Анализ и решение задач по функциям: нахождение параметров, точек минимума и связи между функциями

משימה 2

נתונה הפונקציה \(f(x) = k\sqrt{x} + \sqrt{m-x}\).

א. מצא את ערכי הפרמטרים m ו- k.

נתון שהישר \(y=2\) משיק לפונקציה בנקודה שבה \(x=1\).

כדי שהישר יהיה משיק לפונקציה בנקודה מסוימת, צריך להתקיים שני תנאים:
1. הנקודה נמצאת על הפונקציה, כלומר ערך ה-y של הפונקציה בנקודה זו שווה לערך ה-y של הישר.
2. שיפוע הפונקציה בנקודה זו שווה לשיפוע הישר.

שלב 1: מציאת m

נציב את הנקודה \((1, 2)\) בפונקציה \(f(x)\):
\(f(1) = k\sqrt{1} + \sqrt{m-1}\)
\(2 = k + \sqrt{m-1}\)

כעת נחשב את הנגזרת של הפונקציה \(f(x)\):
\(f'(x) = \frac{d}{dx} (k\sqrt{x} + \sqrt{m-x})\)
\(f'(x) = k \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{m-x}} \cdot (-1)\)
\(f'(x) = \frac{k}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{m-x}}\)

שיפוע הישר \(y=2\) הוא 0 (זהו ישר אופקי). לכן, שיפוע הפונקציה בנקודת ההשקה צריך להיות 0:
\(f'(1) = 0\)
\(\frac{k}{2\sqrt{1}} - \frac{1}{2\sqrt{m-1}} = 0\)
\(\frac{k}{2} - \frac{1}{2\sqrt{m-1}} = 0\)
\(\frac{k}{2} = \frac{1}{2\sqrt{m-1}}\)
\(k = \frac{1}{\sqrt{m-1}}\)
\(k\sqrt{m-1} = 1\)

כעת יש לנו שתי משוואות עם שני נעלמים (k ו-m):
1. \(2 = k + \sqrt{m-1}\)
2. \(k\sqrt{m-1} = 1\)

ממשוואה 2, נבודד את \(\sqrt{m-1}\):
\(\sqrt{m-1} = \frac{1}{k}\)

נציב זאת במשוואה 1:
\(2 = k + \frac{1}{k}\)

נכפיל את כל המשוואה ב-k (בהנחה ש- \(k \neq 0\), אחרת הפונקציה לא תהיה מוגדרת כראוי):
\(2k = k^2 + 1\)
\(k^2 - 2k + 1 = 0\)
\((k-1)^2 = 0\)
\(k = 1\)

כעת, נציב \(k=1\) במשוואה \(\sqrt{m-1} = \frac{1}{k}\):
\(\sqrt{m-1} = \frac{1}{1}\)
\(\sqrt{m-1} = 1\)

נעלה בריבוע את שני האגפים:
\(m-1 = 1^2\)
\(m-1 = 1\)
\(m = 2\)

לכן, ערכי הפרמטרים הם \(k=1\) ו- \(m=2\).

ב. מהו המרחק בין נקודות המינימום המוחלט?

לאחר שמצאנו את \(k=1\) ואת \(m=2\), הפונקציה היא:
\(f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{2-x}\)

תחום ההגדרה של הפונקציה הוא \(x \ge 0\) וגם \(2-x \ge 0\), כלומר \(0 \le x \le 2\).

כדי למצוא את נקודות הקיצון, נשתמש בנגזרת שמצאנו, עם \(k=1\):
\(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{2-x}}\)

נשווה את הנגזרת ל-0 כדי למצוא נקודות קריטיות:
\(\frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{2-x}} = 0\)
\(\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{2-x}}\)
\(\sqrt{x} = \sqrt{2-x}\)

נעלה בריבוע את שני האגפים:
\(x = 2-x\)
\(2x = 2\)
\(x = 1\)

זוהי נקודה קריטית. כעת נבדוק אם זו נקודת מינימום או מקסימום. ניתן לבדוק את סימן הנגזרת משני צידי הנקודה \(x=1\) בתחום ההגדרה \([0, 2]\).

• עבור \(x < 1\) (למשל \(x=0.5\)):
  \(f'(0.5) = \frac{1}{2\sqrt{0.5}} - \frac{1}{2\sqrt{2-0.5}} = \frac{1}{2\sqrt{0.5}} - \frac{1}{2\sqrt{1.5}}\)
  מכיוון ש- \(\sqrt{0.5} < \sqrt{1.5}\), אז \(\frac{1}{\sqrt{0.5}} > \frac{1}{\sqrt{1.5}}\), ולכן \(f'(0.5) > 0\). הפונקציה עולה.

• עבור \(x > 1\) (למשל \(x=1.5\)):
  \(f'(1.5) = \frac{1}{2\sqrt{1.5}} - \frac{1}{2\sqrt{2-1.5}} = \frac{1}{2\sqrt{1.5}} - \frac{1}{2\sqrt{0.5}}\)
  מכיוון ש- \(\sqrt{1.5} > \sqrt{0.5}\), אז \(\frac{1}{\sqrt{1.5}} < \frac{1}{\sqrt{0.5}}\), ולכן \(f'(1.5) < 0\). הפונקציה יורדת.

