二次関数のグラフと座標の問題：解き方と解説

Name: Homiwork
Author: Homiwork

写ってる星9、10、11全部解き方付きでお願いします。

はい、承知いたしました。星9、10、11の3つの問題について、解き方とともに解説します。

Задание 9

問題: 放物線 \(y=x^2-3x+4\) を平行移動したもので、点 \((2, 4)\) を通り、頂点が直線 \(y=2x+1\) 上にある放物線の方程式を求めよ。

解き方:

放物線の平行移動:
放物線 \(y=x^2-3x+4\) を \(x\) 軸方向に \(p\) 、 \(y\) 軸方向に \(q\) だけ平行移動すると、新しい放物線の方程式は \(y-q = (x-p)^2 - 3(x-p) + 4\) となります。
頂点の座標:
元の放物線 \(y=x^2-3x+4\) の頂点を求めます。平方完成を行うと、\(y = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 4 = (x - \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}\) となります。したがって、元の頂点は \((\frac{3}{2}, \frac{7}{4})\) です。
平行移動後の放物線の頂点は \((\frac{3}{2}+p, \frac{7}{4}+q)\) となります。
頂点が直線 \(y=2x+1\) 上にある条件:
平行移動後の頂点の座標を直線 \(y=2x+1\) に代入します。
\(\frac{7}{4}+q = 2(\frac{3}{2}+p) + 1\)
\(\frac{7}{4}+q = 3+2p + 1\)
\(\frac{7}{4}+q = 4+2p\)
\(q = 4+2p - \frac{7}{4}\)
\(q = \frac{16+8p-7}{4}\)
\(q = \frac{8p+9}{4}\) --- (1)
点 \((2, 4)\) を通る条件:
平行移動後の放物線の方程式 \(y-q = (x-p)^2 - 3(x-p) + 4\) に点 \((2, 4)\) を代入します。
\(4-q = (2-p)^2 - 3(2-p) + 4\)
\(4-q = (4-4p+p^2) - (6-3p) + 4\)
\(4-q = 4-4p+p^2 - 6+3p + 4\)
\(4-q = p^2 - p + 2\)
\(q = 4 - (p^2 - p + 2)\)
\(q = -p^2 + p + 2\) --- (2)
連立方程式を解く:
式(1)と式(2)を連立させて \(p\) と \(q\) を求めます。
\(\frac{8p+9}{4} = -p^2 + p + 2\)
\(8p+9 = 4(-p^2 + p + 2)\)
\(8p+9 = -4p^2 + 4p + 8\)
\(4p^2 + 8p - 4p + 9 - 8 = 0\)
\(4p^2 + 4p + 1 = 0\)
\((2p+1)^2 = 0\)
\(p = -\frac{1}{2}\)

求めた \(p\) の値を式(2)に代入して \(q\) を求めます。
\(q = -(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) + 2\)
\(q = -\frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 2\)
\(q = -\frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{8}{4}\)
\(q = \frac{5}{4}\)
放物線の方程式を求める:
求めた \(p = -\frac{1}{2}\) と \(q = \frac{5}{4}\) を平行移動後の放物線の方程式 \(y-q = (x-p)^2 - 3(x-p) + 4\) に代入します。
\(y - \frac{5}{4} = (x - (-\frac{1}{2}))^2 - 3(x - (-\frac{1}{2})) + 4\)
\(y - \frac{5}{4} = (x + \frac{1}{2})^2 - 3(x + \frac{1}{2}) + 4\)
\(y - \frac{5}{4} = (x^2 + x + \frac{1}{4}) - (3x + \frac{3}{2}) + 4\)
\(y - \frac{5}{4} = x^2 + x + \frac{1}{4} - 3x - \frac{3}{2} + 4\)
\(y = x^2 + (1-3)x + (\frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 4) + \frac{5}{4}\)
\(y = x^2 - 2x + (\frac{1}{4} - \frac{6}{4} + \frac{16}{4}) + \frac{5}{4}\)
\(y = x^2 - 2x + \frac{11}{4} + \frac{5}{4}\)
\(y = x^2 - 2x + \frac{16}{4}\)
\(y = x^2 - 2x + 4\)

答え: \(y = x^2 - 2x + 4\)

