Решение квадратного уравнения с радикалами

زبان задание فارسی است. در تصویر فقط یک مسئله ریاضی وجود دارد.

مسئله ۱

مسئله:

\(\sqrt{(-a)^2 + r^2} - \sqrt{(-a)^2} = -a\)

اگر \(a > 0\) باشد، کدام یک از گزینه‌های زیر درست است؟

راه حل:

1. ساده‌سازی عبارت:
   ابتدا عبارت زیر رادیکال دوم را ساده می‌کنیم:
   \(\sqrt{(-a)^2} = \sqrt{a^2}\)

2. تعیین مقدار رادیکال دوم:
   می‌دانیم که \(\sqrt{a^2} = |a|\).
   چون در صورت مسئله فرض شده است که \(a > 0\)، پس \(|a| = a\).
   بنابراین، \(\sqrt{(-a)^2} = a\).

3. جایگزینی در معادله اصلی:
   حالا مقدار ساده شده را در معادله اصلی جایگزین می‌کنیم:
   \(\sqrt{(-a)^2 + r^2} - a = -a\)

4. حل معادله برای یافتن شرط:
   برای یافتن شرط، طرفین معادله را ساده می‌کنیم:
   \(\sqrt{(-a)^2 + r^2} = -a + a\)
   \(\sqrt{(-a)^2 + r^2} = 0\)

5. بررسی شرط:
   برای اینکه رادیکال برابر با صفر شود، عبارت زیر رادیکال باید صفر باشد:
   \((-a)^2 + r^2 = 0\)
   \(a^2 + r^2 = 0\)

6. تحلیل نتیجه:
   مجموع مربعات دو عدد حقیقی (\(a^2\) و \(r^2\)) تنها زمانی برابر با صفر است که هر دو عدد صفر باشند. یعنی:
   \(a^2 = 0 \implies a = 0\)
   \(r^2 = 0 \implies r = 0\)

7. مقایسه با فرض مسئله:
   نتیجه‌ای که به دست آوردیم (\(a=0\)) با فرض اولیه مسئله که \(a > 0\) است، در تناقض است. این بدان معناست که تحت شرط \(a > 0\)، معادله اصلی نمی‌تواند برقرار باشد مگر اینکه \(r\) نیز مقداری داشته باشد که باعث صفر شدن عبارت شود.

8. بازنگری در مرحله ۴ و ۵:
   اگر \(\sqrt{(-a)^2 + r^2} = 0\) باشد، آنگاه \(a^2 + r^2 = 0\). این تنها زمانی رخ می‌دهد که \(a=0\) و \(r=0\).
   اما فرض مسئله \(a > 0\) است. بنابراین، \(\sqrt{(-a)^2 + r^2}\) نمی‌تواند صفر باشد.

9. نتیجه‌گیری نهایی:
   با توجه به اینکه فرض \(a > 0\) است، عبارت \(\sqrt{(-a)^2 + r^2}\) همیشه مثبت خواهد بود (زیرا \(a^2 > 0\) و \(r^2 \ge 0\)).
   معادله به صورت \(\sqrt{a^2 + r^2} - a = -a\) ساده می‌شود.
   این معادله تنها زمانی برقرار است که \(\sqrt{a^2 + r^2} = 0\) باشد، که مستلزم \(a=0\) و \(r=0\) است.
   از آنجایی که فرض مسئله \(a > 0\) است، این معادله برای هیچ مقدار \(r\) (به جز حالتی که \(a=0\) باشد) برقرار نخواهد بود.

   نکته: اگر منظور از سوال این بوده که "چه شرطی باید برقرار باشد تا معادله صدق کند؟" و فرض \(a>0\) را در نظر نگیریم، آنگاه شرط \(a=0\) و \(r=0\) لازم است. اما با فرض \(a>0\)، معادله برقرار نیست.

   پاسخ: با فرض \(a > 0\)، معادله داده شده برقرار نیست.