تمام، لنبدأ بحل التمارين الموجودة في الصورة. سأقوم بحل التمارين بالترتيب.

التمرين الأول:

1) تعيين إحداثيي النقطة C ثم علم النقط A، B، C

المعطيات:
* $A(2, -2)$
* $\overrightarrow{OB} = 3\overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j}$ وبالتالي $B(3, -2)$
* $\overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix} -6 \ 2 \end{pmatrix}$ وبالتالي $C(-6, 2)$

لتعيين النقط، نرسم معلم متعامد ومتجانس ونحدد موقع كل نقطة بناءً على إحداثياتها.

2) تعيين إحداثيي النقطة D بحيث يكون الرباعي ABDC متوازي أضلاع

لكي يكون الرباعي $ABDC$ متوازي أضلاع، يجب أن يكون $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$.

$\overrightarrow{AB} = B - A = (3, -2) - (2, -2) = (1, 0)$

نفرض أن $D(x, y)$. إذن:

$\overrightarrow{CD} = D - C = (x, y) - (-6, 2) = (x + 6, y - 2)$

بما أن $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$، فإن:

$(1, 0) = (x + 6, y - 2)$

إذن:
* $x + 6 = 1 \Rightarrow x = -5$
* $y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2$

إذن، إحداثيات النقطة $D$ هي $(-5, 2)$.

3) M منتصف القطعة [BC] والنقطة N التي تحقق العلاقة الشعاعية $\overrightarrow{DM} = \frac{3}{2}\overrightarrow{DN}$

أولاً، نحسب إحداثيات النقطة $M$ منتصف القطعة $[BC]$:

$M = \left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}\right) = \left(\frac{3 + (-6)}{2}, \frac{-2 + 2}{2}\right) = \left(\frac{-3}{2}, 0\right)$

إذن، $M(-\frac{3}{2}, 0)$.

لدينا $\overrightarrow{DM} = \frac{3}{2}\overrightarrow{DN}$. نفرض أن $N(x, y)$.

$\overrightarrow{DM} = M - D = (-\frac{3}{2}, 0) - (-5, 2) = (-\frac{3}{2} + 5, -2) = (\frac{7}{2}, -2)$

$\overrightarrow{DN} = N - D = (x, y) - (-5, 2) = (x + 5, y - 2)$

بما أن $\overrightarrow{DM} = \frac{3}{2}\overrightarrow{DN}$، فإن:

$(\frac{7}{2}, -2) = \frac{3}{2}(x + 5, y - 2)$

إذن:
* $\frac{7}{2} = \frac{3}{2}(x + 5) \Rightarrow 7 = 3(x + 5) \Rightarrow 7 = 3x + 15 \Rightarrow 3x = -8 \Rightarrow x = -\frac{8}{3}$
* $-2 = \frac{3}{2}(y - 2) \Rightarrow -4 = 3(y - 2) \Rightarrow -4 = 3y - 6 \Rightarrow 3y = 2 \Rightarrow y = \frac{2}{3}$

إذن، إحداثيات النقطة $N$ هي $(-\frac{8}{3}, \frac{2}{3})$.