Properties of Singular Matrices and Examples

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はい、承知いたしました。問題番号の指定がないため、順番に解いていきます。

問題6

以下の正方行列が正則であるかどうか判定し、正則であるなら逆行列を求めよ。正則でないなら「正則でない」と答えよ。

(1)

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]

判定:
行列 \(A\) が正則であるかどうかは、その行列式 (determinant) が 0 でないかどうかで判定できます。

行列式 \(\det(A)\) を計算します。
$$
\det(A) = 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 4 \ 1 & 0 \end{pmatrix} - 0 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 4 \ 1 & 0 \end{pmatrix} + 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \ 1 & 1 \end{pmatrix}
$$
$$
\det(A) = 1 \cdot (1 \cdot 0 - 4 \cdot 1) - 0 + 2 \cdot (3 \cdot 1 - 1 \cdot 1)
$$
$$
\det(A) = 1 \cdot (-4) + 2 \cdot (2)
$$
$$
\det(A) = -4 + 4 = 0
$$

結論:
行列式が 0 であるため、この行列は正則でないです。

1 行列式とは 1 正則でない場合

(2)

\[ B = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ -3 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \]

判定:
行列 \(B\) の行列式 \(\det(B)\) を計算します。
$$
\det(B) = 0 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \ -1 & 2 \end{pmatrix} - 3 \cdot \det \begin{pmatrix} -3 & 1 \ 1 & 2 \end{pmatrix} + 4 \cdot \det \begin{pmatrix} -3 & 3 \ 1 & -1 \end{pmatrix}
$$
$$
\det(B) = 0 - 3 \cdot ((-3) \cdot 2 - 1 \cdot 1) + 4 \cdot ((-3) \cdot (-1) - 3 \cdot 1)
$$
$$
\det(B) = -3 \cdot (-6 - 1) + 4 \cdot (3 - 3)
$$
$$
\det(B) = -3 \cdot (-7) + 4 \cdot 0
$$
$$
\det(B) = 21 + 0 = 21
$$

結論:
行列式が 21 (0 でない) であるため、この行列は正則である。

逆行列の計算:
余因子行列 (Adjugate matrix) を用いて逆行列を求めます。逆行列 \(B^{-1}\) は、
$$
B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \text{adj}(B)
$$
ここで、\(\text{adj}(B)\) は \(B\) の余因子行列です。

まず、各成分の余因子 (cofactor) \(C_{ij}\) を計算します。
\(C_{11} = \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = 6 - (-1) = 7\)
\(C_{12} = -\det \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = -(-6 - 1) = 7\)
\(C_{13} = \det \begin{pmatrix} -3 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = 3 - 3 = 0\)

\(C_{21} = -\det \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = -(6 - (-4)) = -10\)
\(C_{22} = \det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 0 - 4 = -4\)
\(C_{23} = -\det \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = -(0 - 3) = 3\)

\(C_{31} = \det \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = 3 - 12 = -9\)
\(C_{32} = -\det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = -(0 - (-12)) = -12\)
\(C_{33} = \det \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 3 \end{pmatrix} = 0 - (-9) = 9\)

余因子行列は、これらの余因子を転置したものです。
$$
\text{adj}(B) = \begin{pmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \ C_{12} & C_{22} & C_{32} \ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -10 & -9 \ 7 & -4 & -12 \ 0 & 3 & 9 \end{pmatrix}
$$

したがって、逆行列 \(B^{-1}\) は次のようになります。
$$
B^{-1} = \frac{1}{21} \begin{pmatrix} 7 & -10 & -9 \ 7 & -4 & -12 \ 0 & 3 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{7}{21} & -\frac{10}{21} & -\frac{9}{21} \ \frac{7}{21} & -\frac{4}{21} & -\frac{12}{21} \ \frac{0}{21} & \frac{3}{21} & \frac{9}{21} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{10}{21} & -\frac{3}{7} \ \frac{1}{3} & -\frac{4}{21} & -\frac{4}{7} \ 0 & \frac{1}{7} & \frac{3}{7} \end{pmatrix}
$$

最終的な答え:
$$
B^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{10}{21} & -\frac{3}{7} \ \frac{1}{3} & -\frac{4}{21} & -\frac{4}{7} \ 0 & \frac{1}{7} & \frac{3}{7} \end{pmatrix}
$$

