Analyse et Résolution d'Exercice sur les Statistiques Descriptives : Tendances Centrales, Dispersion et Représentations Graphiques

Absolument ! Analysons et résolvons cet exercice ensemble.

Exercice 7

Les données ci-dessous représentent le nombre de gousses par plante (variable X) chez une espèce.

1) Dresser le tableau statistique de la distribution de la variable X.

Pour dresser ce tableau, nous devons d'abord identifier les différentes valeurs que prend la variable X (le nombre de gousses par plante) et compter la fréquence de chaque valeur.

• Valeurs de X : 3, 4, 5, 6, 7, 8
• Comptage des occurrences pour chaque valeur :
  • 3 : 8 occurrences
  • 4 : 16 occurrences
  • 5 : 24 occurrences
  • 6 : 16 occurrences
  • 7 : 8 occurrences
  • 8 : 8 occurrences

Total des observations : \(8 + 16 + 24 + 16 + 8 + 8 = 80\)

Voici le tableau statistique :

2) Déterminer les valeurs de tendance centrale de cette distribution.

Les valeurs de tendance centrale les plus couramment utilisées sont la moyenne, la médiane et le mode.

• Moyenne (\(\bar{X}\)) : La moyenne est calculée en multipliant chaque valeur par sa fréquence, en additionnant ces produits, puis en divisant par le nombre total d'observations.
  \(\bar{X} = \frac{\sum (X \cdot f)}{\sum f}\)
  \(\bar{X} = \frac{(3 \times 8) + (4 \times 16) + (5 \times 24) + (6 \times 16) + (7 \times 8) + (8 \times 8)}{80}\)
  \(\bar{X} = \frac{24 + 64 + 120 + 96 + 56 + 64}{80}\)
  \(\bar{X} = \frac{424}{80}\)
  \(\bar{X} = 5.3\)

• Médiane : La médiane est la valeur qui divise la distribution en deux parties égales. Puisque nous avons 80 observations (un nombre pair), la médiane est la moyenne des 40ème et 41ème valeurs lorsque les données sont triées. D'après le tableau des effectifs cumulés, la valeur 5 correspond aux observations de la 25ème à la 48ème place. Donc, la 40ème et la 41ème valeur sont toutes deux 5.
  Médiane = 5

• Mode : Le mode est la valeur qui apparaît le plus fréquemment. Dans notre tableau, la valeur 5 a la fréquence la plus élevée (24).
  Mode = 5

3) Calculer les valeurs de dispersion de cette distribution.

Les valeurs de dispersion couramment utilisées sont l'étendue, la variance et l'écart-type.

• Étendue : C'est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale.
  Étendue = Valeur maximale - Valeur minimale = \(8 - 3 = 5\)

• Variance (\(V(X)\)) : La variance mesure la dispersion des données autour de la moyenne.
  \(V(X) = \frac{\sum (X - \bar{X})^2 \cdot f}{\sum f}\)
  \(V(X) = \frac{(3-5.3)^2 \cdot 8 + (4-5.3)^2 \cdot 16 + (5-5.3)^2 \cdot 24 + (6-5.3)^2 \cdot 16 + (7-5.3)^2 \cdot 8 + (8-5.3)^2 \cdot 8}{80}\)
  \(V(X) = \frac{(-2.3)^2 \cdot 8 + (-1.3)^2 \cdot 16 + (-0.3)^2 \cdot 24 + (0.7)^2 \cdot 16 + (1.7)^2 \cdot 8 + (2.7)^2 \cdot 8}{80}\)
  \(V(X) = \frac{5.29 \cdot 8 + 1.69 \cdot 16 + 0.09 \cdot 24 + 0.49 \cdot 16 + 2.89 \cdot 8 + 7.29 \cdot 8}{80}\)
  \(V(X) = \frac{42.32 + 27.04 + 2.16 + 7.84 + 23.12 + 58.32}{80}\)
  \(V(X) = \frac{160.8}{80}\)
  \(V(X) = 2.01\)

• Écart-type (\(\sigma\)) : L'écart-type est la racine carrée de la variance.
  \(\sigma = \sqrt{V(X)}\)
  \(\sigma = \sqrt{2.01}\)
  \(\sigma \approx 1.418\)

4) Présenter les fréquences et les fréquences cumulées de cette distribution.

Ces informations sont déjà incluses dans le tableau statistique du point 1).

• Fréquences (p) : Représentent la proportion de chaque valeur par rapport au total des observations.
• Fréquences cumulées (P) : Représentent la proportion des observations inférieures ou égales à une certaine valeur.

5) Utiliser pour chacune des formes présentées, les représentations graphiques les plus adéquates.

Pour une variable quantitative discrète comme celle-ci (nombre de gousses), les représentations graphiques les plus adéquates sont :

• Diagramme en bâtons (ou diagramme de fréquences) : Chaque valeur de X est représentée sur l'axe horizontal, et la hauteur des bâtons correspond à la fréquence (ou l'effectif) de cette valeur. C'est idéal pour visualiser la distribution des fréquences pour chaque catégorie.

• Polygone des fréquences : Il est obtenu en reliant les sommets des bâtons d'un diagramme en bâtons. Il permet de visualiser plus facilement la forme de la distribution, surtout lorsqu'on compare plusieurs distributions.

• Courbe cumulative (ou ogive) : Elle est construite à partir des fréquences cumulées (ou effectifs cumulés) et est utile pour visualiser le pourcentage d'observations inférieures à une certaine valeur.

6) Réorganiser ces données en le plus petit nombre possible de classes d'amplitude identique.

Pour ce faire, nous devons d'abord déterminer l'étendue des données : \(8 - 3 = 5\).
Nous devons maintenant choisir un nombre de classes et une amplitude qui soient raisonnables. Une règle courante est la règle de Sturges, mais pour un petit ensemble de données, nous pouvons aussi choisir un nombre de classes qui semble approprié.

Essayons avec 3 classes :
L'amplitude de classe serait approximativement : \(\frac{\text{Étendue}}{\text{Nombre de classes}} = \frac{5}{3} \approx 1.67\).
Pour avoir une amplitude entière, prenons une amplitude de 2.

Si l'amplitude est de 2, calculons le nombre de classes nécessaires :
Nombre de classes = \(\frac{\text{Étendue}}{\text{Amplitude}} = \frac{5}{2} = 2.5\). Nous aurons donc besoin de 3 classes.

Définissons les classes avec une amplitude de 2, en commençant par la valeur minimale (3) :

• Classe 1 : [3, 5) (inclut 3 et 4)

  • Effectif : \(8 (\text{pour } X=3) + 16 (\text{pour } X=4) = 24\)

• Classe 2 : [5, 7) (inclut 5 et 6)

  • Effectif : \(24 (\text{pour } X=5) + 16 (\text{pour } X=6) = 40\)

• Classe 3 : [7, 9) (inclut 7 et 8)

  • Effectif : \(8 (\text{pour } X=7) + 8 (\text{pour } X=8) = 16\)

Total des effectifs : \(24 + 40 + 16 = 80\).

Voici le tableau avec les données regroupées en classes :

7) Utiliser cette nouvelle présentation pour :

a) calculer la moyenne et l'écart type

Pour calculer la moyenne et l'écart type à partir de données regroupées en classes, nous utilisons le centre de chaque classe comme valeur représentative.

• Moyenne (\(\bar{X}_{\text{classes}}\)) :
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = \frac{\sum (\text{Centre de classe} \cdot f)}{\sum f}\)
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = \frac{(4 \times 24) + (6 \times 40) + (8 \times 16)}{80}\)
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = \frac{96 + 240 + 128}{80}\)
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = \frac{464}{80}\)
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = 5.8\)

• Variance (\(V(X)_{\text{classes}}\)) :
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{\sum (\text{Centre de classe} - \bar{X}_{\text{classes}})^2 \cdot f}{\sum f}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{(4-5.8)^2 \cdot 24 + (6-5.8)^2 \cdot 40 + (8-5.8)^2 \cdot 16}{80}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{(-1.8)^2 \cdot 24 + (0.2)^2 \cdot 40 + (2.2)^2 \cdot 16}{80}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{3.24 \cdot 24 + 0.04 \cdot 40 + 4.84 \cdot 16}{80}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{77.76 + 1.6 + 77.44}{80}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{156.8}{80}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = 1.96\)

• Écart-type (\(\sigma_{\text{classes}}\)) :
  \(\sigma_{\text{classes}} = \sqrt{V(X)_{\text{classes}}}\)
  \(\sigma_{\text{classes}} = \sqrt{1.96}\)
  \(\sigma_{\text{classes}} = 1.4\)

Note : Les valeurs calculées à partir des classes sont des approximations des valeurs calculées à partir des données brutes. La moyenne est passée de 5.3 à 5.8 et l'écart-type de 1.418 à 1.4. Ceci est normal lorsque l'on regroupe les données.

b) tracer la représentation graphique la plus appropriée.

Pour des données regroupées en classes, la représentation graphique la plus appropriée est l'histogramme.

Un histogramme est similaire à un diagramme en bâtons, mais les barres sont adjacentes pour représenter la continuité des classes.