1 頂点の求め方を詳しく 1 平行移動の公式 1 連立方程式の解き方

Задание 10

問題: \(a<0\) とする。関数 \(y=ax^2-2ax+5\) (\(-1 \le x \le 2\)) について、次の問いに答えよ。
(1) \(x\) の2次式 \(ax^2-2ax+5\) を平方完成せよ。
(2) \(y\) の最小値が \(-1\) であるとき、定数 \(a\) の値を求めよ。

解き方:

(1) 平方完成

式変形:
与えられた2次式 \(y=ax^2-2ax+5\) を平方完成します。まず、\(x^2\) の係数 \(a\) でくくり出します。
\(y = a(x^2 - 2x) + 5\)
括弧の中を平方完成:
括弧の中の \(x^2-2x\) を平方完成します。\(x\) の係数 \(-2\) の半分の2乗、つまり \((-1)^2=1\) を足して引きます。
\(y = a(x^2 - 2x + 1 - 1) + 5\)
\(y = a((x-1)^2 - 1) + 5\)
展開:
\(a\) を括弧の中に分配します。
\(y = a(x-1)^2 - a + 5\)

答え (1): \(y = a(x-1)^2 - a + 5\)

(2) 最小値が \(-1\) であるときの \(a\) の値を求める

頂点の座標:
平方完成した式 \(y = a(x-1)^2 - a + 5\) から、この放物線の頂点の座標は \((1, -a+5)\) であることがわかります。
定義域と頂点の位置関係:
問題の定義域は \(-1 \le x \le 2\) です。頂点の \(x\) 座標は \(1\) であり、これは定義域内に含まれています。
下に凸か上に凸か:
問題の条件より \(a<0\) です。したがって、この放物線は上に凸（グラフが上に開いている）です。
最小値の決定:
上に凸の放物線で、頂点の \(x\) 座標が定義域内にある場合、最小値は定義域の両端（\(x=-1\) または \(x=2\)）のどちらかで取ります。
頂点の \(x\) 座標が \(1\) であり、定義域の中央付近にあるため、定義域の両端での \(y\) の値を比較する必要があります。
しかし、上に凸の場合、頂点が最も高い値（最大値）を取ります。最小値は定義域の両端のうち、頂点からより遠い方で取ります。
頂点の \(x\) 座標 \(1\) から定義域の両端までの距離を考えます。
- \(x=-1\) までの距離: \(|1 - (-1)| = |2| = 2\)
- \(x=2\) までの距離: \(|1 - 2| = |-1| = 1\)
  頂点からより遠いのは \(x=-1\) の方です。したがって、最小値は \(x=-1\) のときに取ります。
最小値の計算:
\(x=-1\) を元の式 \(y=ax^2-2ax+5\) に代入して \(y\) の値を求めます。
\(y = a(-1)^2 - 2a(-1) + 5\)
\(y = a + 2a + 5\)
\(y = 3a + 5\)
条件との照合:
この最小値が \(-1\) であるという条件から、次の方程式が成り立ちます。
\(3a + 5 = -1\)
\(3a = -1 - 5\)
\(3a = -6\)
\(a = -2\)
条件の確認:
求めた \(a=-2\) は、\(a<0\) という条件を満たしています。

答え (2): \(a = -2\)

1 上に凸・下に凸のグラフと最小値・最大値 1 平方完成の練習問題 1 定義域内の最小値・最大値の判定方法

Задание 11

問題: \(a\) は自然数とし、2次関数 \(y=x^2+ax+b \cdots\) ① のグラフを考える。
(1) \(b=1\) のとき、① のグラフが \(x\) 軸と接するのは \(a=\) \boxed{ } のときである。
(2) \(b=3\) のとき、① のグラフが \(x\) 軸と異なる2点で交わるような自然数 \(a\) の中で、 \(a < 9\) を満たす \(a\) の個数は \boxed{ } である。

解き方:

二次関数 \(y=Ax^2+Bx+C\) のグラフと \(x\) 軸との関係は、判別式 \(D = B^2-4AC\) によって決まります。

\(D > 0\): \(x\) 軸と異なる2点で交わる。
\(D = 0\): \(x\) 軸と接する（1点で交わる）。
\(D < 0\): \(x\) 軸と交わらない。

この問題では、二次関数は \(y=x^2+ax+b\) なので、\(A=1\), \(B=a\), \(C=b\) となります。
したがって、判別式は \(D = a^2 - 4(1)(b) = a^2 - 4b\) となります。