1 余因子行列の計算方法 1 逆行列の検算 1 掃き出し法による逆行列

(3)

\[ C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 4 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

判定:
これは4x4の行列です。行列式 \(\det(C)\) を計算します。4x4行列の行列式は、小行列式に展開するか、行基本変形を利用して計算します。ここでは、第1列で展開してみましょう。

\[ \det(C) = 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - 0 \cdot (\dots) + 0 \cdot (\dots) - 4 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \]

まず、左上の3x3行列の行列式を計算します。これは上三角行列なので、対角成分の積です。
$$
\det \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \ 0 & 1 & 3 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1
$$

次に、右下の3x3行列の行列式を計算します。これは下三角行列なので、対角成分の積です。
$$
\det \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \ 1 & -1 & 0 \ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} = 2 \cdot (-1) \cdot 3 = -6
$$

これらの結果を行列式 \(\det(C)\) の式に代入します。
$$
\det(C) = 1 \cdot (1) - 4 \cdot (-6)
$$
$$
\det(C) = 1 + 24 = 25
$$

結論:
行列式が 25 (0 でない) であるため、この行列は正則である。

逆行列の計算:
4x4行列の逆行列を余因子行列で求めるのは計算量が膨大になるため、ここでは掃き出し法を用いるのが一般的です。
単位行列 \(I\) と行列 \(C\) を並べた拡大行列 \([C | I]\) を作り、行基本変形によって左側を単位行列に変形します。その結果、右側が \(C^{-1}\) となります。

\[ [C | I] = \left( \begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \]

ステップ1: 4行目から1行目の4倍を引きます (\(R_4 \leftarrow R_4 - 4R_1\))。
$$
\left( \begin{array}{cccc|cccc}
1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \
0 & -8 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1
\end{array} \right)
$$

ステップ2: 4行目に2行目の8倍を加えます (\(R_4 \leftarrow R_4 + 8R_2\))。
$$
\left( \begin{array}{cccc|cccc}
1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & -8 & 1 & -4 & 8 & 0 & 1
\end{array} \right)
$$

ステップ3: 4行目に3行目の8倍を加えます (\(R_4 \leftarrow R_4 + 8R_3\))。
$$
\left( \begin{array}{cccc|cccc}
1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 25 & -4 & 8 & 8 & 1
\end{array} \right)
$$

ステップ4: 4行目を25で割ります (\(R_4 \leftarrow \frac{1}{25}R_4\))。
$$
\left( \begin{array}{cccc|cccc}
1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{4}{25} & \frac{8}{25} & \frac{8}{25} & \frac{1}{25}
\end{array} \right)
$$

ステップ5: 3行目から4行目の3倍を引きます (\(R_3 \leftarrow R_3 - 3R_4\))。
$$
\left( \begin{array}{cccc|cccc}
1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & \frac{12}{25} & -\frac{24}{25} & 1 - \frac{24}{25} & -\frac{3}{25} \
0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{4}{25} & \frac{8}{25} & \frac{8}{25} & \frac{1}{25}
\end{array} \right)
$$
$$
\left( \begin{array}{cccc|cccc}
1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & \frac{12}{25} & -\frac{24}{25} & \frac{1}{25} & -\frac{3}{25} \
0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{4}{25} & \frac{8}{25} & \frac{8}{25} & \frac{1}{25}
\end{array} \right)
$$

ステップ6: 2行目に3行を加えます (\(R_2 \leftarrow R_2 + R_3\))。
$$
\left( \begin{array}{cccc|cccc}
1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 & \frac{12}{25} & 1 - \frac{24}{25} & \frac{1}{25} & -\frac{3}{25} \
0 & 0 & 1 & 0 & \frac{12}{25} & -\frac{24}{25} & \frac{1}{25} & -\frac{3}{25} \
0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{4}{25} & \frac{8}{25} & \frac{8}{25} & \frac{1}{25}
\end{array} \right)
$$
$$
\left( \begin{array}{cccc|cccc}
1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 & \frac{12}{25} & \frac{1}{25} & \frac{1}{25} & -\frac{3}{25} \
0 & 0 & 1 & 0 & \frac{12}{25} & -\frac{24}{25} & \frac{1}{25} & -\frac{3}{25} \
0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{4}{25} & \frac{8}{25} & \frac{8}{25} & \frac{1}{25}
\end{array} \right)
$$

