Λύση Μαθηματικών Προβλημάτων με Κλάσματα και Αναλογίες

Задание 5

Αρχικά, η Ελένη ξόδεψε $\frac{1}{6}$ των χρημάτων της και αργότερα $\frac{5}{12}$ των χρημάτων της. Πρέπει να βρούμε τι μέρος των χρημάτων της έμεινε τελικά.

Υπολογισμός του συνολικού μέρους των χρημάτων που ξόδεψε:

Πρέπει να προσθέσουμε τα μέρη των χρημάτων που ξόδεψε: $\frac{1}{6} + \frac{5}{12}$.
Για να προσθέσουμε τα κλάσματα, πρέπει να έχουν τον ίδιο παρονομαστή. Ο ελάχιστος κοινός παρονομαστής του 6 και του 12 είναι το 12.
Μετατρέπουμε το $\frac{1}{6}$ σε κλάσμα με παρονομαστή 12: $\frac{1}{6} = \frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{2}{12}$.
Τώρα προσθέτουμε τα κλάσματα: $\frac{2}{12} + \frac{5}{12} = \frac{2+5}{12} = \frac{7}{12}$.
Άρα, η Ελένη ξόδεψε συνολικά $\frac{7}{12}$ των χρημάτων της.
2. Υπολογισμός του μέρους των χρημάτων που της έμεινε:
Αν υποθέσουμε ότι η Ελένη είχε αρχικά $\frac{12}{12}$ (δηλαδή το σύνολο) των χρημάτων της, τότε αφαιρούμε το μέρος που ξόδεψε: $\frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{12-7}{12} = \frac{5}{12}$.
Άρα, της έμειναν $\frac{5}{12}$ των χρημάτων της.

Απάντηση: Στην Ελένη έμειναν $\frac{5}{12}$ των χρημάτων της.

Задание 6

Ο Φίλιππος και η Μαρίνα μοιράστηκαν ένα χρηματικό ποσό. Ο Φίλιππος πήρε τριπλάσια χρήματα από τη Μαρίνα. Πρέπει να βρούμε τι μέρος του ποσού πήρε το κάθε παιδί.

Αναπαράσταση του ποσού που πήρε κάθε παιδί:

Έστω ότι η Μαρίνα πήρε $x$ χρήματα.
Ο Φίλιππος πήρε $3x$ χρήματα.
2. Υπολογισμός του συνολικού ποσού:
Το συνολικό ποσό είναι το άθροισμα των χρημάτων που πήραν και τα δύο παιδιά: $x + 3x = 4x$.
3. Υπολογισμός του μέρους που πήρε κάθε παιδί:
Η Μαρίνα πήρε $\frac{x}{4x} = \frac{1}{4}$ του συνολικού ποσού.
Ο Φίλιππος πήρε $\frac{3x}{4x} = \frac{3}{4}$ του συνολικού ποσού.

Απάντηση: Η Μαρίνα πήρε $\frac{1}{4}$ του ποσού και ο Φίλιππος πήρε $\frac{3}{4}$ του ποσού.

Задание 7

Η Ελένη έχει τρία κομμάτια κορδέλα. Το πρώτο κομμάτι (α') είναι $3\frac{1}{3}$ μέτρα, το δεύτερο κομμάτι (β') είναι $2\frac{2}{3}$ μέτρα περισσότερα από το πρώτο, και το τρίτο κομμάτι (γ') είναι όσο τα δύο πρώτα μαζί. Πόσα μέτρα κορδέλας της λείπουν, για να συμπληρώσει 20 μέτρα;

Υπολογισμός του μήκους του δεύτερου κομματιού (β'):

Το δεύτερο κομμάτι είναι $2\frac{2}{3}$ μέτρα περισσότερα από το πρώτο, οπότε πρέπει να προσθέσουμε: $3\frac{1}{3} + 2\frac{2}{3}$.
Προσθέτουμε τα ακέραια μέρη και τα κλασματικά μέρη ξεχωριστά: $(3+2) + (\frac{1}{3} + \frac{2}{3}) = 5 + \frac{3}{3} = 5 + 1 = 6$.
Άρα, το δεύτερο κομμάτι είναι 6 μέτρα.
2. Υπολογισμός του μήκους του τρίτου κομματιού (γ'):
Το τρίτο κομμάτι είναι όσο τα δύο πρώτα μαζί, οπότε πρέπει να προσθέσουμε: $3\frac{1}{3} + 6$.
Μετατρέπουμε το $3\frac{1}{3}$ σε δεκαδικό κλάσμα: $3\frac{1}{3} = \frac{3 \times 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$.
Προσθέτουμε: $\frac{10}{3} + 6 = \frac{10}{3} + \frac{6 \times 3}{3} = \frac{10}{3} + \frac{18}{3} = \frac{28}{3}$.
Μετατρέπουμε το $\frac{28}{3}$ σε μεικτό αριθμό: $\frac{28}{3} = 9\frac{1}{3}$.
Άρα, το τρίτο κομμάτι είναι $9\frac{1}{3}$ μέτρα.
3. Υπολογισμός του συνολικού μήκους των κομματιών:
Προσθέτουμε τα μήκη των τριών κομματιών: $3\frac{1}{3} + 6 + 9\frac{1}{3}$.
Προσθέτουμε τα ακέραια μέρη και τα κλασματικά μέρη ξεχωριστά: $(3+6+9) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) = 18 + \frac{2}{3} = 18\frac{2}{3}$.
Άρα, το συνολικό μήκος των κομματιών είναι $18\frac{2}{3}$ μέτρα.
4. Υπολογισμός του μήκους που λείπει για να συμπληρωθούν 20 μέτρα:
Αφαιρούμε το συνολικό μήκος από τα 20 μέτρα: $20 - 18\frac{2}{3}$.
Μετατρέπουμε το 20 σε μεικτό αριθμό με παρονομαστή 3: $20 = 19\frac{3}{3}$.
Αφαιρούμε: $19\frac{3}{3} - 18\frac{2}{3} = (19-18) + (\frac{3}{3} - \frac{2}{3}) = 1 + \frac{1}{3} = 1\frac{1}{3}$.
Άρα, λείπουν $1\frac{1}{3}$ μέτρα.