حل مسائل فيزياء حول ديناميكا الموائع

بالتأكيد! سأقوم بحل التمارين المطلوبة من منهاج دمشق الحديث.

التمرين 1

السؤال: أنبوب ضخ مساحة مقطعه عند فوهة دخول الماء فيه (\(S_1\)) وسرعة الجريان عند تلك الفوهة (\(v_1\)) ، وسرعة الخروج (\(v_2\)) ، في نهاية المقطع حيث (\(S_2 = \frac{1}{4} S_1\)).

الاختيارات:
a) \(v_1\)
b) \(\frac{1}{4} v_1\)
c) \(4 v_1\)
d) \(16 v_1\)

الحل:
هذا السؤال يتعلق بمبدأ استمرارية الموائع. ينص هذا المبدأ على أن معدل تدفق الكتلة (أو الحجم في حالة المائع غير القابل للانضغاط) يجب أن يكون ثابتًا عبر الأنبوب.

بما أن السائل غير قابل للانضغاط، فإن معدل تدفق الحجم (\(Q_V\)) ثابت:
\(Q_V = S_1 v_1 = S_2 v_2\)

من المعطيات لدينا:
\(S_2 = \frac{1}{4} S_1\)

نعوض في معادلة الاستمرارية:
\(S_1 v_1 = (\frac{1}{4} S_1) v_2\)

يمكننا اختصار \(S_1\) من الطرفين:
\(v_1 = \frac{1}{4} v_2\)

لإيجاد \(v_2\) بدلالة \(v_1\):
\(v_2 = 4 v_1\)

الجواب:
الخيار الصحيح هو (c) \(4 v_1\).

التمرين 2

السؤال: أجب عن الأسئلة الآتية:
1) انطلاقاً من معادلة برنولي استنتج العلاقة المحددة لسرعة تدفق سائل من فتحة صغيرة تقع بالقرب من سطح الحر للسائل.
2) أ) اكتب العلاقة الرياضية المعبرة عن المنسوب الحجمي (Q') (معدل الضخ)، واشرح دلالات الرموز فيها.
ب) تكون سرعة اندفاع الماء من ثقب في خرطوم يملؤه الماء تماماً ولا يجتمع فيه أكبر منها من فتحة الخرطوم حيث يخرج الماء ، فسر ذلك باستخدام العلاقات الرياضية.
3) يتحرك سائل جريانه مستقر داخل أنبوب ذي مقطعين مختلفين: مساحة ( \(S_2\) و \(S_1\) ) ، حيث (\(S_1 > S_2\)).
أ) اكتب معدل التدفق الكلي (Q) للسائل.
ب) انطلاقاً من العلاقة ( \(Q_1 = Q_2 = Q\)) ، استنتج معادلة استمرارية ، ثم بيّن كيف تتغير سرعة تدفق السائل بتغير مساحة مقطع أنبوب التدفق.
4) يدخل سائل من المقطع ( \(S_1\) ) الأنبوب بسرعة ( \(v_1\) ) فتكون سرعته عند المقطع ( \(S_2\) ) هي ( \(v_2\) ) ، بافتراض أن ( \(S_1 > S_2\) ) استنتج معادلة الاستمرارية ، ثم حدد عند أي مقطعين تكون سرعة التدفق أكبر، ولماذا؟

الحل:

1) استنتاج علاقة سرعة تدفق سائل من فتحة صغيرة بالقرب من سطح سائل في أنبوب (معادلة برنولي):

معادلة برنولي تربط بين الضغط والسرعة والارتفاع في مائع متحرك. في حالة تدفق سائل من فتحة صغيرة بالقرب من السطح الحر، يمكن تبسيط المعادلة.
معادلة برنولي العامة:
\(P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = \text{ثابت}\)

لنفترض نقطتين:
* النقطة 1: عند السطح الحر للسائل داخل الوعاء.
* النقطة 2: عند الفتحة الصغيرة التي يخرج منها السائل.