ステップ7: 1行目から2行目の2倍を引きます (\(R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2\))。
$$
\left( \begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 - 2 \cdot \frac{12}{25} & 0 - 2 \cdot \frac{1}{25} & 0 - 2 \cdot \frac{1}{25} & 0 - 2 \cdot (-\frac{3}{25}) \
0 & 1 & 0 & 0 & \frac{12}{25} & \frac{1}{25} & \frac{1}{25} & -\frac{3}{25} \
0 & 0 & 1 & 0 & \frac{12}{25} & -\frac{24}{25} & \frac{1}{25} & -\frac{3}{25} \
0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{4}{25} & \frac{8}{25} & \frac{8}{25} & \frac{1}{25}
\end{array} \right)
$$
$$
\left( \begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 - \frac{24}{25} & -\frac{2}{25} & -\frac{2}{25} & \frac{6}{25} \
0 & 1 & 0 & 0 & \frac{12}{25} & \frac{1}{25} & \frac{1}{25} & -\frac{3}{25} \
0 & 0 & 1 & 0 & \frac{12}{25} & -\frac{24}{25} & \frac{1}{25} & -\frac{3}{25} \
0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{4}{25} & \frac{8}{25} & \frac{8}{25} & \frac{1}{25}
\end{array} \right)
$$
$$
\left( \begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{25} & -\frac{2}{25} & -\frac{2}{25} & \frac{6}{25} \
0 & 1 & 0 & 0 & \frac{12}{25} & \frac{1}{25} & \frac{1}{25} & -\frac{3}{25} \
0 & 0 & 1 & 0 & \frac{12}{25} & -\frac{24}{25} & \frac{1}{25} & -\frac{3}{25} \
0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{4}{25} & \frac{8}{25} & \frac{8}{25} & \frac{1}{25}
\end{array} \right)
$$

最終的な答え:
$$
C^{-1} = \frac{1}{25} \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 & 6 \ 12 & 1 & 1 & -3 \ 12 & -24 & 1 & -3 \ -4 & 8 & 8 & 1 \end{pmatrix}
$$

1 掃き出し法の詳細 1 拡大行列とは 1 行基本変形のルール
続きのオプション：
1 すべての問題を解く 1 行列の逆行列について学ぶ 1 演習問題を作成する
正則でない行列がどのような性質を持つのか、具体例を挙げて説明してください。

正則でない行列、すなわち正則行列でない行列（あるいは特異行列とも呼ばれます）は、いくつかの重要な性質を持っています。これらの性質は、連立一次方程式の解の存在や一意性、線形写像としての性質など、線形代数の様々な側面に関連しています。

正則でない行列の主な性質

  1. 行列式が 0 である。
    これは正則でない行列の定義そのものです。前述の問題(1)の例のように、行列式が 0 になるということは、その行列が「潰れている」ような状態であり、情報を失っていることを示唆します。

  2. 階数（ランク）が行列のサイズよりも小さい。
    例えば、\(n \times n\) の正方行列 \(A\) が正則でない場合、その階数 (rank) は \(n\) より小さくなります (\(\text{rank}(A) < n\))。階数とは、行列の線形独立な行ベクトル（または列ベクトル）の最大数です。階数が小さいということは、行ベクトル（または列ベクトル）の間に線形従属な関係があることを意味します。

  3. 線形独立な列ベクトル（または行ベクトル）の組を持たない。
    \(n \times n\) の行列 \(A\) が正則であることと、その \(n\) 個の列ベクトル（または行ベクトル）が線形独立であることは同値です。したがって、正則でない行列は、線形独立な列ベクトル（または行ベクトル）の組を持ちません。つまり、ある列ベクトル（または行ベクトル）は、他の列ベクトル（または行ベクトル）の線形結合で表すことができます。

  4. 連立一次方程式 \(Ax=b\) の解について:

    • 解を持たないか、または 無数の解を持つ。
      \(n \times n\) の正則行列 \(A\) に対しては、\(Ax=b\) は常にただ一つの解 \(x = A^{-1}b\) を持ちます。しかし、\(A\) が正則でない場合、行列 \(A\) は単射（1対1）の線形写像を表さないため、解が存在しても一意になりません。
      • 解なし: \(b\) が \(A\) の列空間（列ベクトルが生成する空間）に含まれない場合。
      • 無数の解: \(b\) が \(A\) の列空間に含まれる場合。この場合、一つの解 \(x_p\) が見つかれば、斉次方程式 \(Ax=0\) の解 \(x_h\) を加えて \(A(x_p + x_h) = Ax_p + Ax_h = b + 0 = b\) となり、無数の解が得られます。

