প্যাটার্ন এবং ম্যাজিক বর্গ বিষয়ক সমস্যা সমাধান
Homi
আমি একজন এআই সহকারী এবং আমি হোমিওয়ার্ক (homiwork.com) থেকে এসেছি।
এখানে আপনার প্রশ্নগুলোর উত্তর দেওয়া হলো:
৪। ম্যাজিক বর্গটির ম্যাজিক সংখ্যা কত?
ম্যাজিক বর্গটির ম্যাজিক সংখ্যা ৩৪।
উত্তর: খ) ৩৪
৫। 'ক' চিহ্নিত স্থানে উপযুক্ত সংখ্যাটি কত?
'ক' চিহ্নিত স্থানে উপযুক্ত সংখ্যাটি ৩।
উত্তর: ঘ) ৩
৬। সৃজনশীল প্রশ্ন
ক. প্যাটার্নটির পরবর্তী চিত্রটি হবে চতুর্থ চিত্র। চতুর্থ চিত্রে কাঠির সংখ্যা হবে ১১টি।
খ. প্যাটার্নটির "ক" তম চিত্রে কাঠির সংখ্যা নির্ণয় করার সূত্র:
* প্রথম চিত্র: ৫ = ৩ × ১ + ২
* দ্বিতীয় চিত্র: ৮ = ৩ × ২ + ২
* তৃতীয় চিত্র: ১১ = ৩ × ৩ + ২
অতএব, "ক" তম চিত্রে কাঠির সংখ্যা = ৩ক + ২
২১তম পদ নির্ণয়:
৩ × ২১ + ২ = ৬৩ + ২ = ৬৫
সুতরাং, ২১তম পদে কাঠির সংখ্যা হবে ৬৫।
গ. প্রথম ১৫টি চিত্রের কাঠির সংখ্যা নির্ণয়:
কাঠির সংখ্যাগুলোর যোগফল = \(\frac{n}{2} [2a + (n-1)d]\)
এখানে, n = ১৫, a = ৫, d = ৩
S = \(\frac{15}{2} [2 \times 5 + (15-1)3]\)
= \(\frac{15}{2} [10 + 42]\)
= \(\frac{15}{2} \times 52\)
= ১৫ × ২৬ = ৩৯০
শেষ ১২টি চিত্রের কাঠির সংখ্যা নির্ণয়:
প্রথম ৩টি চিত্রের কাঠির সংখ্যা = ৫ + ৮ + ১১ = ২৪
শেষ ১২টি চিত্রের কাঠির সংখ্যা = ৩৯০ - ২৪ = ৩৬৬
সুতরাং, প্রথম ১৫টি চিত্রের শেষ ১২টি চিত্র তৈরি করতে ৩৬৬টি কাঠি প্রয়োজন।
Homi
আমি আপনার জন্য ৬ নং প্রশ্নের প্রতিটি ধাপ আরও বিস্তারিতভাবে বুঝিয়ে দিচ্ছি:
৬। সৃজনশীল প্রশ্ন
ক. প্যাটার্নটির পরবর্তী চিত্রটি হবে চতুর্থ চিত্র। চতুর্থ চিত্রে কাঠির সংখ্যা হবে ১১টি।
- ব্যাখ্যা: প্যাটার্নটি লক্ষ্য করলে দেখা যায় প্রতিটি চিত্রের কাঠির সংখ্যা ৩ করে বাড়ছে। প্রথম চিত্রে ৫টি, দ্বিতীয় চিত্রে ৮টি, তৃতীয় চিত্রে ১১টি কাঠি আছে। সুতরাং, পরবর্তী চিত্রে কাঠির সংখ্যা হবে পূর্বের চিত্রের কাঠির সংখ্যা + ৩ = ১১টি।
খ. প্যাটার্নটির "ক" তম চিত্রে কাঠির সংখ্যা নির্ণয় করার সূত্র:
* প্রথম চিত্র: ৫ = ৩ × ১ + ২
* দ্বিতীয় চিত্র: ৮ = ৩ × ২ + ২
* তৃতীয় চিত্র: ১১ = ৩ × ৩ + ২
অতএব, "ক" তম চিত্রে কাঠির সংখ্যা = ৩ক + ২
২১তম পদ নির্ণয়:
৩ × ২১ + ২ = ৬৩ + ২ = ৬৫
সুতরাং, ২১তম পদে কাঠির সংখ্যা হবে ৬৫।
- ব্যাখ্যা: এখানে একটি সূত্র তৈরি করা হয়েছে। আমরা দেখতে পাচ্ছি প্রতিটি চিত্র তৈরিতে কাঠির সংখ্যা ৩ করে বাড়ছে, তাই ৩-কে "ক" (পদ সংখ্যা) দিয়ে গুণ করা হয়েছে। এরপর প্রথম চিত্রের কাঠির সংখ্যা মেলানোর জন্য ২ যোগ করা হয়েছে। ২১তম পদের জন্য "ক" এর মান ২১ বসিয়ে ৬৫ পাওয়া যায়।
গ. প্রথম ১৫টি চিত্রের কাঠির সংখ্যা নির্ণয়:
কাঠির সংখ্যাগুলোর যোগফল = $\frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$
এখানে, n = ১৫, a = ৫, d = ৩
S = $\frac{15}{2} [2 \times 5 + (15-1)3]$
= $\frac{15}{2} [10 + 42]$
= $\frac{15}{2} \times 52$
= ১৫ × ২৬ = ৩৯০
শেষ ১২টি চিত্রের কাঠির সংখ্যা নির্ণয়:
প্রথম ৩টি চিত্রের কাঠির সংখ্যা = ৫ + ৮ + ১১ = ২৪
শেষ ১২টি চিত্রের কাঠির সংখ্যা = ৩৯০ - ২৪ = ৩৬৬
সুতরাং, প্রথম ১৫টি চিত্রের শেষ ১২টি চিত্র তৈরি করতে ৩৬৬টি কাঠি প্রয়োজন।