• L'axe horizontal représente les classes (par exemple, [3, 5), [5, 7), [7, 9)).
• L'axe vertical représente la fréquence (ou l'effectif).
• La largeur de chaque barre correspond à l'amplitude de la classe.
• La hauteur de chaque barre est proportionnelle à la fréquence (ou l'effectif) de la classe.

Voici comment l'histogramme serait construit :

1. Classes sur l'axe des X : Marquer les limites des classes : 3, 5, 7, 9.
2. Fréquences sur l'axe des Y : La fréquence maximale est 40.
3. Tracer les barres :
   • Pour la classe [3, 5), tracer une barre de hauteur 24, allant de 3 à 5.
   • Pour la classe [5, 7), tracer une barre de hauteur 40, allant de 5 à 7.
   • Pour la classe [7, 9), tracer une barre de hauteur 16, allant de 7 à 9.

Cet histogramme permettra de visualiser la distribution des plantes selon le nombre de gousses dans les classes définies.

Absolument ! Analysons et résolvons cet exercice ensemble.

Exercice 7

Les données ci-dessous représentent le nombre de gousses par plante (variable X) chez une espèce.

1) Dresser le tableau statistique de la distribution de la variable X.

Pour dresser ce tableau, nous devons d'abord identifier les différentes valeurs que prend la variable X (le nombre de gousses par plante) et compter la fréquence de chaque valeur.

• Valeurs de X : 3, 4, 5, 6, 7, 8
• Comptage des occurrences pour chaque valeur :
  • 3 : 8 occurrences
  • 4 : 16 occurrences
  • 5 : 24 occurrences
  • 6 : 16 occurrences
  • 7 : 8 occurrences
  • 8 : 8 occurrences

Total des observations : \(8 + 16 + 24 + 16 + 8 + 8 = 80\)

Voici le tableau statistique :

2) Déterminer les valeurs de tendance centrale de cette distribution.

Les valeurs de tendance centrale les plus couramment utilisées sont la moyenne, la médiane et le mode.

• Moyenne (\(\bar{X}\)) : La moyenne est calculée en multipliant chaque valeur par sa fréquence, en additionnant ces produits, puis en divisant par le nombre total d'observations.
  \(\bar{X} = \frac{\sum (X \cdot f)}{\sum f}\)
  \(\bar{X} = \frac{(3 \times 8) + (4 \times 16) + (5 \times 24) + (6 \times 16) + (7 \times 8) + (8 \times 8)}{80}\)
  \(\bar{X} = \frac{24 + 64 + 120 + 96 + 56 + 64}{80}\)
  \(\bar{X} = \frac{424}{80}\)
  \(\bar{X} = 5.3\)

• Médiane : La médiane est la valeur qui divise la distribution en deux parties égales. Puisque nous avons 80 observations (un nombre pair), la médiane est la moyenne des 40ème et 41ème valeurs lorsque les données sont triées. D'après le tableau des effectifs cumulés, la valeur 5 correspond aux observations de la 25ème à la 48ème place. Donc, la 40ème et la 41ème valeur sont toutes deux 5.
  Médiane = 5

• Mode : Le mode est la valeur qui apparaît le plus fréquemment. Dans notre tableau, la valeur 5 a la fréquence la plus élevée (24).
  Mode = 5

3) Calculer les valeurs de dispersion de cette distribution.

Les valeurs de dispersion couramment utilisées sont l'étendue, la variance et l'écart-type.

• Étendue : C'est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale.
  Étendue = Valeur maximale - Valeur minimale = \(8 - 3 = 5\)

• Variance (\(V(X)\)) : La variance mesure la dispersion des données autour de la moyenne.
  \(V(X) = \frac{\sum (X - \bar{X})^2 \cdot f}{\sum f}\)
  \(V(X) = \frac{(3-5.3)^2 \cdot 8 + (4-5.3)^2 \cdot 16 + (5-5.3)^2 \cdot 24 + (6-5.3)^2 \cdot 16 + (7-5.3)^2 \cdot 8 + (8-5.3)^2 \cdot 8}{80}\)
  \(V(X) = \frac{(-2.3)^2 \cdot 8 + (-1.3)^2 \cdot 16 + (-0.3)^2 \cdot 24 + (0.7)^2 \cdot 16 + (1.7)^2 \cdot 8 + (2.7)^2 \cdot 8}{80}\)
  \(V(X) = \frac{5.29 \cdot 8 + 1.69 \cdot 16 + 0.09 \cdot 24 + 0.49 \cdot 16 + 2.89 \cdot 8 + 7.29 \cdot 8}{80}\)
  \(V(X) = \frac{42.32 + 27.04 + 2.16 + 7.84 + 23.12 + 58.32}{80}\)
  \(V(X) = \frac{160.8}{80}\)
  \(V(X) = 2.01\)

• Écart-type (\(\sigma\)) : L'écart-type est la racine carrée de la variance.
  \(\sigma = \sqrt{V(X)}\)
  \(\sigma = \sqrt{2.01}\)
  \(\sigma \approx 1.418\)

4) Présenter les fréquences et les fréquences cumulées de cette distribution.

Ces informations sont déjà incluses dans le tableau statistique du point 1).

• Fréquences (p) : Représentent la proportion de chaque valeur par rapport au total des observations.
• Fréquences cumulées (P) : Représentent la proportion des observations inférieures ou égales à une certaine valeur.

5) Utiliser pour chacune des formes présentées, les représentations graphiques les plus adéquates.

Pour une variable quantitative discrète comme celle-ci (nombre de gousses), les représentations graphiques les plus adéquates sont :

• Diagramme en bâtons (ou diagramme de fréquences) : Chaque valeur de X est représentée sur l'axe horizontal, et la hauteur des bâtons correspond à la fréquence (ou l'effectif) de cette valeur. C'est idéal pour visualiser la distribution des fréquences pour chaque catégorie.

• Polygone des fréquences : Il est obtenu en reliant les sommets des bâtons d'un diagramme en bâtons. Il permet de visualiser plus facilement la forme de la distribution, surtout lorsqu'on compare plusieurs distributions.

• Courbe cumulative (ou ogive) : Elle est construite à partir des fréquences cumulées (ou effectifs cumulés) et est utile pour visualiser le pourcentage d'observations inférieures à une certaine valeur.

6) Réorganiser ces données en le plus petit nombre possible de classes d'amplitude identique.

Pour ce faire, nous devons d'abord déterminer l'étendue des données : \(8 - 3 = 5\).
Nous devons maintenant choisir un nombre de classes et une amplitude qui soient raisonnables. Une règle courante est la règle de Sturges, mais pour un petit ensemble de données, nous pouvons aussi choisir un nombre de classes qui semble approprié.

Essayons avec 3 classes :
L'amplitude de classe serait approximativement : \(\frac{\text{Étendue}}{\text{Nombre de classes}} = \frac{5}{3} \approx 1.67\).
Pour avoir une amplitude entière, prenons une amplitude de 2.

Si l'amplitude est de 2, calculons le nombre de classes nécessaires :
Nombre de classes = \(\frac{\text{Étendue}}{\text{Amplitude}} = \frac{5}{2} = 2.5\). Nous aurons donc besoin de 3 classes.

Définissons les classes avec une amplitude de 2, en commençant par la valeur minimale (3) :

• Classe 1 : [3, 5) (inclut 3 et 4)

  • Effectif : \(8 (\text{pour } X=3) + 16 (\text{pour } X=4) = 24\)

• Classe 2 : [5, 7) (inclut 5 et 6)

  • Effectif : \(24 (\text{pour } X=5) + 16 (\text{pour } X=6) = 40\)

• Classe 3 : [7, 9) (inclut 7 et 8)

  • Effectif : \(8 (\text{pour } X=7) + 8 (\text{pour } X=8) = 16\)

Total des effectifs : \(24 + 40 + 16 = 80\).

Voici le tableau avec les données regroupées en classes :

7) Utiliser cette nouvelle présentation pour :

a) calculer la moyenne et l'écart type

Pour calculer la moyenne et l'écart type à partir de données regroupées en classes, nous utilisons le centre de chaque classe comme valeur représentative.

• Moyenne (\(\bar{X}_{\text{classes}}\)) :
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = \frac{\sum (\text{Centre de classe} \cdot f)}{\sum f}\)
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = \frac{(4 \times 24) + (6 \times 40) + (8 \times 16)}{80}\)
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = \frac{96 + 240 + 128}{80}\)
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = \frac{464}{80}\)
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = 5.8\)

• Variance (\(V(X)_{\text{classes}}\)) :
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{\sum (\text{Centre de classe} - \bar{X}_{\text{classes}})^2 \cdot f}{\sum f}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{(4-5.8)^2 \cdot 24 + (6-5.8)^2 \cdot 40 + (8-5.8)^2 \cdot 16}{80}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{(-1.8)^2 \cdot 24 + (0.2)^2 \cdot 40 + (2.2)^2 \cdot 16}{80}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{3.24 \cdot 24 + 0.04 \cdot 40 + 4.84 \cdot 16}{80}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{77.76 + 1.6 + 77.44}{80}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{156.8}{80}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = 1.96\)

• Écart-type (\(\sigma_{\text{classes}}\)) :
  \(\sigma_{\text{classes}} = \sqrt{V(X)_{\text{classes}}}\)
  \(\sigma_{\text{classes}} = \sqrt{1.96}\)
  \(\sigma_{\text{classes}} = 1.4\)

Note : Les valeurs calculées à partir des classes sont des approximations des valeurs calculées à partir des données brutes. La moyenne est passée de 5.3 à 5.8 et l'écart-type de 1.418 à 1.4. Ceci est normal lorsque l'on regroupe les données.

b) tracer la représentation graphique la plus appropriée.

