Задание 9

Условие:
Дано: $BD = CD = 2$, $AD = 3$, $\angle ADB = \angle ADC = \angle BDC = 90^\circ$.
(1) Найдите объем треугольной пирамиды D-ABC.
(2) Найдите площадь треугольника ABC.
(3) Найдите длину высоты, опущенной из вершины D на плоскость треугольника ABC.

Решение:

Часть (1): Объем треугольной пирамиды D-ABC

• Понимание задачи: Нам дана треугольная пирамида, где вершина D является вершиной трех прямых углов (попарно перпендикулярные ребра DA, DB, DC). Основанием является треугольник ABC. Для нахождения объема пирамиды нам нужно найти площадь основания и высоту. В данном случае, три ребра, исходящие из D, взаимно перпендикулярны, поэтому мы можем использовать их как основание и высоту.
• Формула объема пирамиды: $V = \frac{1}{3} \times \text{Площадь основания} \times \text{Высота}$
• Выбор основания и высоты: Так как $\angle ADB = \angle ADC = \angle BDC = 90^\circ$, мы можем рассматривать треугольник BDC как основание, а DA как высоту.
• Расчет площади основания (треугольник BDC):
  • Треугольник BDC - прямоугольный, с катетами $BD = 2$ и $CD = 2$.
  • Площадь $\triangle BDC = \frac{1}{2} \times BD \times CD = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$.
• Высота пирамиды: Высота, опущенная из вершины A на плоскость основания BDC, равна $AD = 3$.
• Расчет объема:
  • $V = \frac{1}{3} \times \text{Площадь } \triangle BDC \times AD = \frac{1}{3} \times 2 \times 3 = 2$.

Ответ: Объем треугольной пирамиды D-ABC равен 2.

Часть (2): Площадь треугольника ABC

• Понимание задачи: Теперь нам нужно найти площадь основания ABC. Мы знаем длины сторон AB, AC, BC.
• Расчет длин сторон:
  • BC: В прямоугольном треугольнике BDC, $BC^2 = BD^2 + CD^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$. Значит, $BC = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
  • AB: В прямоугольном треугольнике ADB, $AB^2 = AD^2 + BD^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$. Значит, $AB = \sqrt{13}$.
  • AC: В прямоугольном треугольнике ADC, $AC^2 = AD^2 + CD^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$. Значит, $AC = \sqrt{13}$.
• Анализ треугольника ABC: Мы получили, что $AB = AC = \sqrt{13}$. Это означает, что треугольник ABC является равнобедренным.
• Нахождение площади равнобедренного треугольника:
  1. Найдем высоту, опущенную из вершины A на основание BC. Пусть середина BC - точка M. Тогда AM - высота.
  2. $BM = MC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} (2\sqrt{2}) = \sqrt{2}$.
  3. В прямоугольном треугольнике AMB (или AMC): $AM^2 = AB^2 - BM^2 = (\sqrt{13})^2 - (\sqrt{2})^2 = 13 - 2 = 11$. Значит, $AM = \sqrt{11}$.
  4. Площадь $\triangle ABC = \frac{1}{2} \times BC \times AM = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times \sqrt{11} = \sqrt{22}$.

Ответ: Площадь треугольника ABC равна $\sqrt{22}$.

Часть (3): Длина высоты из D на плоскость ABC

• Понимание задачи: Нам нужно найти длину высоты, опущенной из вершины D на плоскость треугольника ABC. Обозначим основание этой высоты как H.
• Использование формулы объема: Мы уже знаем объем пирамиды D-ABC (равен 2) и площадь ее основания ABC (равна $\sqrt{22}$). Мы можем использовать формулу объема еще раз, но теперь рассматривая ABC как основание, а высоту из D на плоскость ABC как $h_D$.
• Формула объема: $V = \frac{1}{3} \times \text{Площадь } \triangle ABC \times h_D$
• Подстановка известных значений:
  • $2 = \frac{1}{3} \times \sqrt{22} \times h_D$
• Решение относительно $h_D$:
  • $6 = \sqrt{22} \times h_D$
  • $h_D = \frac{6}{\sqrt{22}}$
  • Избавимся от иррациональности в знаменателе: $h_D = \frac{6\sqrt{22}}{22} = \frac{3\sqrt{22}}{11}$.