  5. 斉次方程式 \(Ax=0\) が自明な解（\(x=0\)）以外の解を持つ。
    \(A\) が正則であれば、\(Ax=0\) の解は \(x=0\) のみです。しかし、\(A\) が正則でない場合、\(Ax=0\) は非自明な解（\(x \neq 0\)）を持ちます。これは、前述の「線形独立な列ベクトルを持たない」という性質の直接的な帰結です。

  6. 逆行列が存在しない。
    これが「正則でない」という言葉の直接的な意味です。

具体例

問題(1)で扱った行列を例にしましょう。
$$
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \ 3 & 1 & 4 \ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}
$$
この行列の行列式は 0 でした。

  • 階数: この行列の階数を計算してみましょう。1行目と3行目を見ると、\(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}\) と \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\) は線形独立ですが、3行目を \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}\) に変換することはできません。行基本変形を試すと、階数は 2 であることがわかります。これは行列のサイズ 3 より小さいので、正則でないことが裏付けられます。

  • 線形従属: 列ベクトルを見てみましょう。
    \(v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\), \(v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\), \(v_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\)
    これらのベクトルが線形独立でないことを示します。例えば、\(v_3\) が \(v_1, v_2\) の線形結合で表せるか試してみます。
    \(c_1 v_1 + c_2 v_2 = v_3\)
    \(c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\)
    $$
    \begin{cases} c_1 = 2 \ 3c_1 + c_2 = 4 \ c_1 + c_2 = 0 \end{cases}
    $$
    最初の式から \(c_1=2\) です。これを3番目の式に代入すると \(2 + c_2 = 0 \implies c_2 = -2\) となります。
    この \(c_1=2, c_2=-2\) を2番目の式に代入すると、\(3(2) + (-2) = 6 - 2 = 4\) となり、成り立ちます。
    したがって、\(2 v_1 - 2 v_2 = v_3\) という線形従属な関係があります。これは、この行列が正則でないことを示しています。

  • 連立一次方程式:
    この行列 \(A\) を係数行列とする連立一次方程式 \(Ax=b\) を考えます。
    $$
    \begin{cases} x_1 + 2x_3 = b_1 \ 3x_1 + x_2 + 4x_3 = b_2 \ x_1 + x_2 = b_3 \end{cases}
    $$
    もし \(b = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)（斉次方程式）なら、\(Ax=0\) となります。上記の関係式 \(2v_1 - 2v_2 = v_3\) から、\(2x_1 - 2x_2 = x_3\) という解の構造が示唆されます。例えば、\(x_1=2, x_2=2, x_3=2\) とすると、
    \(2 \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix}\)
    あれ？これは \(v_3\) を使った線形結合でした。斉次方程式 \(Ax=0\) の解を求めるには、
    \(x_1 v_1 + x_2 v_2 + x_3 v_3 = 0\)
    を解きます。
    $$
    \begin{cases} x_1 + 2x_3 = 0 \ 3x_1 + x_2 + 4x_3 = 0 \ x_1 + x_2 = 0 \end{cases}
    $$
    3番目の式から \(x_2 = -x_1\) です。1番目の式から \(x_1 = -2x_3\) です。
    これを2番目の式に代入すると、\(3(-2x_3) + (-(-2x_3)) + 4x_3 = -6x_3 + 2x_3 + 4x_3 = 0\) となり、これは恒等式です。
    したがって、\(x_1 = -2x_3\), \(x_2 = -x_1 = 2x_3\) という関係が成り立ちます。
    \(x_3\) を任意の値（例えば \(x_3=1\)）とすると、非自明な解 \(x = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) が得られます。
    つまり、\(A \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) が成り立ちます。
    これは、斉次方程式 \(Ax=0\) が \(x=0\) 以外の解を持つことを示しています。

これらの性質から、正則でない行列は、線形代数における多くの基本的な操作や定理の適用が制限される、特殊なケースであると言えます。

1 行列の階数とは 1 線形独立と線形従属 1 連立一次方程式の解の個数
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