立体図形の体積と表面積の計算問題

はい、承知いたしました。右側の問題から順番に解いていきましょう。

Задание 1 (2)

Условие: Найдите высоту конуса, если его объём равен объёму шара радиусом 3 см, а радиус основания конуса равен 4 см.

Решение:

1. Формула объёма шара: \(V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3\), где \(r\) - радиус шара.
2. Формула объёма конуса: \(V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi R^2 h\), где \(R\) - радиус основания конуса, \(h\) - высота конуса.
3. Вычислим объём шара: \(V_{шара} = \frac{4}{3}\pi (3^3) = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi\).
4. Приравняем объёмы шара и конуса: \(36\pi = \frac{1}{3}\pi (4^2) h\).
5. Решим уравнение относительно \(h\): \(36\pi = \frac{16}{3}\pi h \Rightarrow h = \frac{36 \cdot 3}{16} = \frac{108}{16} = \frac{27}{4} = 6.75\).

Ответ: Высота конуса равна 6.75 см.

Задание 2 (2)

Условие: Найдите, во сколько раз площадь поверхности шара радиусом 6 см меньше площади поверхности цилиндра, в который этот шар вписан.

Решение:

1. Формула площади поверхности шара: \(S_{шара} = 4\pi r^2\), где \(r\) - радиус шара.
2. Формула площади поверхности цилиндра: \(S_{цилиндра} = 2\pi R h + 2\pi R^2\), где \(R\) - радиус основания цилиндра, \(h\) - высота цилиндра.

В данном случае радиус шара равен радиусу основания цилиндра: \(r = R = 6\) см. Высота цилиндра равна диаметру шара: \(h = 2r = 12\) см.

1. Вычислим площадь поверхности шара: \(S_{шара} = 4\pi (6^2) = 4\pi \cdot 36 = 144\pi\).
2. Вычислим площадь поверхности цилиндра: \(S_{цилиндра} = 2\pi (6)(12) + 2\pi (6^2) = 144\pi + 72\pi = 216\pi\).
3. Найдем отношение площади поверхности шара к площади поверхности цилиндра: \(\frac{S_{шара}}{S_{цилиндра}} = \frac{144\pi}{216\pi} = \frac{144}{216} = \frac{2}{3}\).

Ответ: Площадь поверхности шара составляет \(\frac{2}{3}\) от площади поверхности цилиндра.