حل مسائل في الهندسة التحليلية: متوازي الأضلاع، المنتصف، والعلاقات الشعاعية

تمام، لنبدأ بحل التمارين الموجودة في الصورة. سأقوم بحل التمارين بالترتيب.

التمرين الأول:

1) تعيين إحداثيي النقطة C ثم علم النقط A، B، C

المعطيات:
* \(A(2, -2)\)
* \(\overrightarrow{OB} = 3\overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j}\) وبالتالي \(B(3, -2)\)
* \(\overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \end{pmatrix}\) وبالتالي \(C(-6, 2)\)

لتعيين النقط، نرسم معلم متعامد ومتجانس ونحدد موقع كل نقطة بناءً على إحداثياتها.

2) تعيين إحداثيي النقطة D بحيث يكون الرباعي ABDC متوازي أضلاع

لكي يكون الرباعي \(ABDC\) متوازي أضلاع، يجب أن يكون \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\).

\(\overrightarrow{AB} = B - A = (3, -2) - (2, -2) = (1, 0)\)

نفرض أن \(D(x, y)\). إذن:

\(\overrightarrow{CD} = D - C = (x, y) - (-6, 2) = (x + 6, y - 2)\)

بما أن \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\)، فإن:

\((1, 0) = (x + 6, y - 2)\)

إذن:
* \(x + 6 = 1 \Rightarrow x = -5\)
* \(y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2\)

إذن، إحداثيات النقطة \(D\) هي \((-5, 2)\).

3) M منتصف القطعة [BC] والنقطة N التي تحقق العلاقة الشعاعية \(\overrightarrow{DM} = \frac{3}{2}\overrightarrow{DN}\)

أولاً، نحسب إحداثيات النقطة \(M\) منتصف القطعة \([BC]\):

\(M = \left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}\right) = \left(\frac{3 + (-6)}{2}, \frac{-2 + 2}{2}\right) = \left(\frac{-3}{2}, 0\right)\)

إذن، \(M(-\frac{3}{2}, 0)\).

لدينا \(\overrightarrow{DM} = \frac{3}{2}\overrightarrow{DN}\). نفرض أن \(N(x, y)\).

\(\overrightarrow{DM} = M - D = (-\frac{3}{2}, 0) - (-5, 2) = (-\frac{3}{2} + 5, -2) = (\frac{7}{2}, -2)\)

\(\overrightarrow{DN} = N - D = (x, y) - (-5, 2) = (x + 5, y - 2)\)

بما أن \(\overrightarrow{DM} = \frac{3}{2}\overrightarrow{DN}\)، فإن:

\((\frac{7}{2}, -2) = \frac{3}{2}(x + 5, y - 2)\)

إذن:
* \(\frac{7}{2} = \frac{3}{2}(x + 5) \Rightarrow 7 = 3(x + 5) \Rightarrow 7 = 3x + 15 \Rightarrow 3x = -8 \Rightarrow x = -\frac{8}{3}\)
* \(-2 = \frac{3}{2}(y - 2) \Rightarrow -4 = 3(y - 2) \Rightarrow -4 = 3y - 6 \Rightarrow 3y = 2 \Rightarrow y = \frac{2}{3}\)

إذن، إحداثيات النقطة \(N\) هي \((-\frac{8}{3}, \frac{2}{3})\).