Λύση Άσκησης Φυσικής: Κίνηση Σωμάτων και Γραναζιών

Άσκηση 1

Δεδομένα:
* Ακτίνες: \(R_1 = 12\text{cm} = 0.12\text{m}\), \(R_2 = 36\text{cm} = 0.36\text{m}\), \(R_{\Delta} = 50\text{cm} = 0.50\text{m}\)
* Αρχική ταχύτητα σώματος \(\Sigma\): \(v_0 = 0\)
* Τελική ταχύτητα σώματος \(\Sigma\) τη χρονική στιγμή \(t_1\): \(v_{\Sigma} = 3\text{m/s}\)
* Μετατόπιση σώματος \(\Sigma\) τη χρονική στιγμή \(t_1\): \(\Delta y = 60\text{cm} = 0.60\text{m}\)
* Η κίνηση είναι με σταθερή επιτάχυνση.

Ζητούμενα:
* i. α) Χρονική στιγμή \(t_1\).
* i. β) Επιτάχυνση σημείου P της περιφέρειας του δίσκου \(\Delta\) και γωνιακή επιτάχυνση γραναζιού \(\Gamma_2\).
* ii. Γωνιακή ταχύτητα και γωνιακή επιτάχυνση γραναζιού \(\Gamma_1\) τη χρονική στιγμή \(t_1\).
* iii. Αριθμός δοντιών γραναζιού \(\Gamma_2\), αν το \(\Gamma_1\) έχει 12 δόντια.

i. α) Υπολογισμός της χρονικής στιγμής \(t_1\)

Καθώς η κίνηση του σώματος \(\Sigma\) είναι με σταθερή επιτάχυνση, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση της κινητικής:

Εφόσον \(v_0 = 0\), η εξίσωση γίνεται:

Χρειαζόμαστε την επιτάχυνση \(a_{\Sigma}\). Μπορούμε να τη βρούμε από την εξίσωση της ταχύτητας:

Εφόσον \(v_0 = 0\):

Αντικαθιστούμε το \(a_{\Sigma} = \frac{v_{\Sigma}}{t_1}\) στην πρώτη εξίσωση:

Λύνουμε ως προς \(t_1\):

Αντικαθιστούμε τις τιμές:

Απάντηση i. α): Η χρονική στιγμή \(t_1\) είναι 0.40 s.

i. β) Υπολογισμός επιτάχυνσης σημείου P και γωνιακής επιτάχυνσης γραναζιού \(\Gamma_2\)

Αρχικά, βρίσκουμε την επιτάχυνση του σώματος \(\Sigma\):

Το νήμα είναι μη εκτατό και τυλίγεται στην περιφέρεια του δίσκου \(\Delta\) χωρίς να γλιστράει. Επομένως, η γραμμική ταχύτητα του σημείου πρόσδεσης του νήματος στον δίσκο \(\Delta\) είναι ίση με την ταχύτητα του σώματος \(\Sigma\). Επίσης, η γραμμική επιτάχυνση του σημείου πρόσδεσης στον δίσκο \(\Delta\) είναι ίση με την επιτάχυνση του σώματος \(\Sigma\).

Η γραμμική επιτάχυνση ενός σημείου στην περιφέρεια του δίσκου \(\Delta\) συνδέεται με τη γωνιακή επιτάχυνση \(\alpha_{\Delta}\) του δίσκου μέσω της σχέσης:

Επειδή το νήμα δεν γλιστράει, η γραμμική επιτάχυνση στο σημείο πρόσδεσης του νήματος είναι ίση με την επιτάχυνση του σώματος \(\Sigma\): \(a_{\text{ννήματος}} = a_{\Sigma} = 7.5 \text{m/s}^2\).