Pour des données regroupées en classes, la représentation graphique la plus appropriée est l'histogramme.

Un histogramme est similaire à un diagramme en bâtons, mais les barres sont adjacentes pour représenter la continuité des classes.

• L'axe horizontal représente les classes (par exemple, [3, 5), [5, 7), [7, 9)).
• L'axe vertical représente la fréquence (ou l'effectif).
• La largeur de chaque barre correspond à l'amplitude de la classe.
• La hauteur de chaque barre est proportionnelle à la fréquence (ou l'effectif) de la classe.

Voici comment l'histogramme serait construit :

1. Classes sur l'axe des X : Marquer les limites des classes : 3, 5, 7, 9.
2. Fréquences sur l'axe des Y : La fréquence maximale est 40.
3. Tracer les barres :
   • Pour la classe [3, 5), tracer une barre de hauteur 24, allant de 3 à 5.
   • Pour la classe [5, 7), tracer une barre de hauteur 40, allant de 5 à 7.
   • Pour la classe [7, 9), tracer une barre de hauteur 16, allant de 7 à 9.

Cet histogramme permettra de visualiser la distribution des plantes selon le nombre de gousses dans les classes définies.

Absolument ! Analysons et résolvons cet exercice ensemble.

Exercice 7

Les données ci-dessous représentent le nombre de gousses par plante (variable X) chez une espèce.

1) Dresser le tableau statistique de la distribution de la variable X.

Pour dresser ce tableau, nous devons d'abord identifier les différentes valeurs que prend la variable X (le nombre de gousses par plante) et compter la fréquence de chaque valeur.

• Valeurs de X : 3, 4, 5, 6, 7, 8
• Comptage des occurrences pour chaque valeur :
  • 3 : 10 occurrences
  • 4 : 18 occurrences
  • 5 : 26 occurrences
  • 6 : 16 occurrences
  • 7 : 10 occurrences
  • 8 : 10 occurrences

Total des observations : \(10 + 18 + 26 + 16 + 10 + 10 = 90\)

Voici le tableau statistique :

2) Déterminer les valeurs de tendance centrale de cette distribution.

• Moyenne (\(\bar{X}\)) :
  \(\bar{X} = \frac{\sum (X \cdot f)}{\sum f}\)
  \(\bar{X} = \frac{(3 \times 10) + (4 \times 18) + (5 \times 26) + (6 \times 16) + (7 \times 10) + (8 \times 10)}{90}\)
  \(\bar{X} = \frac{30 + 72 + 130 + 96 + 70 + 80}{90}\)
  \(\bar{X} = \frac{478}{90}\)
  \(\bar{X} \approx 5.31\)

• Médiane : Avec 90 observations, la médiane est la moyenne de la 45ème et 46ème valeur. D'après le tableau des effectifs cumulés, la valeur 5 correspond aux observations de la 29ème à la 54ème place. Donc, la 45ème et la 46ème valeur sont toutes deux 5.
  Médiane = 5

• Mode : La valeur qui apparaît le plus fréquemment est 5 (avec 26 occurrences).
  Mode = 5

3) Calculer les valeurs de dispersion de cette distribution.

• Étendue :
  Étendue = Valeur maximale - Valeur minimale = \(8 - 3 = 5\)

• Variance (\(V(X)\)) :
  \(V(X) = \frac{\sum (X - \bar{X})^2 \cdot f}{\sum f}\)
  \(V(X) = \frac{(3-5.31)^2 \cdot 10 + (4-5.31)^2 \cdot 18 + (5-5.31)^2 \cdot 26 + (6-5.31)^2 \cdot 16 + (7-5.31)^2 \cdot 10 + (8-5.31)^2 \cdot 10}{90}\)
  \(V(X) = \frac{(-2.31)^2 \cdot 10 + (-1.31)^2 \cdot 18 + (-0.31)^2 \cdot 26 + (0.69)^2 \cdot 16 + (1.69)^2 \cdot 10 + (2.69)^2 \cdot 10}{90}\)
  \(V(X) = \frac{5.3361 \cdot 10 + 1.7161 \cdot 18 + 0.0961 \cdot 26 + 0.4761 \cdot 16 + 2.8561 \cdot 10 + 7.2361 \cdot 10}{90}\)
  \(V(X) = \frac{53.361 + 30.890 + 2.500 + 7.618 + 28.561 + 72.361}{90}\)
  \(V(X) = \frac{195.391}{90}\)
  \(V(X) \approx 2.171\)

• Écart-type (\(\sigma\)) :
  \(\sigma = \sqrt{V(X)}\)
  \(\sigma = \sqrt{2.171}\)
  \(\sigma \approx 1.473\)

4) Présenter les fréquences et les fréquences cumulées de cette distribution.

Ces informations sont incluses dans le tableau statistique du point 1).

5) Utiliser pour chacune des formes présentées, les représentations graphiques les plus adéquates.

Pour une variable quantitative discrète :

• Diagramme en bâtons : Idéal pour visualiser les fréquences de chaque valeur discrète.
• Polygone des fréquences : Permet de visualiser la forme de la distribution en reliant les sommets des bâtons.
• Courbe cumulative (ogive) : Utile pour voir la proportion d'observations inférieures à une certaine valeur.

6) Réorganiser ces données en le plus petit nombre possible de classes d'amplitude identique.

L'étendue est de 5 (\(8 - 3\)). Pour avoir un nombre raisonnable de classes (par exemple 3 ou 4), nous pouvons choisir une amplitude de classe de 2.

• Classe 1 : [3, 5) (inclut 3 et 4)

  • Effectif : \(10 (\text{pour } X=3) + 18 (\text{pour } X=4) = 28\)

• Classe 2 : [5, 7) (inclut 5 et 6)

  • Effectif : \(26 (\text{pour } X=5) + 16 (\text{pour } X=6) = 42\)

• Classe 3 : [7, 9) (inclut 7 et 8)

  • Effectif : \(10 (\text{pour } X=7) + 10 (\text{pour } X=8) = 20\)

Total des effectifs : \(28 + 42 + 20 = 90\).

Tableau avec données regroupées :

7) Utiliser cette nouvelle présentation pour :

a) calculer la moyenne et l'écart type

• Moyenne (\(\bar{X}_{\text{classes}}\)) :
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = \frac{(4 \times 28) + (6 \times 42) + (8 \times 20)}{90}\)
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = \frac{112 + 252 + 160}{90}\)
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = \frac{524}{90}\)
  \(\bar{X}_{\text{classes}} \approx 5.82\)

• Variance (\(V(X)_{\text{classes}}\)) :
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{(4-5.82)^2 \cdot 28 + (6-5.82)^2 \cdot 42 + (8-5.82)^2 \cdot 20}{90}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{(-1.82)^2 \cdot 28 + (0.18)^2 \cdot 42 + (2.18)^2 \cdot 20}{90}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{3.3124 \cdot 28 + 0.0324 \cdot 42 + 4.7524 \cdot 20}{90}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{92.7472 + 1.3608 + 95.048}{90}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{189.156}{90}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} \approx 2.102\)

• Écart-type (\(\sigma_{\text{classes}}\)) :
  \(\sigma_{\text{classes}} = \sqrt{2.102}\)
  \(\sigma_{\text{classes}} \approx 1.450\)

b) tracer la représentation graphique la plus appropriée.

Pour des données regroupées en classes, l'histogramme est la représentation graphique la plus appropriée. Les barres adjacentes représenteront les classes [3, 5), [5, 7), et [7, 9) avec des hauteurs correspondant à leurs effectifs respectifs (28, 42, et 20).

Absolument ! Analysons et résolvons cet exercice ensemble.

Exercice 7

Les données ci-dessous représentent le nombre de gousses par plante (variable X) chez une espèce.

1) Dresser le tableau statistique de la distribution de la variable X.

Pour dresser ce tableau, nous devons d'abord identifier les différentes valeurs que prend la variable X (le nombre de gousses par plante) et compter la fréquence de chaque valeur.

• Valeurs de X : 3, 4, 5, 6, 7, 8
• Comptage des occurrences pour chaque valeur :
  • 3 : 10 occurrences
  • 4 : 18 occurrences
  • 5 : 26 occurrences
  • 6 : 16 occurrences
  • 7 : 10 occurrences
  • 8 : 10 occurrences

Total des observations : \(10 + 18 + 26 + 16 + 10 + 10 = 90\)

Voici le tableau statistique :

2) Déterminer les valeurs de tendance centrale de cette distribution.

Les valeurs de tendance centrale les plus couramment utilisées sont la moyenne, la médiane et le mode.