خصائص النقطة 1:
* الضغط (\(P_1\)) = الضغط الجوي (\(P_{atm}\)) (لأن السطح معرض للهواء).
* السرعة (\(v_1\)) ≈ 0 (لأن مساحة السطح الحر أكبر بكثير من مساحة الفتحة، فتكون سرعة انخفاض المستوى بطيئة جداً).
* الارتفاع (\(h_1\)) = \(h\) (ارتفاع الفتحة عن مستوى مرجعي).

خصائص النقطة 2:
* الضغط (\(P_2\)) = الضغط الجوي (\(P_{atm}\)) (لأن السائل يخرج إلى الهواء الجوي).
* السرعة (\(v_2\)) = \(v\) (وهي سرعة خروج السائل التي نريد إيجادها).
* الارتفاع (\(h_2\)) = 0 (إذا اخترنا مستوى الفتحة كمرجع للارتفاع).

بتطبيق معادلة برنولي بين النقطتين:
\(P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2\)

بالتعويض بالقيم:
\(P_{atm} + \frac{1}{2} \rho (0)^2 + \rho g h = P_{atm} + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g (0)\)

\(P_{atm} + \rho g h = P_{atm} + \frac{1}{2} \rho v^2\)

نطرح \(P_{atm}\) من الطرفين:
\(\rho g h = \frac{1}{2} \rho v^2\)

نختصر \(\rho\) من الطرفين:
\(g h = \frac{1}{2} v^2\)

لإيجاد \(v\):
\(v^2 = 2 g h\)
\(v = \sqrt{2 g h}\)

هذه هي العلاقة المحددة لسرعة تدفق سائل من فتحة صغيرة بالقرب من السطح الحر، وهي تعرف بـ قانون تورشيللي، والذي يمكن استنتاجه من معادلة برنولي.

2) أ) العلاقة الرياضية للمنسوب الحجمي (معدل الضخ):
المنسوب الحجمي (معدل تدفق الحجم)، ويرمز له بـ \(Q_V\) أو \(Q\).
العلاقة الرياضية هي:
\(Q_V = S \cdot v\)

حيث:
* \(Q_V\): المنسوب الحجمي (معدل تدفق الحجم) بوحدات مثل متر مكعب لكل ثانية (\(m^3/s\)).
* \(S\): مساحة مقطع الأنبوب أو الفتحة التي يتدفق منها السائل بوحدات مثل متر مربع (\(m^2\)).
* \(v\): سرعة تدفق السائل بوحدات مثل متر لكل ثانية (\(m/s\)).

2) ب) تفسير سرعة اندفاع الماء من ثقب في خرطوم:
عندما يندفع الماء من ثقب في خرطوم، فإن الماء الذي يخرج من الثقب يكون تحت تأثير الضغط. إذا كان الخرطوم مملوءًا بالماء تمامًا، فإن الماء يخرج من الثقب بسرعة.

• المنطقة التي يجتمع فيها الماء (أكبر مساحة): في المنطقة التي يتجمع فيها الماء قبل الخروج (مثل داخل الخرطوم أو قبل الفتحة مباشرة)، تكون مساحة المقطع كبيرة نسبياً. وفقاً لمبدأ الاستمرارية (\(S \cdot v = \text{ثابت}\))، عندما تكون المساحة \(S\) كبيرة، يجب أن تكون السرعة \(v\) صغيرة للحفاظ على ثبات معدل التدفق.
• الفتحة التي يخرج منها الماء (أصغر مساحة): عندما يخرج الماء من الفتحة الصغيرة، تكون مساحة المقطع \(S\) صغيرة جداً. للحفاظ على ثبات معدل التدفق، يجب أن تزداد السرعة \(v\) بشكل كبير.

باستخدام مبدأ الاستمرارية (\(S_1 v_1 = S_2 v_2\))، إذا كانت \(S_1 > S_2\)، فإن \(v_2 > v_1\). أي أن السرعة تزداد عندما تضيق مساحة المقطع.
ويمكن أيضاً تفسير ذلك باستخدام معادلة برنولي. بالقرب من الفتحة، يتحول جزء من طاقة الضغط إلى طاقة حركة، مما يؤدي إلى زيادة السرعة.