Άρα, η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου \(\Delta\) είναι:

Το γρανάζι \(\Gamma_2\) είναι κολλημένο στον δίσκο \(\Delta\) (ομοαξονικό). Επομένως, έχουν την ίδια γωνιακή επιτάχυνση:

Η επιτάχυνση του σημείου P (που βρίσκεται στην περιφέρεια του δίσκου \(\Delta\)) έχει μέτρο:

Απάντηση i. β): Το μέτρο της επιτάχυνσης του σημείου P είναι 7.5 m/s², και η γωνιακή επιτάχυνση του γραναζιού \(\Gamma_2\) είναι 15 rad/s².

ii. Υπολογισμός γωνιακής ταχύτητας και επιτάχυνσης γραναζιού \(\Gamma_1\) τη χρονική στιγμή \(t_1\)

Η ταχύτητα του σώματος \(\Sigma\) τη χρονική στιγμή \(t_1\) είναι \(v_{\Sigma} = 3\text{m/s}\). Αυτή η ταχύτητα είναι ίση με τη γραμμική ταχύτητα στο σημείο πρόσδεσης του νήματος στον δίσκο \(\Delta\).
Η γραμμική ταχύτητα του σημείου πρόσδεσης στον δίσκο \(\Delta\) σχετίζεται με τη γωνιακή ταχύτητα \(\omega_{\Delta}\) του δίσκου \(\Delta\) ως εξής:

Επειδή ο δίσκος \(\Delta\) και το γρανάζι \(\Gamma_2\) είναι ομοαξονικά, έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα:

Το γρανάζι \(\Gamma_1\) συμπλέκεται με το γρανάζι \(\Gamma_2\). Η σχέση μεταξύ των γωνιακών ταχυτήτων δύο γραναζιών που συμπλέκονται είναι:

(Αυτό ισχύει αν θεωρήσουμε ότι η γραμμική ταχύτητα στα σημεία επαφής είναι ίση. Αν θεωρήσουμε ότι η αναλογία των περιφερειακών ταχυτήτων είναι ανάλογη της αναλογίας των ακτίνων, τότε: \(v_1 = R_1 \omega_{\Gamma_1}\) και \(v_2 = R_2 \omega_{\Gamma_2}\). Για να μην γλιστράει, η ταχύτητα στα σημεία επαφής πρέπει να είναι ίση, άρα \(R_1 \omega_{\Gamma_1} = R_2 \omega_{\Gamma_2}\)).

Η γωνιακή επιτάχυνση του γραναζιού \(\Gamma_1\) είναι ανάλογη της γωνιακής επιτάχυνσης του γραναζιού \(\Gamma_2\) με τον ίδιο λόγο:

Απάντηση ii): Τη χρονική στιγμή \(t_1\), το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του γραναζιού \(\Gamma_1\) είναι 18 rad/s και η γωνιακή του επιτάχυνση είναι 45 rad/s².

iii. Αριθμός δοντιών γραναζιού \(\Gamma_2\)

Ο αριθμός των δοντιών ενός γραναζιού είναι ανάλογος της ακτίνας του (ή της περιφέρειάς του). Επομένως, η σχέση μεταξύ των ακτίνων και των αριθμών δοντιών είναι:

όπου \(N_1\) είναι ο αριθμός δοντιών του \(\Gamma_1\) και \(N_2\) είναι ο αριθμός δοντιών του \(\Gamma_2\).

Μας δίνεται ότι \(N_1 = 12\) δόντια.

Απάντηση iii): Το γρανάζι \(\Gamma_2\) έχει 36 δόντια.

Άσκηση 2

Δεδομένα:
* Οριζόντιο επίπεδο, λεία επιφάνεια.
* Αρχική χρονική στιγμή \(t=0\text{s}\), το σώμα ηρεμεί (\(v_0 = 0\)).
* Ασκείται σταθερή δύναμη \(F\).
* Στη χρονική στιγμή \(t=3\text{s}\), η ισχύς της δύναμης είναι \(P = 300\text{W}\).

Ζητούμενα:
* i. Ταχύτητα σώματος τη χρονική στιγμή \(t=3\text{s}\).
* ii. Επιτάχυνση του σώματος.
* iii. Μέση ισχύς της δύναμης στο χρονικό διάστημα \(0\text{s} - 3\text{s}\).
* iv. Ενέργεια που δόθηκε στο σώμα από τη δύναμη \(F\) στο χρονικό διάστημα \(0\text{s} - 3\text{s}\).
* v. Ταχύτητα σώματος τη χρονική στιγμή \(t=3\text{s}\) (επαναλαμβάνεται το (i)).
* vi. Κινητική ενέργεια που απέκτησε το σώμα.

ii. Υπολογισμός της επιτάχυνσης του σώματος

Στην άσκηση δίνεται ότι η δύναμη \(F\) είναι σταθερή και η επιφάνεια είναι λεία. Επομένως, η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι σταθερή, και άρα η επιτάχυνση του σώματος είναι σταθερή.

