Арифметические действия

Основные арифметические операции

Арифметические действия — это математические операции, которые мы выполняем с числами. Существует четыре основных арифметических действия:

• Сложение (+): объединение двух или более чисел в одно число (сумму)
• Вычитание (-): нахождение разности между двумя числами
• Умножение (×): сложение числа само с собой определенное количество раз
• Деление (÷): распределение числа на равные части

Порядок выполнения арифметических действий

При вычислении выражений, содержащих несколько арифметических операций, важно соблюдать правильный порядок:

1. Действия в скобках
2. Возведение в степень
3. Умножение и деление (слева направо)
4. Сложение и вычитание (слева направо)

Пример: $2 + 3 \times 4 = 2 + 12 = 14$ (сначала умножение, потом сложение)

Действия с целыми числами

Сложение целых чисел

• При сложении чисел с одинаковыми знаками: складываем модули и сохраняем знак
• При сложении чисел с разными знаками: из большего модуля вычитаем меньший и берем знак числа с большим модулем

Примеры:
- $5 + 3 = 8$
- $(-5) + (-3) = -8$
- $5 + (-3) = 2$
- $(-5) + 3 = -2$

Вычитание целых чисел

Вычитание можно представить как сложение с противоположным числом: $a - b = a + (-b)$

Примеры:
- $5 - 3 = 5 + (-3) = 2$
- $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$
- $(-5) - 3 = (-5) + (-3) = -8$
- $(-5) - (-3) = (-5) + 3 = -2$

Умножение целых чисел

• При умножении чисел с одинаковыми знаками получается положительное число
• При умножении чисел с разными знаками получается отрицательное число

Примеры:
- $5 \times 3 = 15$
- $(-5) \times (-3) = 15$
- $5 \times (-3) = -15$
- $(-5) \times 3 = -15$

Деление целых чисел

Правила знаков такие же, как при умножении:
- При делении чисел с одинаковыми знаками получается положительное число
- При делении чисел с разными знаками получается отрицательное число

Примеры:
- $15 ÷ 3 = 5$
- $(-15) ÷ (-3) = 5$
- $15 ÷ (-3) = -5$
- $(-15) ÷ 3 = -5$

Действия с дробями

Сложение и вычитание дробей

1. Приводим дроби к общему знаменателю
2. Складываем или вычитаем числители
3. Сокращаем результат, если возможно

Примеры:
- $\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$
- $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
- $\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Умножение дробей

1. Умножаем числители
2. Умножаем знаменатели
3. Сокращаем результат, если возможно

Пример: $\frac{2}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{2 \times 3}{3 \times 5} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$

Деление дробей

1. Умножаем первую дробь на перевернутую вторую дробь
2. Сокращаем результат, если возможно

Пример: $\frac{2}{3} ÷ \frac{3}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{3} = \frac{2 \times 5}{3 \times 3} = \frac{10}{9}$

Действия с десятичными дробями

Сложение и вычитание десятичных дробей

1. Выравниваем дроби по количеству знаков после запятой
2. Складываем или вычитаем как обычные числа

Примеры:
- $2.5 + 3.7 = 6.2$
- $5.75 - 2.3 = 5.75 - 2.30 = 3.45$

Умножение десятичных дробей

1. Умножаем как обычные числа, игнорируя десятичные запятые
2. В результате отделяем справа столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе

Пример: $2.5 \times 0.3 = 0.75$ (всего 2 знака после запятой в множителях)

Деление десятичных дробей

1. Умножаем делимое и делитель на одно и то же число (обычно степень 10), чтобы делитель стал целым числом
2. Выполняем деление

Пример: $2.5 ÷ 0.5 = 25 ÷ 5 = 5$

Типичные ошибки и как их избежать

1. Неправильный порядок действий: Всегда помните правило PEMDAS (скобки, степени, умножение/деление, сложение/вычитание)
2. Ошибки со знаками: Будьте внимательны при работе с отрицательными числами
3. Неправильное приведение к общему знаменателю: Используйте наименьшее общее кратное знаменателей
4. Ошибки при работе с десятичными дробями: Следите за правильным выравниванием запятых

Методические рекомендации

1. Разбивайте сложные выражения на простые шаги
2. Записывайте промежуточные результаты
3. Проверяйте результат с помощью оценки порядка величины
4. При работе с дробями старайтесь сокращать их на ранних этапах вычислений