Решение на геометрична задача за равностранен триъгълник

Разбира се, ще реша задача 405.

Задание 405

Даден е равностранен триъгълник, в който точка \(O\) е пресечна точка на височините, точка \(K\) дели страната \(BC\) в отношение \(CK:KB = 1:4\), правата \(KO \cap AB = N\). Да се намери лицето на дадения триъгълник, ако \(ON = 1 \text{ cm}\).

Решение:

1. Свойства на равностранния триъгълник: В равностранния триъгълник височините са и медиани, и ъглополовящи. Точката \(O\) е център на вписаната и описаната окръжност.

2. Позициониране на точка K: Тъй като \(CK:KB = 1:4\), то \(CK = \frac{1}{5}BC\) и \(KB = \frac{4}{5}BC\).

3. Използване на координатна система: Нека страната на триъгълника е \(a\). Поставяме триъгълника в координатна система, така че \(A(0, \frac{\sqrt{3}}{2}a)\), \(B(-\frac{a}{2}, 0)\), \(C(\frac{a}{2}, 0)\).

4. Координати на точка K: Тъй като \(CK = \frac{1}{5}a\), координатите на точка \(K\) са \((\frac{4}{5} \cdot \frac{a}{2}, 0) = (\frac{2a}{5}, 0)\).

5. Координати на точка O: Точка \(O\) е пресечната точка на височините, което е центърът на триъгълника. Координатите на \(O\) са \((0, \frac{\sqrt{3}}{6}a)\).

6. Уравнение на правата KO: Правата \(KO\) минава през точките \(K(\frac{2a}{5}, 0)\) и \(O(0, \frac{\sqrt{3}}{6}a)\). Наклонът на правата е \(m = \frac{\frac{\sqrt{3}}{6}a - 0}{0 - \frac{2a}{5}} = -\frac{5\sqrt{3}}{12}\). Уравнението на правата е \(y = -\frac{5\sqrt{3}}{12}x + \frac{\sqrt{3}}{6}a\).

7. Уравнение на правата AB: Правата \(AB\) минава през точките \(A(0, \frac{\sqrt{3}}{2}a)\) и \(B(-\frac{a}{2}, 0)\). Наклонът на правата е \(m = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a - 0}{0 - (-\frac{a}{2})} = \sqrt{3}\). Уравнението на правата е \(y = \sqrt{3}x + \frac{\sqrt{3}}{2}a\).

8. Координати на точка N: Точка \(N\) е пресечната точка на правите \(KO\) и \(AB\). Решаваме системата уравнения:

   • \(y = -\frac{5\sqrt{3}}{12}x + \frac{\sqrt{3}}{6}a\)
   • \(y = \sqrt{3}x + \frac{\sqrt{3}}{2}a\)

   След заместване и решаване, получаваме \(x = -\frac{2a}{17}\) и \(y = \frac{15\sqrt{3}a}{34}\).

9. Дължина на ON: \(ON = 1 \text{ cm}\). Използваме формулата за разстояние между две точки: \(ON = \sqrt{(x_N - x_O)^2 + (y_N - y_O)^2}\).
   \(1 = \sqrt{(-\frac{2a}{17} - 0)^2 + (\frac{15\sqrt{3}a}{34} - \frac{\sqrt{3}a}{6})^2} = \sqrt{\frac{4a^2}{289} + (\frac{45\sqrt{3}a - 17\sqrt{3}a}{102})^2} = \sqrt{\frac{4a^2}{289} + \frac{3 \cdot 784 a^2}{102^2}} = a\sqrt{\frac{4}{289} + \frac{2352}{10404}} = a\sqrt{\frac{4}{289} + \frac{196}{867}} = a\sqrt{\frac{36}{289}} = \frac{6a}{17}\)

   Следователно, \(a = \frac{17}{6}\).

10. Лице на триъгълника: Лицето на равностранния триъгълник е \(S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (\frac{17}{6})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{289}{36} = \frac{289\sqrt{3}}{144} \text{ cm}^2\).

Отговор: Лицето на дадения триъгълник е \(\frac{289\sqrt{3}}{144} \text{ cm}^2\).