• Moyenne (\(\bar{X}\)) : La moyenne est calculée en multipliant chaque valeur par sa fréquence, en additionnant ces produits, puis en divisant par le nombre total d'observations.
  \(\bar{X} = \frac{\sum (X \cdot f)}{\sum f}\)
  \(\bar{X} = \frac{(3 \times 10) + (4 \times 18) + (5 \times 26) + (6 \times 16) + (7 \times 10) + (8 \times 10)}{90}\)
  \(\bar{X} = \frac{30 + 72 + 130 + 96 + 70 + 80}{90}\)
  \(\bar{X} = \frac{478}{90}\)
  \(\bar{X} \approx 5.31\)

• Médiane : La médiane est la valeur qui divise la distribution en deux parties égales. Puisque nous avons 90 observations (un nombre pair), la médiane est la moyenne de la 45ème et 46ème valeur lorsque les données sont triées. D'après le tableau des effectifs cumulés, la valeur 5 correspond aux observations de la 29ème à la 54ème place. Donc, la 45ème et la 46ème valeur sont toutes deux 5.
  Médiane = 5

• Mode : Le mode est la valeur qui apparaît le plus fréquemment. Dans notre tableau, la valeur 5 a la fréquence la plus élevée (26).
  Mode = 5

3) Calculer les valeurs de dispersion de cette distribution.

Les valeurs de dispersion couramment utilisées sont l'étendue, la variance et l'écart-type.

• Étendue : C'est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale.
  Étendue = Valeur maximale - Valeur minimale = \(8 - 3 = 5\)

• Variance (\(V(X)\)) : La variance mesure la dispersion des données autour de la moyenne.
  \(V(X) = \frac{\sum (X - \bar{X})^2 \cdot f}{\sum f}\)
  \(V(X) = \frac{(3-5.31)^2 \cdot 10 + (4-5.31)^2 \cdot 18 + (5-5.31)^2 \cdot 26 + (6-5.31)^2 \cdot 16 + (7-5.31)^2 \cdot 10 + (8-5.31)^2 \cdot 10}{90}\)
  \(V(X) = \frac{(-2.31)^2 \cdot 10 + (-1.31)^2 \cdot 18 + (-0.31)^2 \cdot 26 + (0.69)^2 \cdot 16 + (1.69)^2 \cdot 10 + (2.69)^2 \cdot 10}{90}\)
  \(V(X) = \frac{5.3361 \cdot 10 + 1.7161 \cdot 18 + 0.0961 \cdot 26 + 0.4761 \cdot 16 + 2.8561 \cdot 10 + 7.2361 \cdot 10}{90}\)
  \(V(X) = \frac{53.361 + 30.890 + 2.500 + 7.618 + 28.561 + 72.361}{90}\)
  \(V(X) = \frac{195.391}{90}\)
  \(V(X) \approx 2.171\)

• Écart-type (\(\sigma\)) : L'écart-type est la racine carrée de la variance.
  \(\sigma = \sqrt{V(X)}\)
  \(\sigma = \sqrt{2.171}\)
  \(\sigma \approx 1.473\)

4) Présenter les fréquences et les fréquences cumulées de cette distribution.

Ces informations sont déjà incluses dans le tableau statistique du point 1).

• Fréquences (p) : Représentent la proportion de chaque valeur par rapport au total des observations.
• Fréquences cumulées (P) : Représentent la proportion des observations inférieures ou égales à une certaine valeur.

5) Utiliser pour chacune des formes présentées, les représentations graphiques les plus adéquates.

Pour une variable quantitative discrète comme celle-ci (nombre de gousses), les représentations graphiques les plus adéquates sont :

• Diagramme en bâtons (ou diagramme de fréquences) : Chaque valeur de X est représentée sur l'axe horizontal, et la hauteur des bâtons correspond à la fréquence (ou l'effectif) de cette valeur. C'est idéal pour visualiser la distribution des fréquences pour chaque catégorie.

• Polygone des fréquences : Il est obtenu en reliant les sommets des bâtons d'un diagramme en bâtons. Il permet de visualiser plus facilement la forme de la distribution, surtout lorsqu'on compare plusieurs distributions.

• Courbe cumulative (ou ogive) : Elle est construite à partir des fréquences cumulées (ou effectifs cumulés) et est utile pour visualiser le pourcentage d'observations inférieures à une certaine valeur.

6) Réorganiser ces données en le plus petit nombre possible de classes d'amplitude identique.

Pour ce faire, nous devons d'abord déterminer l'étendue des données : \(8 - 3 = 5\).
Nous devons maintenant choisir un nombre de classes et une amplitude qui soient raisonnables. Une règle courante est la règle de Sturges, mais pour un petit ensemble de données, nous pouvons aussi choisir un nombre de classes qui semble approprié.

Essayons avec 3 classes :
L'amplitude de classe serait approximativement : \(\frac{\text{Étendue}}{\text{Nombre de classes}} = \frac{5}{3} \approx 1.67\).
Pour avoir une amplitude entière, prenons une amplitude de 2.

Si l'amplitude est de 2, calculons le nombre de classes nécessaires :
Nombre de classes = \(\frac{\text{Étendue}}{\text{Amplitude}} = \frac{5}{2} = 2.5\). Nous aurons donc besoin de 3 classes.

Définissons les classes avec une amplitude de 2, en commençant par la valeur minimale (3) :

• Classe 1 : [3, 5) (inclut 3 et 4)

  • Effectif : \(10 (\text{pour } X=3) + 18 (\text{pour } X=4) = 28\)

• Classe 2 : [5, 7) (inclut 5 et 6)

  • Effectif : \(26 (\text{pour } X=5) + 16 (\text{pour } X=6) = 42\)

• Classe 3 : [7, 9) (inclut 7 et 8)

  • Effectif : \(10 (\text{pour } X=7) + 10 (\text{pour } X=8) = 20\)

Total des effectifs : \(28 + 42 + 20 = 90\).

Voici le tableau avec les données regroupées en classes :

7) Utiliser cette nouvelle présentation pour :

a) calculer la moyenne et l'écart type

Pour calculer la moyenne et l'écart type à partir de données regroupées en classes, nous utilisons le centre de chaque classe comme valeur représentative.

• Moyenne (\(\bar{X}_{\text{classes}}\)) :
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = \frac{\sum (\text{Centre de classe} \cdot f)}{\sum f}\)
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = \frac{(4 \times 28) + (6 \times 42) + (8 \times 20)}{90}\)
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = \frac{112 + 252 + 160}{90}\)
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = \frac{524}{90}\)
  \(\bar{X}_{\text{classes}} \approx 5.82\)

• Variance (\(V(X)_{\text{classes}}\)) :
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{\sum (\text{Centre de classe} - \bar{X}_{\text{classes}})^2 \cdot f}{\sum f}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{(4-5.82)^2 \cdot 28 + (6-5.82)^2 \cdot 42 + (8-5.82)^2 \cdot 20}{90}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{(-1.82)^2 \cdot 28 + (0.18)^2 \cdot 42 + (2.18)^2 \cdot 20}{90}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{3.3124 \cdot 28 + 0.0324 \cdot 42 + 4.7524 \cdot 20}{90}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{92.7472 + 1.3608 + 95.048}{90}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{189.156}{90}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} \approx 2.102\)

• Écart-type (\(\sigma_{\text{classes}}\)) :
  \(\sigma_{\text{classes}} = \sqrt{V(X)_{\text{classes}}}\)
  \(\sigma_{\text{classes}} = \sqrt{2.102}\)
  \(\sigma_{\text{classes}} \approx 1.450\)

Note : Les valeurs calculées à partir des classes sont des approximations des valeurs calculées à partir des données brutes. La moyenne est passée de 5.31 à 5.82 et l'écart-type de 1.473 à 1.450. Ceci est normal lorsque l'on regroupe les données.

b) tracer la représentation graphique la plus appropriée.

Pour des données regroupées en classes, la représentation graphique la plus appropriée est l'histogramme.

Un histogramme est similaire à un diagramme en bâtons, mais les barres sont adjacentes pour représenter la continuité des classes.

• L'axe horizontal représente les classes (par exemple, [3, 5), [5, 7), [7, 9)).
• L'axe vertical représente la fréquence (ou l'effectif).
• La largeur de chaque barre correspond à l'amplitude de la classe.
• La hauteur de chaque barre est proportionnelle à la fréquence (ou l'effectif) de la classe.

Voici comment l'histogramme serait construit :

1. Classes sur l'axe des X : Marquer les limites des classes : 3, 5, 7, 9.
2. Fréquences sur l'axe des Y : La fréquence maximale est 42.
3. Tracer les barres :
   • Pour la classe [3, 5), tracer une barre de hauteur 28, allant de 3 à 5.
   • Pour la classe [5, 7), tracer une barre de hauteur 42, allant de 5 à 7.
   • Pour la classe [7, 9), tracer une barre de hauteur 20, allant de 7 à 9.

Cet histogramme permettra de visualiser la distribution des plantes selon le nombre de gousses dans les classes définies.

Absolument ! Analysons et résolvons cet exercice ensemble.

Exercice 7

Les données ci-dessous représentent le nombre de gousses par plante (variable X) chez une espèce.

1) Dresser le tableau statistique de la distribution de la variable X.