מכיוון שהפונקציה עולה לפני \(x=1\) ויורדת אחריו, הנקודה \(x=1\) היא נקודת מקסימום מקומי.

כדי למצוא את נקודות המינימום המוחלט, עלינו לבדוק את ערכי הפונקציה בקצוות תחום ההגדרה (\(x=0\) ו- \(x=2\)) ואת ערכי הקיצון המקומיים.

ערך הפונקציה בנקודת המקסימום המקומי (\(x=1\)):
\(f(1) = \sqrt{1} + \sqrt{2-1} = 1 + \sqrt{1} = 1 + 1 = 2\).

ערך הפונקציה בקצה תחום ההגדרה \(x=0\):
\(f(0) = \sqrt{0} + \sqrt{2-0} = 0 + \sqrt{2} = \sqrt{2}\).

ערך הפונקציה בקצה תחום ההגדרה \(x=2\):
\(f(2) = \sqrt{2} + \sqrt{2-2} = \sqrt{2} + \sqrt{0} = \sqrt{2}\).

הערך המינימלי של הפונקציה הוא \(\sqrt{2}\), והוא מתקבל בשתי נקודות: \(x=0\) ו- \(x=2\).
נקודות המינימום המוחלט הן \((0, \sqrt{2})\) ו- \((2, \sqrt{2})\).

המרחק בין שתי נקודות אלו הוא המרחק בין הנקודות \((0, \sqrt{2})\) ו- \((2, \sqrt{2})\). מכיוון שהן נמצאות על אותו גובה (אותו ערך y), המרחק ביניהן הוא ההפרש בערכי ה-x:
מרחק \(= |2 - 0| = 2\).

המרחק בין נקודות המינימום המוחלט הוא 2.

ג. מצא לאילו ערכים של הפרמטרים a ו- b, נקודת קיצון של הפונקציה \(g(x) = x^2 - ax + b\) היא נקודת המינימום המוחלט של הפונקציה \(f(x)\)?

מצאנו שנקודות המינימום המוחלט של \(f(x)\) הן \(x=0\) ו- \(x=2\).
נקודת הקיצון של הפונקציה הריבועית \(g(x) = x^2 - ax + b\) מתקבלת כאשר הנגזרת שלה שווה ל-0.
\(g'(x) = 2x - a\)
\(g'(x) = 0 \implies 2x - a = 0 \implies x = \frac{a}{2}\).

הפונקציה \(g(x)\) היא פרבולה "מחייכת" (המקדם של \(x^2\) הוא חיובי), ולכן נקודת הקיצון שלה היא נקודת מינימום.
השאלה אומרת שנקודת הקיצון של \(g(x)\) (שהיא נקודת מינימום) היא נקודת המינימום המוחלט של \(f(x)\).
מכיוון ש- \(f(x)\) מגיעה למינימום המוחלט בשתי נקודות (\(x=0\) ו- \(x=2\)), לא ייתכן שנקודת קיצון אחת של \(g(x)\) תהיה שווה לשתי נקודות אלו בו-זמנית.

יש כאן אי-התאמה בהבנה או בניסוח השאלה. נפרש את השאלה בצורה הסבירה ביותר:
"נקודת הקיצון של הפונקציה \(g(x)\) היא אחת מנקודות המינימום המוחלט של הפונקציה \(f(x)\)".

מקרה 1: נקודת הקיצון של \(g(x)\) היא ב- \(x=0\).
אם נקודת הקיצון של \(g(x)\) היא ב- \(x=0\), אז:
\(\frac{a}{2} = 0 \implies a = 0\).

ערך הפונקציה \(g(x)\) בנקודת הקיצון הוא \(g(0) = 0^2 - a(0) + b = b\).
ערך המינימום המוחלט של \(f(x)\) ב- \(x=0\) הוא \(\sqrt{2}\).
לכן, עלינו לדרוש ש- \(g(0) = \sqrt{2}\).
\(b = \sqrt{2}\).

במקרה זה, הפרמטרים הם \(a=0\) ו- \(b=\sqrt{2}\).

מקרה 2: נקודת הקיצון של \(g(x)\) היא ב- \(x=2\).
אם נקודת הקיצון של \(g(x)\) היא ב- \(x=2\), אז:
\(\frac{a}{2} = 2 \implies a = 4\).

ערך הפונקציה \(g(x)\) בנקודת הקיצון הוא \(g(2) = 2^2 - a(2) + b = 4 - 2a + b\).
ערך המינימום המוחלט של \(f(x)\) ב- \(x=2\) הוא \(\sqrt{2}\).
לכן, עלינו לדרוש ש- \(g(2) = \sqrt{2}\).
\(4 - 2a + b = \sqrt{2}\)

נציב \(a=4\):
\(4 - 2(4) + b = \sqrt{2}\)
\(4 - 8 + b = \sqrt{2}\)
\(-4 + b = \sqrt{2}\)
\(b = 4 + \sqrt{2}\).

במקרה זה, הפרמטרים הם \(a=4\) ו- \(b=4+\sqrt{2}\).

לסיכום, ישנם שני זוגות אפשריים של ערכים לפרמטרים a ו- b:
* \(a=0, b=\sqrt{2}\)
* \(a=4, b=4+\sqrt{2}\)