- ব্যাখ্যা:
- প্রথম ১৫টি চিত্রের কাঠির সংখ্যা বের করার জন্য আমরা সমান্তর ধারার যোগফল এর সূত্র ব্যবহার করেছি। এখানে 'n' হলো পদের সংখ্যা (১৫), 'a' হলো প্রথম পদ (৫), এবং 'd' হলো সাধারণ অন্তর (৩)।
- সূত্র ব্যবহার করে প্রথম ১৫টি পদের যোগফল ৩৯০ পাওয়া যায়।
- তারপর, প্রথম ৩টি চিত্রের কাঠির সংখ্যা যোগ করে (৫ + ৮ + ১১ = ২৪) ৩৯০ থেকে বিয়োগ করে শেষ ১২টি চিত্রের কাঠির সংখ্যা ৩৬৬ বের করা হয়।
Homi
Ассистент: অবশ্যই, আমি বুঝিয়ে দিচ্ছি।
সমান্তর ধারার যোগফলের সূত্রটি হলো:
\(S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]\)
এখানে,
* \(S_n\) = n সংখ্যক পদের যোগফল
* \(n\) = পদের সংখ্যা
* \(a\) = প্রথম পদ
* \(d\) = সাধারণ অন্তর (পরবর্তী পদ থেকে পূর্ববর্তী পদের পার্থক্য)
এই সূত্রটি কিভাবে আসে তা নিচে ধাপে ধাপে দেখানো হলো:
-
ধরা যাক, একটি সমান্তর ধারা:
\(a, a+d, a+2d, a+3d, ..., l\)
এখানে, \(l\) হলো শেষ পদ। -
যোগফলকে আমরা এভাবে লিখতে পারি:
\(S_n = a + (a+d) + (a+2d) + ... + (l-2d) + (l-d) + l\) -
যোগফলটিকে বিপরীতভাবে লিখলে:
\(S_n = l + (l-d) + (l-2d) + ... + (a+2d) + (a+d) + a\) -
এখন এই দুটি সমীকরণকে যোগ করা যাক:
\(2S_n = (a+l) + (a+d+l-d) + (a+2d+l-2d) + ... + (l-2d+a+2d) + (l-d+a+d) + (l+a)\) -
লক্ষ্য করলে দেখা যায়, প্রতিটি বন্ধনীর যোগফল \((a+l)\) এর সমান। যেহেতু \(n\) সংখ্যক পদ আছে, তাই:
\(2S_n = n(a+l)\) -
সুতরাং, যোগফল হবে:
\(S_n = \frac{n}{2} (a+l)\) -
আমরা জানি, শেষ পদ \(l = a + (n-1)d\) । তাই \(l\) এর মান উপরের সমীকরণে বসালে:
\(S_n = \frac{n}{2} [a + a + (n-1)d]\)
\(S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]\)
এটাই হলো সমান্তর ধারার যোগফল নির্ণয়ের সূত্র।
Homi
Ассистент: আমি দেখছি, আপনি জানতে চান গাণিতিক সমস্যাটি অন্য কোনো সূত্রের মাধ্যমে সমাধান করা যায় কিনা। নিচে দেখুন:
৬(গ) নং সমস্যাটি অন্যভাবে সমাধান করা যায়:
আমরা জানি, প্রথম ১৫টি চিত্রের কাঠির সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে। যেখানে প্রথম পদ ৫ এবং সাধারণ অন্তর ৩।
-
প্রথম ১৫টি পদের যোগফল নির্ণয়:
আমরা প্রতিটি পদের মান বের করে যোগ করতে পারি। যেহেতু এটি একটি সমান্তর ধারা, তাই আমরা যোগফল নির্ণয়ের সূত্র ব্যবহার করতে পারি:
\(S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]\)
এখানে, n = ১৫, a = ৫, d = ৩
S = \(\frac{15}{2} [2 \times 5 + (15-1)3]\)
= \(\frac{15}{2} [10 + 42]\)
= \(\frac{15}{2} \times 52\)
= ১৫ × ২৬ = ৩৯০সুতরাং, প্রথম ১৫টি চিত্রের কাঠির সংখ্যা ৩৯০।
-
শেষ ১২টি চিত্রের কাঠির সংখ্যা নির্ণয়:
আমরা প্রথম ৩টি চিত্রের কাঠির সংখ্যা বের করে মোট কাঠির সংখ্যা থেকে বিয়োগ দিতে পারি।
প্রথম ৩টি চিত্রের কাঠির সংখ্যা = ৫ + ৮ + ১১ = ২৪
সুতরাং, শেষ ১২টি চিত্রের কাঠির সংখ্যা = ৩৯০ - ২৪ = ৩৬৬
অতএব, প্রথম ১৫টি চিত্রের শেষ ১২টি চিত্র তৈরি করতে ৩৬৬টি কাঠি প্রয়োজন।
এই পদ্ধতিতে, আমরা সরাসরি যোগফলের সূত্র ব্যবহার করে এবং প্রথম কয়েকটি পদের মান বিয়োগ করে উত্তর বের করতে পারি।
Homi
