Bonjour ! Voici la résolution des exercices.

Exercice n° 1

Pour déterminer si Mathias peut rentrer chez lui avec l'échelle, nous devons comparer la longueur de l'échelle avec la hauteur de la fenêtre et la distance minimale du pied de l'échelle par rapport au mur.

• Hauteur de la fenêtre : 3,50 m
• Longueur de l'échelle : 3,80 m
• Distance minimale du pied de l'échelle par rapport au mur : 1,40 m

L'échelle est plus longue que la hauteur de la fenêtre (3,80 m > 3,50 m). Cependant, il faut aussi considérer l'angle de l'échelle par rapport au mur. Si l'échelle est placée à 1,40 m du mur, elle formera un triangle rectangle avec le mur.

Nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour vérifier si l'échelle peut atteindre la fenêtre en respectant la distance de sécurité :

$a^2 + b^2 = c^2$

où :

• $a$ = distance du pied de l'échelle au mur (1,40 m)
• $b$ = hauteur atteinte par l'échelle sur le mur
• $c$ = longueur de l'échelle (3,80 m)

$1,40^2 + b^2 = 3,80^2$

$1,96 + b^2 = 14,44$

$b^2 = 14,44 - 1,96$

$b^2 = 12,48$

$b = \sqrt{12,48}$

$b \approx 3,53$ m

La hauteur atteinte par l'échelle (environ 3,53 m) est légèrement supérieure à la hauteur de la fenêtre (3,50 m).

Conclusion : Mathias pourra rentrer chez lui sans faire appel au serrurier.

Exercice n° 2

1. Compléter le tableau

Calculons le prix pour chaque tarif en fonction du nombre de chansons téléchargées.

• Tarif L : 1 € par chanson
• Tarif A : 15 € d'abonnement + 0,50 € par chanson
• Tarif P : 60 € d'abonnement, puis chansons gratuites

Calculs :

• Tarif L :
  • 20 chansons : 20 * 1 € = 20 €
  • 50 chansons : 50 * 1 € = 50 €
  • 100 chansons : 100 * 1 € = 100 €
• Tarif A :
  • 20 chansons : 15 € + (20 * 0,50 €) = 15 € + 10 € = 25 €
  • 50 chansons : 15 € + (50 * 0,50 €) = 15 € + 25 € = 40 €
  • 100 chansons : 15 € + (100 * 0,50 €) = 15 € + 50 € = 65 €
• Tarif P :
  • 20 chansons : 60 €
  • 50 chansons : 60 €
  • 100 chansons : 60 €

2. Expression des fonctions

Si $x$ représente le nombre de chansons téléchargées dans le mois, les expressions des fonctions sont :

• $l(x) = 1 \cdot x = x$
• $a(x) = 15 + 0,50 \cdot x$
• $p(x) = 60$

Bien sûr, passons à la question 3 de l'exercice 2.

3. Représentation graphique

Pour représenter graphiquement les trois tarifs, nous allons utiliser les expressions des fonctions que nous avons trouvées :

• $l(x) = x$
• $a(x) = 15 + 0,50 \cdot x$
• $p(x) = 60$

Nous devons tracer ces trois fonctions sur un graphique avec :

• L'axe des abscisses (x) représentant le nombre de chansons (1 cm pour 10 chansons).
• L'axe des ordonnées (y) représentant le prix en euros (1 cm pour 10 €).

Voici comment tracer chaque fonction :

• Tarif L : $l(x) = x$
  • Cette fonction est une droite qui passe par l'origine (0,0) avec une pente de 1. Cela signifie que pour chaque chanson téléchargée, le prix augmente de 1 €.
  • Pour la tracer, vous pouvez utiliser deux points : (0,0) et (10, 10), (20,20), (50,50) etc.
• Tarif A : $a(x) = 15 + 0,50 \cdot x$
  • Cette fonction est une droite avec une ordonnée à l'origine de 15 et une pente de 0,50. Cela signifie que vous payez 15 € d'abonnement, puis 0,50 € par chanson.
  • Pour la tracer, vous pouvez utiliser deux points : (0, 15) et (20, 25), (50, 40), (100,65).
• Tarif P : $p(x) = 60$
  • Cette fonction est une droite horizontale à la hauteur de 60 €. Cela signifie que quel que soit le nombre de chansons téléchargées, le prix reste toujours de 60 €.

Pour créer le graphique, vous pouvez utiliser un papier millimétré ou un logiciel de création de graphiques. Assurez-vous de bien étiqueter les axes et les fonctions.

Conseils pour le graphique :

• Choisissez une échelle appropriée pour que le graphique soit clair et lisible.
• Utilisez des couleurs différentes pour chaque tarif afin de les distinguer facilement.
• Indiquez les points importants, comme les intersections des courbes.

Une fois le graphique tracé, vous pourrez répondre aux questions 4 et 5 en utilisant les informations visuelles.

Voici une représentation graphique des trois tarifs. Notez que ce graphique est une approximation et que vous devrez créer votre propre graphique plus précis en utilisant les échelles spécifiées (1 cm pour 10 chansons sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 10 € sur l'axe des ordonnées).

Prix (€)
^
|
70|---------------------
|        Tarif P (60€)
60|---------------------
|       /
50|      / Tarif A
|     /
40|    /
|   /
30|  /
| /
20|/ Tarif L
|/
10|/
|/
0|--------------------->
0   10  20  30  40  50  60  70  80  90 100
Nombre de chansons

Explications du graphique :

• Axe des abscisses (horizontal) : Nombre de chansons téléchargées.
• Axe des ordonnées (vertical) : Prix total en euros.
• Tarif L (Liberté) : Une ligne droite partant de l'origine, indiquant que le prix augmente de 1 € par chanson.
• Tarif A (Abonné) : Une ligne droite partant de 15 € (l'abonnement initial), avec une pente plus faible que le tarif L, car chaque chanson coûte 0,50 €.
• Tarif P (Premium) : Une ligne horizontale à 60 €, indiquant que le prix est fixe quel que soit le nombre de chansons téléchargées.

Comment utiliser le graphique pour répondre aux questions :

• Question 4 : Déterminer à partir de combien de chansons le tarif Abonné devient plus intéressant que le tarif Liberté.
  • Regardez le point où la ligne du Tarif A croise la ligne du Tarif L. À partir de ce point, le Tarif A est moins cher que le Tarif L.
• Question 5 : Si Mado veut télécharger 117 chansons, quel tarif doit-elle choisir ?
  • Tracez une ligne verticale à partir de 117 chansons sur l'axe des abscisses. Regardez quelle ligne de tarif est la plus basse à ce point. Le tarif correspondant à cette ligne est le plus avantageux pour Mado.

N'oubliez pas de créer votre propre graphique avec les échelles précises pour obtenir des réponses exactes.