Производная функции
Определение и геометрический смысл
Производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ — это скорость изменения функции в этой точке. Обозначается $f'(x_0)$ или $\frac{df}{dx}|_{x=x_0}$.
Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $(x_0, f(x_0))$. Математически это выражается формулой:
$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$
Основные правила дифференцирования
- Производная константы: $(C)' = 0$
- Производная степенной функции: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$
- Линейность производной:
- $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$
- $(C \cdot f(x))' = C \cdot f'(x)$
- Правило произведения (Лейбница): $(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$
- Правило частного: $\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$
- Правило цепи (сложной функции): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
Таблица производных элементарных функций
| Функция $f(x)$ |
Производная $f'(x)$ |
| $x^n$ |
$n \cdot x^{n-1}$ |
| $e^x$ |
$e^x$ |
| $a^x$ |
$a^x \ln a$ |
| $\ln x$ |
$\frac{1}{x}$ |
| $\log_a x$ |
$\frac{1}{x \ln a}$ |
| $\sin x$ |
$\cos x$ |
| $\cos x$ |
$-\sin x$ |
| $\tan x$ |
$\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ |
| $\cot x$ |
$-\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$ |
| $\arcsin x$ |
$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\arccos x$ |
$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\arctan x$ |
$\frac{1}{1+x^2}$ |
| $\text{arccot}\,x$ |
$-\frac{1}{1+x^2}$ |
Примеры нахождения производных
Пример 1: Производная многочлена
Найдем производную функции $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 7$
Решение:
$f'(x) = (3x^4)' - (2x^2)' + (5x)' - (7)'$
$f'(x) = 3 \cdot (x^4)' - 2 \cdot (x^2)' + 5 \cdot (x)' - 0$
$f'(x) = 3 \cdot 4x^3 - 2 \cdot 2x^1 + 5 \cdot 1 - 0$
$f'(x) = 12x^3 - 4x + 5$
Пример 2: Производная произведения
Найдем производную функции $f(x) = x^2 \sin x$
Решение:
Используем правило произведения: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$
Где $u(x) = x^2$ и $v(x) = \sin x$
$f'(x) = (x^2)' \cdot \sin x + x^2 \cdot (\sin x)'$
$f'(x) = 2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x$
Пример 3: Производная сложной функции
Найдем производную функции $f(x) = \sin(x^2)$
Решение:
Используем правило цепи: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
Где $f(u) = \sin u$ и $g(x) = x^2$
$f'(x) = \cos(x^2) \cdot (x^2)'$
$f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x$
$f'(x) = 2x \cos(x^2)$
Типичные ошибки при нахождении производных
-
Забывание правила произведения: Неверно считать, что $(f \cdot g)' = f' \cdot g'$. Правильно: $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$.
-
Неправильное применение правила цепи: При дифференцировании сложной функции важно учитывать производную внутренней функции.
-
Ошибки в производных тригонометрических функций: Помните, что $(\sin x)' = \cos x$, а $(\cos x)' = -\sin x$.
-
Неверное дифференцирование дроби: Используйте правило частного, не забывая о знаменателе в квадрате.
Методические рекомендации
-
Разбивайте сложные функции на более простые части и применяйте соответствующие правила.
-
Проверяйте результат на простых значениях аргумента, если это возможно.
-
Используйте таблицу производных для стандартных функций.
-
Практикуйтесь регулярно, решая разнообразные задачи на дифференцирование.