Από τον 2ο Νόμο του Νεύτωνα, έχουμε:

Στην περίπτωσή μας, η μόνη οριζόντια δύναμη είναι η \(F\), οπότε:

Για να βρούμε την επιτάχυνση \(a\), χρειαζόμαστε τη δύναμη \(F\) και τη μάζα \(m\). Αυτές οι τιμές δεν δίνονται άμεσα. Ωστόσο, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα δεδομένα της ισχύος για να τις υπολογίσουμε.

Η στιγμιαία ισχύς \(P\) μιας σταθερής δύναμης \(F\) που ασκείται σε ένα σώμα με ταχύτητα \(v\) δίνεται από τον τύπο:

Μας δίνεται ότι τη χρονική στιγμή \(t=3\text{s}\), η ισχύς είναι \(P = 300\text{W}\). Τη χρονική στιγμή \(t=3\text{s}\), το σώμα έχει μια συγκεκριμένη ταχύτητα \(v(3)\).

Επίσης, γνωρίζουμε ότι η κίνηση είναι με σταθερή επιτάχυνση \(a\). Η ταχύτητα \(v(t)\) σε χρόνο \(t\) δίνεται από:

Εφόσον \(v_0 = 0\) (το σώμα ξεκινά από την ηρεμία), έχουμε:

Άρα, τη χρονική στιγμή \(t=3\text{s}\):

Αντικαθιστούμε αυτό στην εξίσωση της ισχύος:

Από τον 2ο Νόμο του Νεύτωνα, γνωρίζουμε ότι \(F = m a\). Αντικαθιστούμε αυτό στην παραπάνω εξίσωση:

Χρειαζόμαστε ακόμα μία πληροφορία για να βρούμε την \(a\) ή την \(m\). Ας δούμε τα υπόλοιπα ζητούμενα.

i. & v. Υπολογισμός ταχύτητας σώματος τη χρονική στιγμή \(t=3\text{s}\)

Ας επανέλθουμε στη σχέση \(P = Fv\).
Για να βρούμε την ταχύτητα \(v(3)\), χρειαζόμαστε τη δύναμη \(F\) ή τη μάζα \(m\) και την επιτάχυνση \(a\).

Από τις σχέσεις που βρήκαμε:
1. \(F = m a\)
2. \(v(3) = 3a\)
3. \(P = 300\text{W} = F v(3)\)

Αντικαθιστώντας (1) και (2) στην (3):
$$ 300 = (m a) (3 a) $$
$$ 300 = 3 m a^2 $$
$$ 100 = m a^2 $$

Από την (2), μπορούμε να εκφράσουμε την επιτάχυνση ως \(a = \frac{v(3)}{3}\).
Αντικαθιστούμε αυτό στην (1):
$$ F = m \left( \frac{v(3)}{3} \right) $$

Τώρα αντικαθιστούμε το \(F\) στην (3):
$$ 300 = \left( m \frac{v(3)}{3} \right) v(3) $$
$$ 300 = \frac{m (v(3))^2}{3} $$
$$ 900 = m (v(3))^2 $$

Ακόμα χρειαζόμαστε τη μάζα \(m\). Πρέπει να υπάρχει κάποιο δεδομένο που δεν έχουμε χρησιμοποιήσει σωστά ή να λείπει.
Ας ξαναδούμε: \(F=ma\), \(v=at\), \(P=Fv\).
\(P = (ma)(at) = m a^2 t\).
Για \(t=3\text{s}\): \(300\text{W} = m a^2 (3\text{s})\).
\(100\text{W/s} = m a^2\).

Από \(v=at\), έχουμε \(a = v/t\).
\(100 = m (v/t)^2 = m v^2 / t^2\).
\(100 = m (v(3))^2 / (3\text{s})^2\).
\(100 = m (v(3))^2 / 9\).
\(900 = m (v(3))^2\).