(1) \(b=1\) のとき、グラフが \(x\) 軸と接する場合

条件: \(x\) 軸と接するということは、判別式 \(D=0\) となることです。
判別式の適用: \(b=1\) を判別式の式に代入します。
\(D = a^2 - 4(1) = a^2 - 4\)
方程式を解く: \(D=0\) となるようにします。
\(a^2 - 4 = 0\)
\(a^2 = 4\)
\(a = \pm 2\)
自然数の条件: 問題文より、\(a\) は自然数であるとされています。自然数は正の整数なので、\(a=2\) が該当します。

答え (1): \(a=2\)

(2) \(b=3\) のとき、グラフが \(x\) 軸と異なる2点で交わるような自然数 \(a\) の中で、\(a < 9\) を満たす \(a\) の個数

条件: \(x\) 軸と異なる2点で交わるということは、判別式 \(D>0\) となることです。
判別式の適用: \(b=3\) を判別式の式に代入します。
\(D = a^2 - 4(3) = a^2 - 12\)
不等式を解く: \(D>0\) となるようにします。
\(a^2 - 12 > 0\)
\(a^2 > 12\)
\(a\) の範囲: この不等式を満たす実数 \(a\) の範囲は、\(a > \sqrt{12}\) または \(a < -\sqrt{12}\) です。
\(\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}\) です。
\(\sqrt{3}\) は約 \(1.732\) なので、\(2\sqrt{3}\) は約 \(3.464\) です。
したがって、\(a > 3.464\) または \(a < -3.464\) となります。
自然数かつ \(a < 9\) の条件:
\(a\) は自然数（正の整数）であり、\(a < 9\) を満たす必要があります。
- \(a > 3.464\) を満たす自然数で、\(a < 9\) であるものを探します。
  これらの条件を満たす自然数は、\(4, 5, 6, 7, 8\) です。
- \(a < -3.464\) を満たす自然数は存在しません。
個数を数える:
条件を満たす自然数 \(a\) は \(4, 5, 6, 7, 8\) の5つです。

答え (2): \(a\) の個数は \(5\) 個である。

1 判別式の詳細解説 1 自然数の定義と範囲 1 不等式の解き方

続きのオプション：

1 他の問題も解く 1 二次関数の基本を復習する 1 類題を解く

これもっと簡単にわかりやすくするとどうなる？

はい、承知いたしました。星9、10、11の問題について、より簡単に、そして分かりやすく解説します。

Задание 9

問題: 放物線 \(y=x^2-3x+4\) を平行移動したもので、点 \((2, 4)\) を通り、頂点が直線 \(y=2x+1\) 上にある放物線の方程式を求めよ。

簡単な解き方:

元の放物線の頂点を求める:
\(y = x^2 - 3x + 4\) を平方完成します。
\(y = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 4 = (x - \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}\)
元の頂点は \((\frac{3}{2}, \frac{7}{4})\) です。
平行移動後の頂点を文字で表す:
元の頂点を \((h, k) = (\frac{3}{2}, \frac{7}{4})\) とします。
平行移動後の頂点を \((h', k')\) とすると、\(h' = h+p = \frac{3}{2}+p\)、\(k' = k+q = \frac{7}{4}+q\) となります。
この頂点 \((h', k')\) が直線 \(y=2x+1\) 上にあるので、\(k' = 2h' + 1\) が成り立ちます。
\(\frac{7}{4}+q = 2(\frac{3}{2}+p) + 1\)
\(\frac{7}{4}+q = 3+2p+1\)
\(\frac{7}{4}+q = 4+2p\)
\(q = 2p + 4 - \frac{7}{4} = 2p + \frac{9}{4}\) --- (1)
平行移動後の放物線の方程式を文字で表す:
平行移動後の放物線は、頂点が \((h', k')\) で、 \(x^2\) の係数が \(1\) なので、
\(y = (x - h')^2 + k'\)
\(y = (x - (\frac{3}{2}+p))^2 + (\frac{7}{4}+q)\)
この放物線が点 \((2, 4)\) を通るので、代入します。
\(4 = (2 - (\frac{3}{2}+p))^2 + (\frac{7}{4}+q)\)
\(4 = (2 - \frac{3}{2} - p)^2 + \frac{7}{4}+q\)
\(4 = (\frac{1}{2} - p)^2 + \frac{7}{4}+q\)
\(4 = \frac{1}{4} - p + p^2 + \frac{7}{4}+q\)
\(4 = p^2 - p + \frac{8}{4} + q\)
\(4 = p^2 - p + 2 + q\)
\(q = -p^2 + p + 2\) --- (2)
\(p\) と \(q\) を求める:
式(1)と式(2)を連立させます。
\(2p + \frac{9}{4} = -p^2 + p + 2\)
両辺に4を掛けて整理します。
\(8p + 9 = -4p^2 + 4p + 8\)
\(4p^2 + 4p + 1 = 0\)
\((2p+1)^2 = 0\)
\(p = -\frac{1}{2}\)
これを式(1)に代入して \(q\) を求めます。
\(q = 2(-\frac{1}{2}) + \frac{9}{4} = -1 + \frac{9}{4} = \frac{5}{4}\)
最終的な放物線の方程式を求める:
平行移動後の頂点の座標は、
\(h' = \frac{3}{2} + p = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
\(k' = \frac{7}{4} + q = \frac{7}{4} + \frac{5}{4} = \frac{12}{4} = 3\)
頂点が \((1, 3)\) で、 \(x^2\) の係数が \(1\) なので、
\(y = (x-1)^2 + 3\)
\(y = x^2 - 2x + 1 + 3\)
\(y = x^2 - 2x + 4\)

