Сравнение среднего арифметического и среднего геометрического двух положительных чисел

السؤال الثاني

المعطيات:
* \(a\) و \(b\) عددان موجبان تمامًا ومختلفان.
* \(A = a + b\)
* \(B = \sqrt{2ab}\)

المطلوب:
مقارنة بين \(A\) و \(B\).

الحل:

للمقارنة بين \(A\) و \(B\)، سنقوم بتربيع الطرفين (نظرًا لأنهما موجبان).

تربيع A:
\(A^2 = (a + b)^2\)
\(A^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

تربيع B:
\(B^2 = (\sqrt{2ab})^2\)
\(B^2 = 2ab\)

المقارنة بين \(A^2\) و \(B^2\):
الآن نقارن بين \(A^2\) و \(B^2\):
\(A^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
\(B^2 = 2ab\)

نطرح \(B^2\) من \(A^2\):
\(A^2 - B^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - 2ab\)
\(A^2 - B^2 = a^2 + b^2\)

بما أن \(a\) و \(b\) عددان موجبان تمامًا، فإن \(a^2\) موجبة و \(b^2\) موجبة.
لذلك، \(a^2 + b^2 > 0\).
وهذا يعني أن \(A^2 - B^2 > 0\).
وبالتالي، \(A^2 > B^2\).

نظرًا لأن \(A\) و \(B\) كلاهما موجب (لأن \(a\) و \(b\) موجبان)، فإن العلاقة \(A^2 > B^2\) تعني أن \(A > B\).

الخيار الصحيح:
\(A > B\)