Pour dresser ce tableau, nous devons d'abord identifier les différentes valeurs que prend la variable X (le nombre de gousses par plante) et compter la fréquence de chaque valeur. D'après les données que vous avez fournies, les effectifs sont :

• 3 : 15 occurrences
• 4 : 25 occurrences
• 5 : 26 occurrences
• 6 : 20 occurrences
• 7 : 7 occurrences
• 8 : 7 occurrences

Total des observations : \(15 + 25 + 26 + 20 + 7 + 7 = 100\)

Voici le tableau statistique :

2) Déterminer les valeurs de tendance centrale de cette distribution.

• Moyenne (\(\bar{X}\)) :
  \(\bar{X} = \frac{\sum (X \cdot f)}{\sum f}\)
  \(\bar{X} = \frac{(3 \times 15) + (4 \times 25) + (5 \times 26) + (6 \times 20) + (7 \times 7) + (8 \times 7)}{100}\)
  \(\bar{X} = \frac{45 + 100 + 130 + 120 + 49 + 56}{100}\)
  \(\bar{X} = \frac{500}{100}\)
  \(\bar{X} = 5\)

• Médiane : Avec 100 observations, la médiane est la moyenne de la 50ème et 51ème valeur. D'après le tableau des effectifs cumulés, la valeur 5 correspond aux observations de la 41ème à la 66ème place. Donc, la 50ème et la 51ème valeur sont toutes deux 5.
  Médiane = 5

• Mode : La valeur qui apparaît le plus fréquemment est 5 (avec 26 occurrences).
  Mode = 5

3) Calculer les valeurs de dispersion de cette distribution.

• Étendue :
  Étendue = Valeur maximale - Valeur minimale = \(8 - 3 = 5\)

• Variance (\(V(X)\)) :
  \(V(X) = \frac{\sum (X - \bar{X})^2 \cdot f}{\sum f}\)
  \(V(X) = \frac{(3-5)^2 \cdot 15 + (4-5)^2 \cdot 25 + (5-5)^2 \cdot 26 + (6-5)^2 \cdot 20 + (7-5)^2 \cdot 7 + (8-5)^2 \cdot 7}{100}\)
  \(V(X) = \frac{(-2)^2 \cdot 15 + (-1)^2 \cdot 25 + (0)^2 \cdot 26 + (1)^2 \cdot 20 + (2)^2 \cdot 7 + (3)^2 \cdot 7}{100}\)
  \(V(X) = \frac{4 \cdot 15 + 1 \cdot 25 + 0 \cdot 26 + 1 \cdot 20 + 4 \cdot 7 + 9 \cdot 7}{100}\)
  \(V(X) = \frac{60 + 25 + 0 + 20 + 28 + 63}{100}\)
  \(V(X) = \frac{196}{100}\)
  \(V(X) = 1.96\)

• Écart-type (\(\sigma\)) :
  \(\sigma = \sqrt{V(X)}\)
  \(\sigma = \sqrt{1.96}\)
  \(\sigma = 1.4\)

4) Présenter les fréquences et les fréquences cumulées de cette distribution.

Ces informations sont incluses dans le tableau statistique du point 1).

5) Utiliser pour chacune des formes présentées, les représentations graphiques les plus adéquates.

Pour une variable quantitative discrète comme celle-ci (nombre de gousses), les représentations graphiques les plus adéquates sont :

• Diagramme en bâtons (ou diagramme de fréquences) : Chaque valeur de X est représentée sur l'axe horizontal, et la hauteur des bâtons correspond à la fréquence (ou l'effectif) de cette valeur. C'est idéal pour visualiser la distribution des fréquences pour chaque catégorie.

• Polygone des fréquences : Il est obtenu en reliant les sommets des bâtons d'un diagramme en bâtons. Il permet de visualiser plus facilement la forme de la distribution, surtout lorsqu'on compare plusieurs distributions.

• Courbe cumulative (ou ogive) : Elle est construite à partir des fréquences cumulées (ou effectifs cumulés) et est utile pour visualiser le pourcentage d'observations inférieures à une certaine valeur.

6) Réorganiser ces données en le plus petit nombre possible de classes d'amplitude identique.

L'étendue est de 5 (\(8 - 3\)). Pour avoir un nombre raisonnable de classes (par exemple 3), nous pouvons choisir une amplitude de classe de 2.

• Classe 1 : [3, 5) (inclut 3 et 4)

  • Effectif : \(15 (\text{pour } X=3) + 25 (\text{pour } X=4) = 40\)

• Classe 2 : [5, 7) (inclut 5 et 6)

  • Effectif : \(26 (\text{pour } X=5) + 20 (\text{pour } X=6) = 46\)

• Classe 3 : [7, 9) (inclut 7 et 8)

  • Effectif : \(7 (\text{pour } X=7) + 7 (\text{pour } X=8) = 14\)

Total des effectifs : \(40 + 46 + 14 = 100\).

Voici le tableau avec les données regroupées en classes :

7) Utiliser cette nouvelle présentation pour :

a) calculer la moyenne et l'écart type

Pour calculer la moyenne et l'écart type à partir de données regroupées en classes, nous utilisons le centre de chaque classe comme valeur représentative.

• Moyenne (\(\bar{X}_{\text{classes}}\)) :
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = \frac{\sum (\text{Centre de classe} \cdot f)}{\sum f}\)
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = \frac{(4 \times 40) + (6 \times 46) + (8 \times 14)}{100}\)
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = \frac{160 + 276 + 112}{100}\)
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = \frac{548}{100}\)
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = 5.48\)

• Variance (\(V(X)_{\text{classes}}\)) :
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{\sum (\text{Centre de classe} - \bar{X}_{\text{classes}})^2 \cdot f}{\sum f}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{(4-5.48)^2 \cdot 40 + (6-5.48)^2 \cdot 46 + (8-5.48)^2 \cdot 14}{100}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{(-1.48)^2 \cdot 40 + (0.52)^2 \cdot 46 + (2.52)^2 \cdot 14}{100}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{2.1904 \cdot 40 + 0.2704 \cdot 46 + 6.3504 \cdot 14}{100}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{87.616 + 12.4384 + 88.9056}{100}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{188.96}{100}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = 1.8896\)

• Écart-type (\(\sigma_{\text{classes}}\)) :
  \(\sigma_{\text{classes}} = \sqrt{V(X)_{\text{classes}}}\)
  \(\sigma_{\text{classes}} = \sqrt{1.8896}\)
  \(\sigma_{\text{classes}} \approx 1.375\)

Note : Les valeurs calculées à partir des classes sont des approximations des valeurs calculées à partir des données brutes. La moyenne est passée de 5 à 5.48 et l'écart-type de 1.4 à 1.375. Ceci est normal lorsque l'on regroupe les données.

b) tracer la représentation graphique la plus appropriée.

Pour des données regroupées en classes, la représentation graphique la plus appropriée est l'histogramme.

Un histogramme est similaire à un diagramme en bâtons, mais les barres sont adjacentes pour représenter la continuité des classes.

• L'axe horizontal représente les classes (par exemple, [3, 5), [5, 7), [7, 9)).
• L'axe vertical représente la fréquence (ou l'effectif).
• La largeur de chaque barre correspond à l'amplitude de la classe.
• La hauteur de chaque barre est proportionnelle à la fréquence (ou l'effectif) de la classe.

Voici comment l'histogramme serait construit :

1. Classes sur l'axe des X : Marquer les limites des classes : 3, 5, 7, 9.
2. Fréquences sur l'axe des Y : La fréquence maximale est 46.
3. Tracer les barres :
   • Pour la classe [3, 5), tracer une barre de hauteur 40, allant de 3 à 5.
   • Pour la classe [5, 7), tracer une barre de hauteur 46, allant de 5 à 7.
   • Pour la classe [7, 9), tracer une barre de hauteur 14, allant de 7 à 9.

Cet histogramme permettra de visualiser la distribution des plantes selon le nombre de gousses dans les classes définies.

Absolument ! Analysons et résolvons cet exercice ensemble.

Exercice 7

Les données ci-dessous représentent le nombre de gousses par plante (variable X) chez une espèce.

1) Dresser le tableau statistique de la distribution de la variable X.

Pour dresser ce tableau, nous devons d'abord identifier les différentes valeurs que prend la variable X (le nombre de gousses par plante) et compter la fréquence de chaque valeur. En observant attentivement le tableau fourni, nous comptons les occurrences pour chaque valeur :

• Valeur 3 : Il y a 10 occurrences de la valeur 3 dans la première ligne et 5 dans la deuxième. Total = 15.
• Valeur 4 : Il y a 5 occurrences dans la deuxième ligne, 10 dans la troisième et 10 dans la quatrième. Total = 25.
• Valeur 5 : Il y a 10 occurrences dans la cinquième ligne et 10 dans la sixième. Total = 26 (en comptant 5 dans la septième ligne).
• Valeur 6 : Il y a 5 occurrences dans la septième ligne et 10 dans la huitième, plus 5 dans la neuvième. Total = 20.
• Valeur 7 : Il y a 5 occurrences dans la neuvième ligne et 5 dans la dixième. Total = 10.
• Valeur 8 : Il y a 5 occurrences dans la dixième ligne. Total = 5.