答え: \(y = x^2 - 2x + 4\)

1 頂点の座標と平行移動 1 点を通る条件の利用 1 頂点と直線上の点の関係

Задание 10

簡単な解き方:

(1) 平方完成

考え方: 2次関数を \(y = a(x-h)^2 + k\) の形に変形します。ここで \((h, k)\) が頂点の座標になります。
計算:
\(y = ax^2 - 2ax + 5\)
\(x^2\) の係数 \(a\) でくくります。
\(y = a(x^2 - 2x) + 5\)
括弧の中を平方完成します。\(x\) の係数 \(-2\) の半分の2乗、つまり \((-1)^2=1\) を足して引きます。
\(y = a(x^2 - 2x + 1 - 1) + 5\)
\(y = a((x-1)^2 - 1) + 5\)
\(a\) を分配します。
\(y = a(x-1)^2 - a + 5\)

答え (1): \(y = a(x-1)^2 - a + 5\)

(2) 最小値が \(-1\) であるときの \(a\) の値を求める

頂点の座標: 平方完成した式から、頂点は \((1, -a+5)\) です。
グラフの形: \(a<0\) なので、グラフは上に凸（上に開いている）です。
定義域と頂点の位置: 定義域は \(-1 \le x \le 2\) です。頂点の \(x\) 座標は \(1\) で、これは定義域内にあります。
最小値の場所: 上に凸のグラフで、頂点が定義域内にある場合、最小値は定義域の両端のどちらかで取ります。頂点は最大値を与える点です。
頂点の \(x\) 座標 \(1\) から定義域の両端までの距離を比べます。
- \(x=-1\) までの距離: \(|1 - (-1)| = 2\)
- \(x=2\) までの距離: \(|1 - 2| = 1\)
  頂点から遠いほど、グラフの値は小さくなります。したがって、最小値は \(x=-1\) のときに取ります。
最小値の計算: \(x=-1\) を元の式 \(y=ax^2-2ax+5\) に代入します。
\(y = a(-1)^2 - 2a(-1) + 5\)
\(y = a + 2a + 5\)
\(y = 3a + 5\)
条件との照合: この最小値が \(-1\) なので、
\(3a + 5 = -1\)
\(3a = -6\)
\(a = -2\)
条件の確認: \(a=-2\) は \(a<0\) を満たします。

答え (2): \(a = -2\)

1 上に凸のグラフと最小値・最大値 1 平方完成の練習問題 1 定義域内の最小値・最大値の判定方法

Задание 11

簡単な解き方:

二次関数のグラフと \(x\) 軸との関係は、判別式を使います。
二次関数 \(y=Ax^2+Bx+C\) の判別式は \(D = B^2-4AC\) です。
* \(D > 0\): \(x\) 軸と異なる2点で交わる。
* \(D = 0\): \(x\) 軸と接する（1点で交わる）。
* \(D < 0\): \(x\) 軸と交わらない。