Ответ: Длина высоты, опущенной из вершины D на плоскость треугольника ABC, равна $\frac{3\sqrt{22}}{11}$.

問題9

条件:
図のように、$BD = CD = 2$、$AD = 3$、$ \angle ADB = \angle ADC = \angle BDC = 90^\circ $ とする。
(1) 三角錐 D-ABC の体積を求めなさい。
(2) $\triangle ABC$ の面積を求めなさい。
(3) 頂点 D から $\triangle ABC$ に垂線を下ろしたとき、その長さを求めよ。

解答:

(1) 三角錐 D-ABC の体積

• 問題の理解: 与えられた条件から、頂点 D から生じる3つの辺 DA, DB, DC が互いに垂直であることがわかります。これは、DA を高さ、$\triangle BDC$ を底面として体積を計算できることを意味します。
• 体積の公式: $V = \frac{1}{3} \times \text{底面積} \times \text{高さ}$
• 底面と高さの選択: $\angle ADB = \angle ADC = \angle BDC = 90^\circ$ なので、$\triangle BDC$ を底面、DA を高さとみなすことができます。
• 底面（$\triangle BDC$）の面積の計算:
  • $\triangle BDC$ は直角三角形であり、直角を挟む辺は $BD = 2$、$CD = 2$ です。
  • $\triangle BDC$ の面積 $= \frac{1}{2} \times BD \times CD = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$。
• 三角錐の高さ: 点 D から底面 BDC に下ろした垂線の長さは $AD = 3$ です。
• 体積の計算:
  • $V = \frac{1}{3} \times \triangle BDC \text{ の面積} \times AD = \frac{1}{3} \times 2 \times 3 = 2$。

答え: 三角錐 D-ABC の体積は 2 です。

(2) $\triangle ABC$ の面積

• 問題の理解: 次に、底面 ABC の面積を求める必要があります。辺 AB, AC, BC の長さを知っています。
• 辺の長さの計算:
  • BC: 直角三角形 BDC において、$BC^2 = BD^2 + CD^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$。よって、$BC = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。
  • AB: 直角三角形 ADB において、$AB^2 = AD^2 + BD^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$。よって、$AB = \sqrt{13}$。
  • AC: 直角三角形 ADC において、$AC^2 = AD^2 + CD^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$。よって、$AC = \sqrt{13}$。
• $\triangle ABC$ の分析: $AB = AC = \sqrt{13}$ となり、$\triangle ABC$ は二等辺三角形であることがわかります。
• 二等辺三角形の面積の求め方:
  1. 頂点 A から底辺 BC に下ろした垂線の長さを求めます。BC の中点を M とすると、AM が高さになります。
  2. $BM = MC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} (2\sqrt{2}) = \sqrt{2}$。
  3. 直角三角形 AMB (または AMC) において、$AM^2 = AB^2 - BM^2 = (\sqrt{13})^2 - (\sqrt{2})^2 = 13 - 2 = 11$。よって、$AM = \sqrt{11}$。
  4. $\triangle ABC$ の面積 $= \frac{1}{2} \times BC \times AM = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times \sqrt{11} = \sqrt{22}$。

答え: $\triangle ABC$ の面積は $\sqrt{22}$ です。

(3) D から $\triangle ABC$ への垂線の長さ

• 問題の理解: 頂点 D から $\triangle ABC$ の平面に下ろした垂線の長さを求めます。この垂線の足を H とします。
• 体積の公式の利用: 三角錐 D-ABC の体積（2）と、その底面 ABC の面積（$\sqrt{22}$）がわかっています。体積の公式を再度利用し、ABC を底面、D から ABC への垂線 $h_D$ を高さとして計算します。
• 体積の公式: $V = \frac{1}{3} \times \triangle ABC \text{ の面積} \times h_D$
• 既知の値の代入:
  • $2 = \frac{1}{3} \times \sqrt{22} \times h_D$
• $h_D$ について解く:
  • $6 = \sqrt{22} \times h_D$
  • $h_D = \frac{6}{\sqrt{22}}$
  • 分母の有理化を行う: $h_D = \frac{6\sqrt{22}}{22} = \frac{3\sqrt{22}}{11}$。

答え: 頂点 D から $\triangle ABC$ の平面に下ろした垂線の長さは $\frac{3\sqrt{22}}{11}$ です。