Мащабът на картата показва колко пъти разстоянието на картата е по-малко от действителното разстояние на местността. Именно той позволява с линийка в ръка да разберем колко километра има между два града, без да напускаме дома си. Ще разгледаме три вида мащаб — числен, именован и линеен, ще се научим да ги преобразуваме един в друг, да изчисляваме разстояние по карта и да определяме мащаба самостоятелно. В края — интерактивен тренажор със задачи.
Какво е мащаб на картата
Мащабът е отношението на дължината на отсечка на картата (или план) към дължината на съответната отсечка на местността. Записва се като отношение на две числа: 1 : 200 000. Първото число винаги е единица — това е 1 см на картата. Второто число, знаменателят, показва на колко сантиметра на местността съответства този сантиметър.
Мащаб 1 : 200 000 означава, че всички разстояния на картата са намалени 200 000 пъти. Следователно, 1 см на картата е 200 000 см на местността, или 2 км.
И двете части на отношението са изразени в едни и същи мерни единици — в сантиметри, затова мащабът няма мерни единици: записът «1 : 200 000 км» е неверен. Мащаб има всяка карта, план на местност, чертеж и макет — той се подписва в долната част на картата или в нейната легенда.
Видове мащаби: числен, именован и линеен
Един и същ мащаб се записва по три начина — и трите означават точно едно и също:
- Числен мащаб — отношение на числа: 1 : 100 000. Универсален запис, с него е удобно да се смята.
- Именован мащаб — с думи: в 1 см — 1 км. Веднага се вижда колко километра се „побират в сантиметъра“.
- Линеен мащаб — линийка-скала под картата с подписани деления. По нея разстоянието се чете директно, без изчисления.
За да се преобразува числен мащаб в именован, знаменателят се дели на 100 (получават се метри) или на 100 000 (получават се километри) — защото 1 м = 100 см, а 1 км = 100 000 см. Обратното преобразуване, именован в числен, се прави по същия начин обратно: величината се преобразува в сантиметри и се поставя в знаменателя.
| Числен мащаб | Именован |
|---|---|
| 1 : 1001 см = 100 см | 1 м |
| 1 : 50001 см = 5000 см | 50 м |
| 1 : 25 0001 см = 25 000 см | 250 м |
| 1 : 100 0001 см = 100 000 см | 1 км |
| 1 : 200 0001 см = 200 000 см | 2 км |
| 1 : 1 000 0001 см = 1 000 000 см | 10 км |
Линеен мащаб: как да измерим разстояние без изчисления
Линейният мащаб е готова скала, нарисувана под картата: деленията ѝ вече са подписани в метри или километри, така че не е нужно да умножавате или делите.
Как да го използвате:
- Измерете отсечката на картата с циркул-измерител или отбележете дължината ѝ на ръба на лист хартия.
- Поставете отсечката на скалата така, че десният ѝ край да попадне точно на цяло деление.
- Левият край ще попадне на деление отляво на нулата — то е специално разделено на малки части. По тях се чете остатъкът: стотици метри.
- Съберете целите деления и остатъка — това е разстоянието на местността.
На скалата по-долу, десният край на отсечката е на деление «2», а левият е на 400 м вляво от нулата. Дължината на отсечката е 2 км + 400 м = 2,4 км.
Как да изчислим разстояние по карта и да определим мащаба
Почти всички задачи в училище за мащаб са три взаимно обратни операции.
Разстояние на местността. Измерете отсечката на картата в сантиметри и умножете по знаменателя на мащаба — ще получите сантиметри на местността. След това ги преобразувайте в метри (÷ 100) или километри (÷ 100 000).
Мащаб на картата. Ако са известни действителното разстояние и дължината на отсечката на картата, преобразувайте разстоянието в сантиметри и разделете на дължината на отсечката. Полученото число е знаменателят на мащаба.
Дължина на отсечка на картата. Преобразувайте разстоянието на местността в сантиметри и разделете на знаменателя на мащаба.
Цялата аритметика се основава на една верига от единици, която си струва да се научи наизуст: 1 м = 100 см, 1 км = 1000 м = 100 000 см.
Голям и дребен мащаб на картата
Тук най-често се допускат грешки. Правилото е едно: колкото по-голям е знаменателят, толкова по-дребен е мащабът. Мащабът е дроб 1/200 000, а от две дроби по-голяма е тази, чийто знаменател е по-малък.
- Голям мащаб (1 : 5000, 1 : 10 000) — малък знаменател, слабо намаление. Изображението е подробно: виждат се отделни къщи и пътеки, но на листа се побира малък участък. Така се правят планове на местности.
- Дребен мащаб (1 : 10 000 000) — огромен знаменател, силно намаление. На един лист се побира цял континент, но детайлите изчезват: остават само големи градове, реки и планински системи.
По мащаб картите се делят на крупномащабни (от 1 : 10 000 до 1 : 200 000), средномащабни (от 1 : 200 000 до 1 : 1 000 000) и дребномащабни (по-малки от 1 : 1 000 000). Плановете на местности винаги са по-големи от 1 : 10 000.
Примери за решаване на задачи за мащаб
Пример 1. Разстояние по карта → към местност
Задача. Мащаб на картата 1 : 200 000. Разстоянието между две села на картата е 3 см. Колко километра има между тях на местността?
Стъпка 1. Знаменателят на мащаба е 200 000. Следователно, 1 см на картата = 200 000 см на местността.
Стъпка 2. Умножаваме дължината на отсечката по знаменателя: 3 × 200 000 = 600 000 см.
Стъпка 3. Преобразуваме сантиметрите в метри: 600 000 ÷ 100 = 6000 м.
Стъпка 4. Метрите в километри: 6000 ÷ 1000 = 6 км.
Отговор: 6 км. По-кратък път: 600 000 ÷ 100 000 = 6 км, защото 1 км = 100 000 см.
Пример 2. Как да определим мащаба на картата
Задача. Известно е, че между градовете има 12 км, а на картата това разстояние е 8 см. Определете числовия мащаб на картата.
Стъпка 1. Преобразуваме действителното разстояние в сантиметри: 12 км × 100 000 = 1 200 000 см.
Стъпка 2. Делим на дължината на отсечката на картата: 1 200 000 ÷ 8 = 150 000.
Стъпка 3. Записваме отговора като отношение: 1 : 150 000.
Проверка. Обратно: 8 × 150 000 = 1 200 000 см = 12 км. Съвпада.
Отговор: мащаб 1 : 150 000, именован — в 1 см 1,5 км.
Пример 3. Каква дължина ще има отсечката на картата
Задача. Мащаб на плана 1 : 25 000. Каква дължина ще има на него отсечка, изобразяваща път с дължина 3 км?
Стъпка 1. Преобразуваме разстоянието в сантиметри: 3 км × 100 000 = 300 000 см.
Стъпка 2. Делим на знаменателя на мащаба: 300 000 ÷ 25 000 = 12 см.
Проверка. 12 × 25 000 = 300 000 см = 3 км. Съвпада.
Отговор: 12 см. Обърнете внимание: тук делим, а не умножаваме — задачата е обратна на първата.
Пример 4. Преобразуване на мащаб от вид в вид
Задача. Преобразувайте мащаб 1 : 25 000 в именован, а именован «в 1 см 500 м» — в числен.
Числен → именован. Знаменателят 25 000 е в сантиметри. Делим на 100: 25 000 ÷ 100 = 250 м. Получаваме «в 1 см — 250 м».
Именован → числен. Преобразуваме 500 м в сантиметри: 500 × 100 = 50 000 см. Поставяме това число в знаменателя: 1 : 50 000.
Подсказка. Ако знаменателят се дели на 100 000, отговорът веднага се получава в километри: 1 : 500 000 → 500 000 ÷ 100 000 = 5, т.е. «в 1 см 5 км».
Чести грешки при работа с мащаб
-
Смятат, че 1 : 1 000 000 е «голям» мащаб, защото числото е голямо, а 1 : 5000 — «дребен».
Обратното. Мащабът е дроб 1/1 000 000 и колкото по-голям е знаменателят, толкова по-малка е дробта и толкова по-дребен е мащабът. 1 : 5000 е 200 пъти по-голям от 1 : 1 000 000.
-
Губят нули при преобразуване на сантиметри в километри: 600 000 см записват като 60 км или 600 км.
Запомнете веригата: 1 км = 1000 м = 100 000 см. Дели се на 100 000, а не на 10 000 или 1000: 600 000 ÷ 100 000 = 6 км. Надежден метод е да се смята на две стъпки: първо ÷ 100 (метри), после ÷ 1000 (километри).
-
При обратна задача умножават вместо да делят: за да намерят дължината на отсечка на картата, умножават разстоянието по знаменателя.
На картата всичко е намалено, следователно дължината на отсечката е по-малка — не може да се умножава. От местност към карта винаги делим на знаменателя, от карта към местност — умножаваме. Бърза проверка: отговор «отсечка на картата 400 см» за 4 км е очевидно абсурден.
-
Пишат мерни единици в мащаба: «1 : 100 000 км» или «1 см : 1 км».
Числен мащаб е отношение на еднородни величини, затова няма единици: правилно е «1 : 100 000». А записът с думи е вече именован мащаб и се оформя по друг начин: «в 1 см — 1 км».
-
Извитата река или път се измерват с линийка по правата между крайните точки.
Така ще се получи дължината по права линия, а не дължината на маршрута. Кривата линия се измерва с курвиметър, с конец, който после се изправя и се прикрепя към линийка, или се разделя на къси прави отсечки и се събират дължините им — и едва тогава се умножава по мащаба.
Въпроси и отговори
Какво показва мащабът на картата?
Мащабът показва колко пъти разстоянията на картата са намалени в сравнение с действителните разстояния на местността. Мащаб 1 : 200 000 означава намаление 200 000 пъти: един сантиметър на картата съответства на 200 000 см, или 2 км на местността.
Как да определим мащаба на картата, ако не е подписан?
Трябва да знаем поне едно реално разстояние. Измерете тази отсечка на картата в сантиметри, преобразувайте известно разстояние в сантиметри (1 км = 100 000 см) и разделете едното на другото. Например, 20 км = 2 000 000 см, отсечка 8 см: 2 000 000 ÷ 8 = 250 000, мащаб 1 : 250 000.
Кой мащаб е по-голям: 1 : 10 000 или 1 : 100 000?
По-голям е 1 : 10 000, защото има по-малък знаменател и по-слабо намаление. На такава карта се виждат повече детайли, но се побира по-малка територия. Правилото е просто: колкото по-голям е знаменателят, толкова по-дребен е мащабът.
Колко сантиметра има в 1 километър?
В един километър има 100 000 сантиметра: 1 км = 1000 м, а 1 м = 100 см, следователно 1000 × 100 = 100 000 см. Именно затова мащаб 1 : 100 000 се чете като «в 1 см — 1 км».
С какво мащабът на план на местност се различава от мащаба на карта?
Принципът е един и същ, различава се само величината. Планът има голям мащаб — обикновено 1 : 5000 и по-голям, затова на него се виждат отделни сгради, пътеки и дървета. Картите имат по-дребен мащаб, но пък покриват по-голяма територия — чак до целия свят.
Как да използваме линейния мащаб на картата?
Отмерете измерената отсечка на скалата така, че десният ѝ край да попадне на цяло деление. Левият край ще попадне на деление вляво от нулата, разделено на малки части — по тях се чете остатъкът в стотици метри. Сумата от целите деления и остатъка е разстоянието; не е нужно да се смята нищо.