3) حركة سائل في أنبوب ذي مقطعين مختلفين:
لدينا أنبوب بمقطعين مختلفين، حيث \(S_1 > S_2\).

أ) معدل التدفق الكلي (Q) للسائل:
معدل التدفق الحجمي \(Q\) هو نفسه عند أي مقطع في الأنبوب طالما أن السائل غير قابل للانضغاط والجريان مستقر.
\(Q = S_1 v_1\)
\(Q = S_2 v_2\)

ب) استنتاج معادلة الاستمرارية وتأثير تغير المساحة على السرعة:
من العلاقة \(Q = S_1 v_1 = S_2 v_2\)، نستنتج معادلة الاستمرارية:
\(S_1 v_1 = S_2 v_2\)

هذه المعادلة توضح أن حاصل ضرب مساحة المقطع في سرعة التدفق ثابت.
لتبيين كيف تتغير السرعة بتغير المساحة:
* إذا ضاق المقطع (أي قلت المساحة، مثل الانتقال من \(S_1\) إلى \(S_2\) حيث \(S_1 > S_2\))، يجب أن تزداد السرعة للحفاظ على ثبات حاصل الضرب.
\(v_2 = v_1 \frac{S_1}{S_2}\)
بما أن \(\frac{S_1}{S_2} > 1\) (لأن \(S_1 > S_2\))، فإن \(v_2 > v_1\).
* إذا اتسع المقطع (أي زادت المساحة)، يجب أن تقل السرعة.

إذن، تزداد سرعة تدفق السائل كلما قلت مساحة مقطع الأنبوب، وتقل السرعة كلما زادت مساحة المقطع.

4) سائل يدخل المقطع (\(S_1\)) بسرعة (\(v_1\)) ويخرج من المقطع (\(S_2\)) بسرعة (\(v_2\)) حيث (\(S_1 > S_2\)):

استنتاج معادلة الاستمرارية:
نفس ما تم في الجزء (3ب). بتطبيق مبدأ حفظ الكتلة (أو الحجم للسائل غير القابل للانضغاط) على مقطعين مختلفين في الأنبوب:
معدل تدفق الحجم عند المقطع 1 = معدل تدفق الحجم عند المقطع 2
\(Q_{V1} = Q_{V2}\)
\(S_1 v_1 = S_2 v_2\)

هذه هي معادلة الاستمرارية.

تحديد المقطع الذي تكون سرعة التدفق فيه أكبر:
بما أن \(S_1 > S_2\) (المقطع الأول أوسع من المقطع الثاني)، ومن معادلة الاستمرارية \(S_1 v_1 = S_2 v_2\):
\(v_2 = v_1 \frac{S_1}{S_2}\)

بما أن \(\frac{S_1}{S_2} > 1\) (لأن \(S_1\) أكبر من \(S_2\))، فإن \(v_2\) ستكون أكبر من \(v_1\).
إذن، تكون سرعة التدفق أكبر عند المقطع ذي المساحة الأصغر، وهو المقطع (\(S_2\)).

السبب: للحفاظ على معدل تدفق حجمي ثابت عبر الأنبوب، يجب أن تتناسب السرعة عكسياً مع مساحة المقطع. عندما تضيق مساحة المقطع، تزداد سرعة السائل.

بالتأكيد! سأقدم لك حلولاً مختصرة للتمارين المطلوبة.

التمرين 1

السؤال: أنبوب ضخ مساحة مقطعه عند فوهة دخول الماء فيه (\(S_1\)) وسرعة الجريان عند تلك الفوهة (\(v_1\)) ، وسرعة الخروج (\(v_2\)) ، في نهاية المقطع حيث (\(S_2 = \frac{1}{4} S_1\)).

