{2}) = \sqrt{2}\)。
  3. 直角三角形 AMB (または AMC) において、\(AM^2 = AB^2 - BM^2 = (\sqrt{13})^2 - (\sqrt{2})^2 = 13 - 2 = 11\)。よって、\(AM = \sqrt{11}\)。
  4. \(\triangle ABC\) の面積 \(= \frac{1}{2} \times BC \times AM = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times \sqrt{11} = \sqrt{22}\)。

答え: \(\triangle ABC\) の面積は \(\sqrt{22}\) です。

(3) D から \(\triangle ABC\) への垂線の長さ

• 問題の理解: 頂点 D から \(\triangle ABC\) の平面に下ろした垂線の長さを求めます。この垂線の足を H とします。
• 体積の公式の利用: 三角錐 D-ABC の体積（2）と、その底面 ABC の面積（\(\sqrt{22}\)）がわかっています。体積の公式を再度利用し、ABC を底面、D から ABC への垂線 \(h_D\) を高さとして計算します。
• 体積の公式: \(V = \frac{1}{3} \times \triangle ABC \text{ の面積} \times h_D\)
• 既知の値の代入:
  • \(2 = \frac{1}{3} \times \sqrt{22} \times h_D\)
• \(h_D\) について解く:
  • \(6 = \sqrt{22} \times h_D\)
  • \(h_D = \frac{6}{\sqrt{22}}\)
  • 分母の有理化を行う: \(h_D = \frac{6\sqrt{22}}{22} = \frac{3\sqrt{22}}{11}\)。

答え: 頂点 D から \(\triangle ABC\) の平面に下ろした垂線の長さは \(\frac{3\sqrt{22}}{11}\) です。