Το πρόβλημα είναι ότι έχουμε δύο αγνώστους (\(m\) και \(a\) ή \(m\) και \(v(3)\)) και μόνο μία ουσιαστική εξίσωση (\(100 = ma^2\) ή \(900 = m v(3)^2\)).
Υπάρχει περίπτωση το σώμα \(\Sigma\) στην Άσκηση 1 να σχετίζεται με την Άσκηση 2; Όχι, είναι ξεχωριστές ασκήσεις.

Ας υποθέσουμε ότι στη διατύπωση της άσκησης παραλείπεται η μάζα του σώματος ή κάποιο άλλο δεδομένο.

Επανεξέταση:
Αν υποθέσουμε ότι η δύναμη \(F\) είναι γνωστή, τότε μπορούμε να βρούμε την επιτάχυνση \(a = F/m\).
Αν υποθέσουμε ότι η μάζα \(m\) είναι γνωστή, τότε μπορούμε να βρούμε την επιτάχυνση \(a = F/m\).

Ας υποθέσουμε ότι η άσκηση εννοεί ότι η δύναμη \(F\) είναι 200N, όπως αναφέρεται στην αρχή της παραγράφου "Σε μη λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί σώμα. Τη χρονική στιγμή \(t=0\)s του ασκείται σταθερή δύναμη \(F=200\)N".
Αν η δύναμη \(F = 200\text{N}\), τότε:

ii. Υπολογισμός της επιτάχυνσης του σώματος (υποθέτοντας \(F=200\)N)

Από τον 2ο Νόμο του Νεύτωνα:
$$ F = m a $$
$$ 200\text{N} = m a $$

Δεν έχουμε τη μάζα \(m\). Πρέπει να τη βρούμε από την ισχύ.
Χρησιμοποιούμε την σχέση \(P = Fv\) και \(v = at\):
$$ P = F (at) $$
Για \(t=3\text{s}\) και \(P=300\text{W}\):
$$ 300\text{W} = (200\text{N}) (a \times 3\text{s}) $$
$$ 300 = 200 \times 3 a $$
$$ 300 = 600 a $$
$$ a = \frac{300}{600} = 0.5 \text{ m/s}^2 $$

Τώρα που βρήκαμε την επιτάχυνση, μπορούμε να βρούμε τη μάζα, αν και δεν ζητείται άμεσα.
\(F = ma \implies 200\text{N} = m \times 0.5 \text{ m/s}^2 \implies m = \frac{200}{0.5} = 400 \text{ kg}\).

Απάντηση ii): Η επιτάχυνση του σώματος είναι 0.5 m/s².

i. & v. Υπολογισμός ταχύτητας σώματος τη χρονική στιγμή \(t=3\text{s}\)

Χρησιμοποιούμε τον τύπο της ταχύτητας με σταθερή επιτάχυνση:
$$ v(t) = v_0 + a t $$
Με \(v_0 = 0\), \(a = 0.5 \text{ m/s}^2\) και \(t = 3\text{s}\):
$$ v(3\text{s}) = 0 + (0.5 \text{ m/s}^2) \times (3\text{s}) $$
$$ v(3\text{s}) = 1.5 \text{ m/s} $$

Απάντηση i. & v.): Η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή \(t=3\text{s}\) είναι 1.5 m/s.

iii. Υπολογισμός μέσης ισχύος της δύναμης στο διάστημα \(0\text{s} - 3\text{s}\)

Η μέση ισχύς ορίζεται ως η συνολική ενέργεια που δόθηκε διαιρούμενη με το χρονικό διάστημα, ή ως η μέση δύναμη επί τη μέση ταχύτητα.
Στην περίπτωση σταθερής δύναμης και σταθερής επιτάχυνσης, η μέση ισχύς μπορεί να υπολογιστεί και ως:
$$ P_{\text{μ) = \frac{P_{\text{αρχική) + P_{\text{τελική)}}{2} $$
Αρχική ισχύς (\(t=0\)): \(P_{\text{αρχική\) = F v_0 = F \times 0 = 0\text{W}\).
Τελική ισχύς (\(t=3\text{s}\)): \(P_{\text{τελική\) = 300\text{W}\) (δίνονται).