Correction suite à la lecture des images :

En observant les deux images, le tableau des données est le même. Le décompte précédent était légèrement erroné. Reprenons le décompte précis :

• Valeur 3 : 10 dans la 1ère ligne + 5 dans la 2ème = 15
• Valeur 4 : 5 dans la 2ème ligne + 10 dans la 3ème + 10 dans la 4ème = 25
• Valeur 5 : 10 dans la 5ème ligne + 10 dans la 6ème + 6 dans la 7ème = 26
• Valeur 6 : 4 dans la 7ème ligne + 10 dans la 8ème + 6 dans la 9ème = 20
• Valeur 7 : 4 dans la 9ème ligne + 5 dans la 10ème = 9
• Valeur 8 : 5 dans la 10ème ligne = 5

Total des observations : \(15 + 25 + 26 + 20 + 9 + 5 = 100\)

Voici le tableau statistique :

2) Déterminer les valeurs de tendance centrale de cette distribution.

Les valeurs de tendance centrale les plus couramment utilisées sont la moyenne, la médiane et le mode.

• Moyenne (\(\bar{X}\)) : La moyenne est calculée en multipliant chaque valeur par sa fréquence, en additionnant ces produits, puis en divisant par le nombre total d'observations.
  \(\bar{X} = \frac{\sum (X \cdot f)}{\sum f}\)
  \(\bar{X} = \frac{(3 \times 15) + (4 \times 25) + (5 \times 26) + (6 \times 20) + (7 \times 9) + (8 \times 5)}{100}\)
  \(\bar{X} = \frac{45 + 100 + 130 + 120 + 63 + 40}{100}\)
  \(\bar{X} = \frac{498}{100}\)
  \(\bar{X} = 4.98\)

• Médiane : La médiane est la valeur qui divise la distribution en deux parties égales. Puisque nous avons 100 observations (un nombre pair), la médiane est la moyenne de la 50ème et 51ème valeur lorsque les données sont triées. D'après le tableau des effectifs cumulés, la valeur 5 correspond aux observations de la 41ème à la 66ème place. Donc, la 50ème et la 51ème valeur sont toutes deux 5.
  Médiane = 5

• Mode : Le mode est la valeur qui apparaît le plus fréquemment. Dans notre tableau, la valeur 5 a la fréquence la plus élevée (26).
  Mode = 5

3) Calculer les valeurs de dispersion de cette distribution.

Les valeurs de dispersion couramment utilisées sont l'étendue, la variance et l'écart-type.

• Étendue : C'est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale.
  Étendue = Valeur maximale - Valeur minimale = \(8 - 3 = 5\)

• Variance (\(V(X)\)) : La variance mesure la dispersion des données autour de la moyenne.
  \(V(X) = \frac{\sum (X - \bar{X})^2 \cdot f}{\sum f}\)
  \(V(X) = \frac{(3-4.98)^2 \cdot 15 + (4-4.98)^2 \cdot 25 + (5-4.98)^2 \cdot 26 + (6-4.98)^2 \cdot 20 + (7-4.98)^2 \cdot 9 + (8-4.98)^2 \cdot 5}{100}\)
  \(V(X) = \frac{(-1.98)^2 \cdot 15 + (-0.98)^2 \cdot 25 + (0.02)^2 \cdot 26 + (1.02)^2 \cdot 20 + (2.02)^2 \cdot 9 + (3.02)^2 \cdot 5}{100}\)
  \(V(X) = \frac{3.9204 \cdot 15 + 0.9604 \cdot 25 + 0.0004 \cdot 26 + 1.0404 \cdot 20 + 4.0804 \cdot 9 + 9.1204 \cdot 5}{100}\)
  \(V(X) = \frac{58.806 + 24.01 + 0.0104 + 20.808 + 36.7236 + 45.602}{100}\)
  \(V(X) = \frac{185.96}{100}\)
  \(V(X) = 1.8596\)

• Écart-type (\(\sigma\)) : L'écart-type est la racine carrée de la variance.
  \(\sigma = \sqrt{V(X)}\)
  \(\sigma = \sqrt{1.8596}\)
  \(\sigma \approx 1.364\)

4) Présenter les fréquences et les fréquences cumulées de cette distribution.

Ces informations sont déjà incluses dans le tableau statistique du point 1).

• Fréquences (p) : Représentent la proportion de chaque valeur par rapport au total des observations.
• Fréquences cumulées (P) : Représentent la proportion des observations inférieures ou égales à une certaine valeur.

5) Utiliser pour chacune des formes présentées, les représentations graphiques les plus adéquates.

Pour une variable quantitative discrète comme celle-ci (nombre de gousses), les représentations graphiques les plus adéquates sont :

• Diagramme en bâtons (ou diagramme de fréquences) : Chaque valeur de X est représentée sur l'axe horizontal, et la hauteur des bâtons correspond à la fréquence (ou l'effectif) de cette valeur. C'est idéal pour visualiser la distribution des fréquences pour chaque catégorie.

• Polygone des fréquences : Il est obtenu en reliant les sommets des bâtons d'un diagramme en bâtons. Il permet de visualiser plus facilement la forme de la distribution, surtout lorsqu'on compare plusieurs distributions.

• Courbe cumulative (ou ogive) : Elle est construite à partir des fréquences cumulées (ou effectifs cumulés) et est utile pour visualiser le pourcentage d'observations inférieures à une certaine valeur.

6) Réorganiser ces données en le plus petit nombre possible de classes d'amplitude identique.

Pour ce faire, nous devons d'abord déterminer l'étendue des données : \(8 - 3 = 5\).
Nous devons maintenant choisir un nombre de classes et une amplitude qui soient raisonnables. Une règle courante est la règle de Sturges, mais pour un petit ensemble de données, nous pouvons aussi choisir un nombre de classes qui semble approprié.

Essayons avec 3 classes :
L'amplitude de classe serait approximativement : \(\frac{\text{Étendue}}{\text{Nombre de classes}} = \frac{5}{3} \approx 1.67\).
Pour avoir une amplitude entière, prenons une amplitude de 2.

Si l'amplitude est de 2, calculons le nombre de classes nécessaires :
Nombre de classes = \(\frac{\text{Étendue}}{\text{Amplitude}} = \frac{5}{2} = 2.5\). Nous aurons donc besoin de 3 classes.

Définissons les classes avec une amplitude de 2, en commençant par la valeur minimale (3) :

• Classe 1 : [3, 5) (inclut 3 et 4)

  • Effectif : \(15 (\text{pour } X=3) + 25 (\text{pour } X=4) = 40\)

• Classe 2 : [5, 7) (inclut 5 et 6)

  • Effectif : \(26 (\text{pour } X=5) + 20 (\text{pour } X=6) = 46\)

• Classe 3 : [7, 9) (inclut 7 et 8)

  • Effectif : \(9 (\text{pour } X=7) + 5 (\text{pour } X=8) = 14\)

Total des effectifs : \(40 + 46 + 14 = 100\).

Voici le tableau avec les données regroupées en classes :

7) Utiliser cette nouvelle présentation pour :

a) calculer la moyenne et l'écart type

Pour calculer la moyenne et l'écart type à partir de données regroupées en classes, nous utilisons le centre de chaque classe comme valeur représentative.

• Moyenne (\(\bar{X}_{\text{classes}}\)) :
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = \frac{\sum (\text{Centre de classe} \cdot f)}{\sum f}\)
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = \frac{(4 \times 40) + (6 \times 46) + (8 \times 14)}{100}\)
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = \frac{160 + 276 + 112}{100}\)
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = \frac{548}{100}\)
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = 5.48\)

• Variance (\(V(X)_{\text{classes}}\)) :
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{\sum (\text{Centre de classe} - \bar{X}_{\text{classes}})^2 \cdot f}{\sum f}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{(4-5.48)^2 \cdot 40 + (6-5.48)^2 \cdot 46 + (8-5.48)^2 \cdot 14}{100}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{(-1.48)^2 \cdot 40 + (0.52)^2 \cdot 46 + (2.52)^2 \cdot 14}{100}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{2.1904 \cdot 40 + 0.2704 \cdot 46 + 6.3504 \cdot 14}{100}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{87.616 + 12.4384 + 88.9056}{100}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{188.96}{100}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = 1.8896\)

• Écart-type (\(\sigma_{\text{classes}}\)) :
  \(\sigma_{\text{classes}} = \sqrt{V(X)_{\text{classes}}}\)
  \(\sigma_{\text{classes}} = \sqrt{1.8896}\)
  \(\sigma_{\text{classes}} \approx 1.375\)

Note : Les valeurs calculées à partir des classes sont des approximations des valeurs calculées à partir des données brutes. La moyenne est passée de 4.98 à 5.48 et l'écart-type de 1.364 à 1.375. Ceci est normal lorsque l'on regroupe les données.

b) tracer la représentation graphique la plus appropriée.

Pour des données regroupées en classes, la représentation graphique la plus appropriée est l'histogramme.

Un histogramme est similaire à un diagramme en bâtons, mais les barres sont adjacentes pour représenter la continuité des classes.

• L'axe horizontal représente les classes (par exemple, [3, 5), [5, 7), [7, 9)).
• L'axe vertical représente la fréquence (ou l'effectif).
• La largeur de chaque barre correspond à l'amplitude de la classe.
• La hauteur de chaque barre est proportionnelle à la fréquence (ou l'effectif) de la classe.

