Λύση Γεωμετρίας: Απόδειξη Ισοσκελούς Τριγώνου και Ισαπόστασης

Θέλω να λύσεις το 1. θέμα 2

Εντάξει, ας λύσουμε το 1ο θέμα.

Θέμα 1

Δίνεται γωνία $x\hat{A}y$ και η διχοτόμος της $A\Delta$. Από τυχαίο σημείο $B$ της $Ax$ φέρνουμε κάθετη στη διχοτόμο $A\Delta$, η οποία τέμνει την $A\Delta$ στο σημείο $\Delta$ και την $Ay$ στο σημείο $\Gamma$.

α) Να αποδείξετε ότι τα τμήματα $AB$ και $A\Gamma$ είναι ίσα.

β) Αν $E$ τυχαίο σημείο της $A\Delta$, να αποδείξετε ότι το $E$ ισαπέχει από τα $B$ και $\Gamma$.

Λύση

α)
* Στο τρίγωνο $AB\Gamma$, το $A\Delta$ είναι ύψος και διχοτόμος.
* Άρα το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ισοσκελές με $AB = A\Gamma$.

β)
* Αφού $AB = A\Gamma$ (από το α ερώτημα), το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ισοσκελές.
* Επειδή το $A\Delta$ είναι διχοτόμος και ύψος, είναι και μεσοκάθετος της πλευράς $B\Gamma$.
* Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του.
* Άρα, το $E$ ισαπέχει από τα $B$ και $\Gamma$, δηλαδή $EB = E\Gamma$.

Απάντηση: