Разбира се, ще реша задача 405.

Задание 405

Даден е равностранен триъгълник, в който точка $O$ е пресечна точка на височините, точка $K$ дели страната $BC$ в отношение $CK:KB = 1:4$, правата $KO \cap AB = N$. Да се намери лицето на дадения триъгълник, ако $ON = 1 \text{ cm}$.

Решение:

1. Свойства на равностранния триъгълник: В равностранния триъгълник височините са и медиани, и ъглополовящи. Точката $O$ е център на вписаната и описаната окръжност.

2. Позициониране на точка K: Тъй като $CK:KB = 1:4$, то $CK = \frac{1}{5}BC$ и $KB = \frac{4}{5}BC$.

3. Използване на координатна система: Нека страната на триъгълника е $a$. Поставяме триъгълника в координатна система, така че $A(0, \frac{\sqrt{3}}{2}a)$, $B(-\frac{a}{2}, 0)$, $C(\frac{a}{2}, 0)$.

4. Координати на точка K: Тъй като $CK = \frac{1}{5}a$, координатите на точка $K$ са $(\frac{4}{5} \cdot \frac{a}{2}, 0) = (\frac{2a}{5}, 0)$.

5. Координати на точка O: Точка $O$ е пресечната точка на височините, което е центърът на триъгълника. Координатите на $O$ са $(0, \frac{\sqrt{3}}{6}a)$.

6. Уравнение на правата KO: Правата $KO$ минава през точките $K(\frac{2a}{5}, 0)$ и $O(0, \frac{\sqrt{3}}{6}a)$. Наклонът на правата е $m = \frac{\frac{\sqrt{3}}{6}a - 0}{0 - \frac{2a}{5}} = -\frac{5\sqrt{3}}{12}$. Уравнението на правата е $y = -\frac{5\sqrt{3}}{12}x + \frac{\sqrt{3}}{6}a$.

7. Уравнение на правата AB: Правата $AB$ минава през точките $A(0, \frac{\sqrt{3}}{2}a)$ и $B(-\frac{a}{2}, 0)$. Наклонът на правата е $m = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a - 0}{0 - (-\frac{a}{2})} = \sqrt{3}$. Уравнението на правата е $y = \sqrt{3}x + \frac{\sqrt{3}}{2}a$.

8. Координати на точка N: Точка $N$ е пресечната точка на правите $KO$ и $AB$. Решаваме системата уравнения:

   • $y = -\frac{5\sqrt{3}}{12}x + \frac{\sqrt{3}}{6}a$
   • $y = \sqrt{3}x + \frac{\sqrt{3}}{2}a$

   След заместване и решаване, получаваме $x = -\frac{2a}{17}$ и $y = \frac{15\sqrt{3}a}{34}$.

9. Дължина на ON: $ON = 1 \text{ cm}$. Използваме формулата за разстояние между две точки: $ON = \sqrt{(x_N - x_O)^2 + (y_N - y_O)^2}$.
   $1 = \sqrt{(-\frac{2a}{17} - 0)^2 + (\frac{15\sqrt{3}a}{34} - \frac{\sqrt{3}a}{6})^2} = \sqrt{\frac{4a^2}{289} + (\frac{45\sqrt{3}a - 17\sqrt{3}a}{102})^2} = \sqrt{\frac{4a^2}{289} + \frac{3 \cdot 784 a^2}{102^2}} = a\sqrt{\frac{4}{289} + \frac{2352}{10404}} = a\sqrt{\frac{4}{289} + \frac{196}{867}} = a\sqrt{\frac{36}{289}} = \frac{6a}{17}$

   Следователно, $a = \frac{17}{6}$.

10. Лице на триъгълника: Лицето на равностранния триъгълник е $S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (\frac{17}{6})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{289}{36} = \frac{289\sqrt{3}}{144} \text{ cm}^2$.

Отговор: Лицето на дадения триъгълник е $\frac{289\sqrt{3}}{144} \text{ cm}^2$.