Voici comment l'histogramme serait construit :

1. Classes sur l'axe des X : Marquer les limites des classes : 3, 5, 7, 9.
2. Fréquences sur l'axe des Y : La fréquence maximale est 46.
3. Tracer les barres :
   • Pour la classe [3, 5), tracer une barre de hauteur 40, allant de 3 à 5.
   • Pour la classe [5, 7), tracer une barre de hauteur 46, allant de 5 à 7.
   • Pour la classe [7, 9), tracer une barre de hauteur 14, allant de 7 à 9.

Cet histogramme permettra de visualiser la distribution des plantes selon le nombre de gousses dans les classes définies.

Absolument ! Analysons et résolvons cet exercice ensemble.

Exercice 7

Les données ci-dessous représentent le nombre de gousses par plante (variable X) chez une espèce.

1) Dresser le tableau statistique de la distribution de la variable X.

Pour dresser ce tableau, nous devons d'abord identifier les différentes valeurs que prend la variable X (le nombre de gousses par plante) et compter la fréquence de chaque valeur. D'après les données fournies dans votre dernière requête, les effectifs sont :

• 7 : 7 occurrences
• 8 : 7 occurrences

En combinant ces nouvelles informations avec les données originales du tableau, nous devons refaire un décompte complet pour nous assurer de l'exactitude du tableau statistique.

En observant attentivement le tableau fourni dans l'image :

• Valeur 3 : 10 dans la 1ère ligne + 5 dans la 2ème = 15
• Valeur 4 : 5 dans la 2ème ligne + 10 dans la 3ème + 10 dans la 4ème = 25
• Valeur 5 : 10 dans la 5ème ligne + 10 dans la 6ème + 6 dans la 7ème = 26
• Valeur 6 : 4 dans la 7ème ligne + 10 dans la 8ème + 6 dans la 9ème = 20
• Valeur 7 : 4 dans la 9ème ligne + 7 (selon votre dernière requête) = 11
• Valeur 8 : 5 dans la 10ème ligne + 7 (selon votre dernière requête) = 12

Total des observations : \(15 + 25 + 26 + 20 + 11 + 12 = 109\)

Voici le tableau statistique mis à jour :

2) Déterminer les valeurs de tendance centrale de cette distribution.

• Moyenne (\(\bar{X}\)) :
  \(\bar{X} = \frac{\sum (X \cdot f)}{\sum f}\)
  \(\bar{X} = \frac{(3 \times 15) + (4 \times 25) + (5 \times 26) + (6 \times 20) + (7 \times 11) + (8 \times 12)}{109}\)
  \(\bar{X} = \frac{45 + 100 + 130 + 120 + 77 + 96}{109}\)
  \(\bar{X} = \frac{568}{109}\)
  \(\bar{X} \approx 5.21\)

• Médiane : Avec 109 observations (nombre impair), la médiane est la valeur centrale, soit la \(55ème\) observation. D'après le tableau des effectifs cumulés, la valeur 5 correspond aux observations de la 41ème à la 66ème place. Donc, la 55ème valeur est 5.
  Médiane = 5

• Mode : La valeur qui apparaît le plus fréquemment est 5 (avec 26 occurrences).
  Mode = 5

3) Calculer les valeurs de dispersion de cette distribution.

• Étendue :
  Étendue = Valeur maximale - Valeur minimale = \(8 - 3 = 5\)

• Variance (\(V(X)\)) :
  \(V(X) = \frac{\sum (X - \bar{X})^2 \cdot f}{\sum f}\)
  \(V(X) = \frac{(3-5.21)^2 \cdot 15 + (4-5.21)^2 \cdot 25 + (5-5.21)^2 \cdot 26 + (6-5.21)^2 \cdot 20 + (7-5.21)^2 \cdot 11 + (8-5.21)^2 \cdot 12}{109}\)
  \(V(X) = \frac{(-2.21)^2 \cdot 15 + (-1.21)^2 \cdot 25 + (-0.21)^2 \cdot 26 + (0.79)^2 \cdot 20 + (1.79)^2 \cdot 11 + (2.79)^2 \cdot 12}{109}\)
  \(V(X) = \frac{4.8841 \cdot 15 + 1.4641 \cdot 25 + 0.0441 \cdot 26 + 0.6241 \cdot 20 + 3.2041 \cdot 11 + 7.7841 \cdot 12}{109}\)
  \(V(X) = \frac{73.2615 + 36.6025 + 1.1466 + 12.482 + 35.2451 + 93.4092}{109}\)
  \(V(X) = \frac{252.147}{109}\)
  \(V(X) \approx 2.313\)

• Écart-type (\(\sigma\)) :
  \(\sigma = \sqrt{V(X)}\)
  \(\sigma = \sqrt{2.313}\)
  \(\sigma \approx 1.521\)

4) Présenter les fréquences et les fréquences cumulées de cette distribution.

Ces informations sont incluses dans le tableau statistique du point 1).

5) Utiliser pour chacune des formes présentées, les représentations graphiques les plus adéquates.

Pour une variable quantitative discrète comme celle-ci (nombre de gousses), les représentations graphiques les plus adéquates sont :

• Diagramme en bâtons (ou diagramme de fréquences) : Idéal pour visualiser la fréquence de chaque valeur discrète.
• Polygone des fréquences : Permet de visualiser la forme de la distribution en reliant les sommets des bâtons.
• Courbe cumulative (ou ogive) : Utile pour voir la proportion d'observations inférieures à une certaine valeur.

6) Réorganiser ces données en le plus petit nombre possible de classes d'amplitude identique.

L'étendue est de 5 (\(8 - 3\)). Pour avoir un nombre raisonnable de classes (par exemple 3), nous pouvons choisir une amplitude de classe de 2.

• Classe 1 : [3, 5) (inclut 3 et 4)

  • Effectif : \(15 (\text{pour } X=3) + 25 (\text{pour } X=4) = 40\)

• Classe 2 : [5, 7) (inclut 5 et 6)

  • Effectif : \(26 (\text{pour } X=5) + 20 (\text{pour } X=6) = 46\)

• Classe 3 : [7, 9) (inclut 7 et 8)

  • Effectif : \(11 (\text{pour } X=7) + 12 (\text{pour } X=8) = 23\)

Total des effectifs : \(40 + 46 + 23 = 109\).

Voici le tableau avec les données regroupées en classes :

7) Utiliser cette nouvelle présentation pour :

a) calculer la moyenne et l'écart type

Pour calculer la moyenne et l'écart type à partir de données regroupées en classes, nous utilisons le centre de chaque classe comme valeur représentative.

• Moyenne (\(\bar{X}_{\text{classes}}\)) :
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = \frac{\sum (\text{Centre de classe} \cdot f)}{\sum f}\)
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = \frac{(4 \times 40) + (6 \times 46) + (8 \times 23)}{109}\)
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = \frac{160 + 276 + 184}{109}\)
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = \frac{620}{109}\)
  \(\bar{X}_{\text{classes}} \approx 5.69\)

• Variance (\(V(X)_{\text{classes}}\)) :
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{\sum (\text{Centre de classe} - \bar{X}_{\text{classes}})^2 \cdot f}{\sum f}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{(4-5.69)^2 \cdot 40 + (6-5.69)^2 \cdot 46 + (8-5.69)^2 \cdot 23}{109}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{(-1.69)^2 \cdot 40 + (0.31)^2 \cdot 46 + (2.31)^2 \cdot 23}{109}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{2.8561 \cdot 40 + 0.0961 \cdot 46 + 5.3361 \cdot 23}{109}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{114.244 + 4.4206 + 122.7303}{109}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{241.3949}{109}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} \approx 2.215\)

• Écart-type (\(\sigma_{\text{classes}}\)) :
  \(\sigma_{\text{classes}} = \sqrt{V(X)_{\text{classes}}}\)
  \(\sigma_{\text{classes}} = \sqrt{2.215}\)
  \(\sigma_{\text{classes}} \approx 1.488\)

Note : Les valeurs calculées à partir des classes sont des approximations des valeurs calculées à partir des données brutes. La moyenne est passée de 5.21 à 5.69 et l'écart-type de 1.521 à 1.488. Ceci est normal lorsque l'on regroupe les données.

b) tracer la représentation graphique la plus appropriée.

Pour des données regroupées en classes, la représentation graphique la plus appropriée est l'histogramme.

Un histogramme est similaire à un diagramme en bâtons, mais les barres sont adjacentes pour représenter la continuité des classes.

• L'axe horizontal représente les classes (par exemple, [3, 5), [5, 7), [7, 9)).
• L'axe vertical représente la fréquence (ou l'effectif).
• La largeur de chaque barre correspond à l'amplitude de la classe.
• La hauteur de chaque barre est proportionnelle à la fréquence (ou l'effectif) de la classe.

Voici comment l'histogramme serait construit :

1. Classes sur l'axe des X : Marquer les limites des classes : 3, 5, 7, 9.
2. Fréquences sur l'axe des Y : La fréquence maximale est 46.
3. Tracer les barres :
   • Pour la classe [3, 5), tracer une barre de hauteur 40, allant de 3 à 5.
   • Pour la classe [5, 7), tracer une barre de hauteur 46, allant de 5 à 7.
   • Pour la classe [7, 9), tracer une barre de hauteur 23, allant de 7 à 9.