Εναλλακτικά, μπορούμε να υπολογίσουμε τη μέση ταχύτητα:
$$ v_{\text{μ) = \frac{v_0 + v(3)}{2} = \frac{0 + 1.5\text{m/s}}{2} = 0.75\text{m/s} $$
Η μέση ισχύς είναι:
$$ P_{\text{μ) = F v_{\text{μ) = (200\text{N}) \times (0.75\text{m/s}) = 150\text{W} $$

Απάντηση iii): Η μέση ισχύς της δύναμης στο χρονικό διάστημα \(0\text{s} - 3\text{s}\) είναι 150W.

iv. Υπολογισμός ενέργειας που δόθηκε στο σώμα

Η ενέργεια που δόθηκε στο σώμα από τη δύναμη \(F\) είναι ίση με το έργο που παράγει η δύναμη \(F\).
Το έργο μιας σταθερής δύναμης δίνεται από τον τύπο:

Εδώ, η δύναμη \(F\) και η μετατόπιση \(d\) είναι στην ίδια κατεύθυνση (\(\theta = 0^\circ\), \(\cos \theta = 1\)).
Πρώτα, πρέπει να βρούμε τη μετατόπιση \(d\) του σώματος στο χρονικό διάστημα \(0\text{s} - 3\text{s}\).
Χρησιμοποιούμε τον τύπο της μετατόπισης με σταθερή επιτάχυνση:

Με \(v_0 = 0\), \(a = 0.5 \text{ m/s}^2\) και \(t = 3\text{s}\):
$$ d = 0 \times 3 + \frac{1}{2} (0.5 \text{ m/s}^2) (3\text{s})^2 $$
$$ d = \frac{1}{2} \times 0.5 \times 9 \text{ m} $$
$$ d = 0.25 \times 9 \text{ m} = 2.25 \text{ m} $$

Τώρα υπολογίζουμε το έργο (ενέργεια):
$$ W = F d = (200\text{N}) \times (2.25\text{m}) $$
$$ W = 450 \text{ J} $$

Εναλλακτικά, η ενέργεια που δόθηκε στο σώμα μπορεί να υπολογιστεί και από τη μέση ισχύ επί το χρονικό διάστημα:
$$ W = P_{\text{μ) \times \Delta t} $$
$$ W = (150\text{W}) \times (3\text{s}) = 450 \text{ J} $$

Απάντηση iv): Η ενέργεια που δόθηκε στο σώμα είναι 450 J.

vi. Υπολογισμός κινητικής ενέργειας που απέκτησε το σώμα

Η κινητική ενέργεια \(K\) ενός σώματος μάζας \(m\) με ταχύτητα \(v\) δίνεται από τον τύπο:

Η κινητική ενέργεια που απέκτησε το σώμα είναι η διαφορά της τελικής κινητικής ενέργειας από την αρχική.
Αρχική κινητική ενέργεια (\(v_0 = 0\)): \(K_0 = \frac{1}{2} m (0)^2 = 0\text{J}\).
Τελική κινητική ενέργεια (\(t=3\text{s}\)): \(K_f = \frac{1}{2} m v(3)^2\).

Χρειαζόμαστε τη μάζα \(m\). Τη βρήκαμε από το ii): \(m = 400\text{ kg}\).
Η τελική ταχύτητα είναι \(v(3) = 1.5\text{ m/s}\).

Η κινητική ενέργεια που απέκτησε το σώμα είναι \(\Delta K = K_f - K_0 = 450\text{J} - 0\text{J} = 450\text{J}\).

Σύμφωνα με το Θεώρημα Έργου-Ενέργειας, το συνολικό έργο που παράγεται σε ένα σώμα ισούται με τη μεταβολή της κινητικής του ενέργειας: \(W = \Delta K\).
Αυτό επιβεβαιώνεται, καθώς το έργο που υπολογίσαμε στο (iv) ήταν 450 J, και η μεταβολή της κινητικής ενέργειας είναι επίσης 450 J.

Απάντηση vi): Η κινητική ενέργεια που απέκτησε το σώμα είναι 450 J.