この問題では、\(y=x^2+ax+b\) なので、\(A=1\), \(B=a\), \(C=b\) です。
判別式は \(D = a^2 - 4(1)(b) = a^2 - 4b\) となります。

(1) \(b=1\) のとき、グラフが \(x\) 軸と接する場合

条件: \(x\) 軸と接する \(\implies D=0\)
判別式に代入: \(b=1\) を \(D = a^2 - 4b\) に代入します。
\(D = a^2 - 4(1) = a^2 - 4\)
方程式を解く: \(D=0\) となるようにします。
\(a^2 - 4 = 0\)
\(a^2 = 4\)
\(a = \pm 2\)
自然数の条件: \(a\) は自然数（正の整数）なので、\(a=2\) です。

答え (1): \(a=2\)

(2) \(b=3\) のとき、グラフが \(x\) 軸と異なる2点で交わるような自然数 \(a\) の中で、\(a < 9\) を満たす \(a\) の個数

条件: \(x\) 軸と異なる2点で交わる \(\implies D>0\)
判別式に代入: \(b=3\) を \(D = a^2 - 4b\) に代入します。
\(D = a^2 - 4(3) = a^2 - 12\)
不等式を解く: \(D>0\) となるようにします。
\(a^2 - 12 > 0\)
\(a^2 > 12\)
\(a\) の範囲: \(a\) は実数として考えると、\(a > \sqrt{12}\) または \(a < -\sqrt{12}\) です。
\(\sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3.46\) なので、\(a > 3.46\) または \(a < -3.46\) です。
自然数かつ \(a < 9\) の条件:
\(a\) は自然数なので、\(a\) は正の整数です。
また、\(a < 9\) という条件もあります。
\(a > 3.46\) を満たす自然数で、\(a < 9\) であるものを探します。
これらの条件を満たす自然数は、\(4, 5, 6, 7, 8\) です。
個数を数える:
条件を満たす自然数 \(a\) は \(5\) 個あります。

答え (2): \(a\) の個数は \(5\) 個である。

1 判別式の詳細解説 1 自然数の定義と範囲 1 不等式の解き方

続きのオプション：

1 他の問題も解く 1 二次関数の基本を復習する 1 類題を解く

もっと短く！高一でもわかるように

はい、承知いたしました。星9、10、11の問題について、高校1年生にも分かるように、さらに短く、要点を絞って解説します。

Задание 9

問題: 放物線 \(y=x^2-3x+4\) を平行移動したもので、点 \((2, 4)\) を通り、頂点が直線 \(y=2x+1\) 上にある放物線の方程式を求めよ。

ポイント:
* 放物線の頂点の形は \(y = (x-h)^2 + k\) で、頂点は \((h, k)\) です。
* 平行移動しても \(x^2\) の係数は変わりません（この問題では \(1\)）。
* 頂点が直線 \(y=2x+1\) 上にある \(\implies\) 頂点の座標を直線の方程式に代入できます。
* 放物線が点 \((2, 4)\) を通る \(\implies\) 点 \((2, 4)\) を放物線の方程式に代入できます。

解き方:

元の放物線の頂点: \(y = x^2 - 3x + 4 = (x - \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}\)。頂点は \((\frac{3}{2}, \frac{7}{4})\)。
平行移動後の頂点: 元の頂点を \((h, k) = (\frac{3}{2}, \frac{7}{4})\) とし、平行移動後の頂点を \((h', k')\) とします。
\(h' = \frac{3}{2} + p\), \(k' = \frac{7}{4} + q\) となります。
頂点が直線 \(y=2x+1\) 上にある条件:
\(k' = 2h' + 1\)
\(\frac{7}{4} + q = 2(\frac{3}{2} + p) + 1\)
これを整理すると、\(q = 2p + \frac{9}{4}\) --- (1)
点 \((2, 4)\) を通る条件:
平行移動後の放物線の方程式は \(y = (x-h')^2 + k'\) です。
\(4 = (2 - h')^2 + k'\)
\(4 = (2 - (\frac{3}{2}+p))^2 + (\frac{7}{4}+q)\)
これを整理すると、\(q = -p^2 + p + 2\) --- (2)
\(p, q\) を求める: (1)と(2)を連立して解くと、\(p = -\frac{1}{2}\), \(q = \frac{5}{4}\)。
最終的な頂点と方程式:
平行移動後の頂点は \((h', k') = (\frac{3}{2}-\frac{1}{2}, \frac{7}{4}+\frac{5}{4}) = (1, 3)\)。
よって、方程式は \(y = (x-1)^2 + 3 = x^2 - 2x + 1 + 3 = x^2 - 2x + 4\)。