الحل:
باستخدام مبدأ استمرارية الموائع: \(S_1 v_1 = S_2 v_2\).
نعوض \(S_2 = \frac{1}{4} S_1\):
\(S_1 v_1 = (\frac{1}{4} S_1) v_2\)
\(v_1 = \frac{1}{4} v_2 \implies v_2 = 4 v_1\)

الجواب: (c) \(4 v_1\)

التمرين 2

1) استنتاج علاقة سرعة تدفق سائل من فتحة صغيرة:
من معادلة برنولي، وبافتراض أن سرعة السطح الحر تقارب الصفر والضغط عند السطح والفتحة يساوي الضغط الجوي، نصل إلى:
\(v = \sqrt{2 g h}\)
حيث \(h\) هو ارتفاع السائل فوق الفتحة.

2) أ) العلاقة الرياضية للمنسوب الحجمي (Q'):
\(Q_V = S \cdot v\)
حيث \(Q_V\) هو معدل تدفق الحجم، \(S\) هي مساحة المقطع، و \(v\) هي سرعة التدفق.

2) ب) تفسير سرعة اندفاع الماء من ثقب في خرطوم:
وفقًا لمبدأ الاستمرارية (\(S \cdot v = \text{ثابت}\))، تقل مساحة المقطع عند الفتحة مقارنة بالمساحة داخل الخرطوم، مما يؤدي إلى زيادة سرعة خروج الماء.

3) أ) معدل التدفق الكلي (Q) للسائل:
\(Q = S_1 v_1 = S_2 v_2\)

3) ب) استنتاج معادلة الاستمرارية وتأثير تغير المساحة على السرعة:
معادلة الاستمرارية هي: \(S_1 v_1 = S_2 v_2\).
إذا قلت مساحة المقطع (\(S\))، تزداد سرعة التدفق (\(v\))، والعكس صحيح.

4) استنتاج معادلة الاستمرارية وتحديد المقطع الأسرع:
معادلة الاستمرارية: \(S_1 v_1 = S_2 v_2\).
بما أن \(S_1 > S_2\)، فإن \(v_2 > v_1\).
السرعة أكبر عند المقطع ذي المساحة الأصغر، وهو المقطع (\(S_2\)).

بالتأكيد! سأقوم بحل التمارين المطلوبة من السؤال الثاني.

التمرين 2

السؤال: أجب عن الأسئلة الآتية:
1) انطلاقاً من معادلة برنولي استنتج العلاقة المحددة لسرعة تدفق سائل من فتحة صغيرة تقع بالقرب من سطح الحر للسائل.
2) أ) اكتب العلاقة الرياضية المعبرة عن المنسوب الحجمي (Q') (معدل الضخ)، واشرح دلالات الرموز فيها.
ب) تكون سرعة اندفاع الماء من ثقب في خرطوم يملؤه الماء تماماً ولا يجتمع فيه أكبر منها من فتحة الخرطوم حيث يخرج الماء ، فسر ذلك باستخدام العلاقات الرياضية.
3) يتحرك سائل جريانه مستقر داخل أنبوب ذي مقطعين مختلفين: مساحة ( \(S_2\) و \(S_1\) ) ، حيث (\(S_1 > S_2\)).
أ) اكتب معدل التدفق الكلي (Q) للسائل.
ب) انطلاقاً من العلاقة ( \(Q_1 = Q_2 = Q\)) ، استنتج معادلة استمرارية ، ثم بيّن كيف تتغير سرعة تدفق السائل بتغير مساحة مقطع أنبوب التدفق.
4) يدخل سائل من المقطع ( \(S_1\) ) الأنبوب بسرعة ( \(v_1\) ) فتكون سرعته عند المقطع ( \(S_2\) ) هي ( \(v_2\) ) ، بافتراض أن ( \(S_1 > S_2\) ) استنتج معادلة الاستمرارية ، ثم حدد عند أي مقطعين تكون سرعة التدفق أكبر، ولماذا؟

الحل:

1) استنتاج علاقة سرعة تدفق سائل من فتحة صغيرة بالقرب من سطح سائل:
باستخدام معادلة برنولي، وبافتراض أن سرعة انخفاض مستوى السائل في الوعاء كبيرة جداً مقارنة بسرعة خروج السائل من الفتحة (\(v_1 \approx 0\))، وأن الضغط عند السطح الحر وعند الفتحة متساوٍ (الضغط الجوي)، فإن العلاقة تصبح:
\(P_{atm} + \rho g h = P_{atm} + \frac{1}{2} \rho v^2\)
\(\rho g h = \frac{1}{2} \rho v^2\)
\(v^2 = 2 g h\)
\(v = \sqrt{2 g h}\)
حيث \(v\) هي سرعة خروج السائل، \(g\) هي عجلة الجاذبية، و \(h\) هو ارتفاع السائل فوق الفتحة. هذه العلاقة تعرف بقانون تورشيللي.

2) أ) العلاقة الرياضية للمنسوب الحجمي (معدل الضخ):
المنسوب الحجمي (معدل تدفق الحجم) \(Q_V\) يُعطى بالعلاقة:
\(Q_V = S \cdot v\)
حيث:
* \(Q_V\): معدل تدفق الحجم (وحدته \(m^3/s\)).
* \(S\): مساحة مقطع الأنبوب أو الفتحة (وحدتها \(m^2\)).
* \(v\): سرعة تدفق السائل (وحدتها \(m/s\)).

2) ب) تفسير سرعة اندفاع الماء من ثقب في خرطوم:
يعود السبب إلى مبدأ استمرارية الموائع. ينص هذا المبدأ على أن معدل تدفق الحجم يجب أن يكون ثابتًا في أنبوب ذي مقطع مستقر. رياضياً: \(Q_V = S \cdot v = \text{ثابت}\).
عندما يكون الخرطوم مملوءاً بالماء، فإن المساحة (\(S\)) تكون كبيرة نسبياً، وبالتالي تكون السرعة (\(v\)) صغيرة. وعندما يخرج الماء من فتحة صغيرة، تقل المساحة (\(S\)) بشكل كبير، وللحفاظ على ثبات \(Q_V\)، يجب أن تزداد السرعة (\(v\)) بشكل كبير.

3) أ) معدل التدفق الكلي (Q) للسائل:
معدل التدفق الكلي (الحجمي) \(Q\) للسائل المتحرك في أنبوب ذي مقطعين مختلفين هو نفسه عند كل مقطع:
\(Q = S_1 v_1 = S_2 v_2\)

3) ب) استنتاج معادلة الاستمرارية وتأثير تغير المساحة على السرعة:
انطلاقاً من \(Q_1 = Q_2 = Q\)، نستنتج معادلة الاستمرارية:
\(S_1 v_1 = S_2 v_2\)
هذه المعادلة توضح أن سرعة تدفق السائل تتغير عكسياً مع مساحة مقطع الأنبوب. فإذا قلت مساحة المقطع (\(S\))، تزداد سرعة التدفق (\(v\))، وإذا زادت مساحة المقطع، تقل السرعة.

4) استنتاج معادلة الاستمرارية وتحديد المقطع الأسرع:
بافتراض أن \(S_1 > S_2\) (المقطع الأول أوسع من الثاني)، فإن معادلة الاستمرارية هي:
\(S_1 v_1 = S_2 v_2\)
لإيجاد العلاقة بين السرعات: \(v_2 = v_1 \frac{S_1}{S_2}\).
بما أن \(S_1 > S_2\)، فإن النسبة \(\frac{S_1}{S_2} > 1\).
لذلك، \(v_2 > v_1\).
تكون سرعة التدفق أكبر عند المقطع ذي المساحة الأصغر، وهو المقطع (\(S_2\)).
السبب: للحفاظ على معدل تدفق حجمي ثابت، يجب أن تزداد سرعة السائل عندما يمر عبر مقطع أضيق.