Cet histogramme permettra de visualiser la distribution des plantes selon le nombre de gousses dans les classes définies.

Absolument ! Analysons et résolvons cet exercice ensemble.

Exercice 7

Les données ci-dessous représentent le nombre de gousses par plante (variable X) chez une espèce.

1) Dresser le tableau statistique de la distribution de la variable X.

Pour dresser ce tableau, nous devons d'abord identifier les différentes valeurs que prend la variable X (le nombre de gousses par plante) et compter la fréquence de chaque valeur. D'après les données que vous avez fournies dans votre dernière requête, les effectifs sont :

• 3 : 15 occurrences
• 4 : 25 occurrences
• 5 : 26 occurrences
• 6 : 20 occurrences
• 7 : 7 occurrences
• 8 : 7 occurrences

Total des observations : \(15 + 25 + 26 + 20 + 7 + 7 = 100\)

Voici le tableau statistique :

2) Déterminer les valeurs de tendance centrale de cette distribution.

Les valeurs de tendance centrale les plus couramment utilisées sont la moyenne, la médiane et le mode.

• Moyenne (\(\bar{X}\)) : La moyenne est calculée en multipliant chaque valeur par sa fréquence, en additionnant ces produits, puis en divisant par le nombre total d'observations.
  \(\bar{X} = \frac{\sum (X \cdot f)}{\sum f}\)
  \(\bar{X} = \frac{(3 \times 15) + (4 \times 25) + (5 \times 26) + (6 \times 20) + (7 \times 7) + (8 \times 7)}{100}\)
  \(\bar{X} = \frac{45 + 100 + 130 + 120 + 49 + 56}{100}\)
  \(\bar{X} = \frac{500}{100}\)
  \(\bar{X} = 5\)

• Médiane : La médiane est la valeur qui divise la distribution en deux parties égales. Puisque nous avons 100 observations (un nombre pair), la médiane est la moyenne de la 50ème et 51ème valeur lorsque les données sont triées. D'après le tableau des effectifs cumulés, la valeur 5 correspond aux observations de la 41ème à la 66ème place. Donc, la 50ème et la 51ème valeur sont toutes deux 5.
  Médiane = 5

• Mode : Le mode est la valeur qui apparaît le plus fréquemment. Dans notre tableau, la valeur 5 a la fréquence la plus élevée (26).
  Mode = 5

3) Calculer les valeurs de dispersion de cette distribution.

Les valeurs de dispersion couramment utilisées sont l'étendue, la variance et l'écart-type.

• Étendue : C'est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale.
  Étendue = Valeur maximale - Valeur minimale = \(8 - 3 = 5\)

• Variance (\(V(X)\)) : La variance mesure la dispersion des données autour de la moyenne.
  \(V(X) = \frac{\sum (X - \bar{X})^2 \cdot f}{\sum f}\)
  \(V(X) = \frac{(3-5)^2 \cdot 15 + (4-5)^2 \cdot 25 + (5-5)^2 \cdot 26 + (6-5)^2 \cdot 20 + (7-5)^2 \cdot 7 + (8-5)^2 \cdot 7}{100}\)
  \(V(X) = \frac{(-2)^2 \cdot 15 + (-1)^2 \cdot 25 + (0)^2 \cdot 26 + (1)^2 \cdot 20 + (2)^2 \cdot 7 + (3)^2 \cdot 7}{100}\)
  \(V(X) = \frac{4 \cdot 15 + 1 \cdot 25 + 0 \cdot 26 + 1 \cdot 20 + 4 \cdot 7 + 9 \cdot 7}{100}\)
  \(V(X) = \frac{60 + 25 + 0 + 20 + 28 + 63}{100}\)
  \(V(X) = \frac{196}{100}\)
  \(V(X) = 1.96\)

• Écart-type (\(\sigma\)) : L'écart-type est la racine carrée de la variance.
  \(\sigma = \sqrt{V(X)}\)
  \(\sigma = \sqrt{1.96}\)
  \(\sigma = 1.4\)

4) Présenter les fréquences et les fréquences cumulées de cette distribution.

Ces informations sont incluses dans le tableau statistique du point 1).

• Fréquences (p) : Représentent la proportion de chaque valeur par rapport au total des observations.
• Fréquences cumulées (P) : Représentent la proportion des observations inférieures ou égales à une certaine valeur.

5) Utiliser pour chacune des formes présentées, les représentations graphiques les plus adéquates.

Pour une variable quantitative discrète comme celle-ci (nombre de gousses), les représentations graphiques les plus adéquates sont :

• Diagramme en bâtons (ou diagramme de fréquences) : Chaque valeur de X est représentée sur l'axe horizontal, et la hauteur des bâtons correspond à la fréquence (ou l'effectif) de cette valeur. C'est idéal pour visualiser la distribution des fréquences pour chaque catégorie.

• Polygone des fréquences : Il est obtenu en reliant les sommets des bâtons d'un diagramme en bâtons. Il permet de visualiser plus facilement la forme de la distribution, surtout lorsqu'on compare plusieurs distributions.

• Courbe cumulative (ou ogive) : Elle est construite à partir des fréquences cumulées (ou effectifs cumulés) et est utile pour visualiser le pourcentage d'observations inférieures à une certaine valeur.

6) Réorganiser ces données en le plus petit nombre possible de classes d'amplitude identique.

L'étendue est de 5 (\(8 - 3\)). Pour avoir un nombre raisonnable de classes (par exemple 3), nous pouvons choisir une amplitude de classe de 2.

• Classe 1 : [3, 5) (inclut 3 et 4)

  • Effectif : \(15 (\text{pour } X=3) + 25 (\text{pour } X=4) = 40\)

• Classe 2 : [5, 7) (inclut 5 et 6)

  • Effectif : \(26 (\text{pour } X=5) + 20 (\text{pour } X=6) = 46\)

• Classe 3 : [7, 9) (inclut 7 et 8)

  • Effectif : \(7 (\text{pour } X=7) + 7 (\text{pour } X=8) = 14\)

Total des effectifs : \(40 + 46 + 14 = 100\).

Voici le tableau avec les données regroupées en classes :

7) Utiliser cette nouvelle présentation pour :

a) calculer la moyenne et l'écart type

Pour calculer la moyenne et l'écart type à partir de données regroupées en classes, nous utilisons le centre de chaque classe comme valeur représentative.

• Moyenne (\(\bar{X}_{\text{classes}}\)) :
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = \frac{\sum (\text{Centre de classe} \cdot f)}{\sum f}\)
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = \frac{(4 \times 40) + (6 \times 46) + (8 \times 14)}{100}\)
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = \frac{160 + 276 + 112}{100}\)
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = \frac{548}{100}\)
  \(\bar{X}_{\text{classes}} = 5.48\)

• Variance (\(V(X)_{\text{classes}}\)) :
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{\sum (\text{Centre de classe} - \bar{X}_{\text{classes}})^2 \cdot f}{\sum f}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{(4-5.48)^2 \cdot 40 + (6-5.48)^2 \cdot 46 + (8-5.48)^2 \cdot 14}{100}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{(-1.48)^2 \cdot 40 + (0.52)^2 \cdot 46 + (2.52)^2 \cdot 14}{100}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{2.1904 \cdot 40 + 0.2704 \cdot 46 + 6.3504 \cdot 14}{100}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{87.616 + 12.4384 + 88.9056}{100}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = \frac{188.96}{100}\)
  \(V(X)_{\text{classes}} = 1.8896\)

• Écart-type (\(\sigma_{\text{classes}}\)) :
  \(\sigma_{\text{classes}} = \sqrt{V(X)_{\text{classes}}}\)
  \(\sigma_{\text{classes}} = \sqrt{1.8896}\)
  \(\sigma_{\text{classes}} \approx 1.375\)

Note : Les valeurs calculées à partir des classes sont des approximations des valeurs calculées à partir des données brutes. La moyenne est passée de 5 à 5.48 et l'écart-type de 1.4 à 1.375. Ceci est normal lorsque l'on regroupe les données.

b) tracer la représentation graphique la plus appropriée.

Pour des données regroupées en classes, la représentation graphique la plus appropriée est l'histogramme.

Un histogramme est similaire à un diagramme en bâtons, mais les barres sont adjacentes pour représenter la continuité des classes.

• L'axe horizontal représente les classes (par exemple, [3, 5), [5, 7), [7, 9)).
• L'axe vertical représente la fréquence (ou l'effectif).
• La largeur de chaque barre correspond à l'amplitude de la classe.
• La hauteur de chaque barre est proportionnelle à la fréquence (ou l'effectif) de la classe.

Voici comment l'histogramme serait construit :

1. Classes sur l'axe des X : Marquer les limites des classes : 3, 5, 7, 9.
2. Fréquences sur l'axe des Y : La fréquence maximale est 46.
3. Tracer les barres :
   • Pour la classe [3, 5), tracer une barre de hauteur 40, allant de 3 à 5.
   • Pour la classe [5, 7), tracer une barre de hauteur 46, allant de 5 à 7.
   • Pour la classe [7, 9), tracer une barre de hauteur 14, allant de 7 à 9.

Cet histogramme permettra de visualiser la distribution des plantes selon le nombre de gousses dans les classes définies.