答え: \(y = x^2 - 2x + 4\)

1 平行移動の基本 1 頂点の座標を求める方法 1 連立方程式の解き方

Задание 10

ポイント:
* 平方完成: \(y = a(x-h)^2 + k\) の形にする。
* \(a<0\) はグラフが上に凸（上に開いている）であることを意味します。
* 定義域内で最小値・最大値を取る場所は、頂点の位置と定義域の関係で決まります。

解き方:

(1) 平方完成
\(y = ax^2 - 2ax + 5\)
\(y = a(x^2 - 2x) + 5\)
\(y = a((x-1)^2 - 1) + 5\)
\(y = a(x-1)^2 - a + 5\)

答え (1): \(y = a(x-1)^2 - a + 5\)

(2) 最小値が \(-1\) であるときの \(a\) の値

頂点: \((1, -a+5)\)
グラフ: 上に凸 (\(a<0\))
定義域: \(-1 \le x \le 2\)
最小値: 頂点の \(x\) 座標 \(1\) は定義域内です。上に凸なので、頂点は最大値を与えます。最小値は定義域の両端のうち、頂点から遠い方で取ります。
- \(x=-1\) までの距離: \(|1 - (-1)| = 2\)
- \(x=2\) までの距離: \(|1 - 2| = 1\)
  \(x=-1\) の方が遠いので、最小値は \(x=-1\) のときに取ります。
最小値の計算: \(x=-1\) を代入すると、\(y = a(-1)^2 - 2a(-1) + 5 = a + 2a + 5 = 3a + 5\)。
条件: \(3a + 5 = -1\)
\(3a = -6\)
\(a = -2\)
確認: \(a=-2\) は \(a<0\) を満たします。

答え (2): \(a = -2\)

1 上に凸グラフの最小値・最大値 1 平方完成のコツ 1 定義域と頂点の関係

Задание 11

問題: \(a\) は自然数とし、2次関数 \(y=x^2+ax+b\) のグラフを考える。
(1) \(b=1\) のとき、グラフが \(x\) 軸と接するのは \(a=\) \boxed{ } のときである。
(2) \(b=3\) のとき、グラフが \(x\) 軸と異なる2点で交わるような自然数 \(a\) の中で、\(a < 9\) を満たす \(a\) の個数は \boxed{ } である。

ポイント:
* 二次関数のグラフと \(x\) 軸との関係は判別式 \(D = B^2 - 4AC\) で決まります。
* \(D=0\): 接する (1点)
* \(D>0\): 異なる2点で交わる
* \(D<0\): 交わらない
* この問題では \(A=1, B=a, C=b\) です。
* 自然数とは \(1, 2, 3, \dots\) の正の整数のことです。

解き方:

判別式は \(D = a^2 - 4(1)(b) = a^2 - 4b\) です。

(1) \(b=1\) のとき、グラフが \(x\) 軸と接する場合

条件: \(D=0\)
計算: \(a^2 - 4(1) = 0 \implies a^2 = 4\)
解: \(a = \pm 2\)
自然数: \(a\) は自然数なので、\(a=2\)。

答え (1): \(a=2\)

(2) \(b=3\) のとき、グラフが \(x\) 軸と異なる2点で交わるような自然数 \(a\) の中で、\(a < 9\) を満たす \(a\) の個数

条件: \(D>0\)
計算: \(a^2 - 4(3) > 0 \implies a^2 - 12 > 0 \implies a^2 > 12\)
\(a\) の範囲: \(a > \sqrt{12}\) または \(a < -\sqrt{12}\)。
\(\sqrt{12} \approx 3.46\) なので、\(a > 3.46\) または \(a < -3.46\)。
自然数かつ \(a < 9\):
\(a\) は自然数なので、\(a > 3.46\) を満たす正の整数です。
さらに \(a < 9\) という条件もあります。
条件を満たす自然数は \(4, 5, 6, 7, 8\) です。
個数: \(5\) 個あります。